项名达推导椭圆周长计算公式中的几步是怎么来的？

永远

luyuanhong 发表于 2020-10-1 18:25
从圆的方程 x^2+y^2=a^2 可以得到：

对于取定的一个 x 值，有 y=±√(a^2-x^2) 。

请问陆老师5楼的那段话怎么分析，怎么证明共点，怎么证明成比例

luyuanhong

建立平面直角坐标系，设圆的方程为  x^2+y^2=a^2 ，椭圆的方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1 。

可以求得 P,Q,Pk,Qk 四点的坐标为

P(0,b) ，Q(0,a) ，Pk(k,(b/a)√(a^2-k^2)) ，Qk(k,√(a^2-k^2) 。

从 P,Q,Pk,Qk 四点的坐标可求得

直线 PPk 的方程为 y=(b/a)[√(a^2-k^2)-a]x/k+b 。

直线 QQk 的方程为 y=[√(a^2-k^2)-a]x/k+a 。

可以看出，直线 PPK 和 QQk 通过 x 轴上的同一点 (-ak/[√(a^2-k^2)-a],0) 。

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其实，用 PPK 与 QQk 通过 x 轴上的同一点来证明 MkPk/MkQk=OP/OQ=b/a ，完全是多此一举。

从 P,Q,Pk,Qk 四点的坐标，直接就可以看出必有 MkPk/MkQk=OP/OQ=b/a 。