中国古算书简介｜02 《九章算术》

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中国古算书简介｜02 《九章算术》

作者 | 李梦樵
来源 | 《中学数学教学》1983年02期

二、《九章算术》

《九章算术》成书于何时已不可考。三国时魏刘徽为《九章算术》作注。序言中有以下一段：“按周公制礼，而有九数，九数之流，则九章是矣。往者暴秦焚书，经术散坏，自时厥后，汉北平侯张苍（公元前250年—前152年，河南阳武县人。在秦为御史，汉高祖六年封为北平侯，汉文帝时为丞相历十五年，享年百余岁)，大司农中丞耿寿昌（公元前73年—前49年)，皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故较其目，则与古或异，而所论者多近语也。” 由此可见，《九章算术》在西周初期已具雏形，以后有所修订补充。张苍、耿寿昌两次删补，更换篇目，并把古人的叙述换成汉代语言，使《九章算术》成为定本。

据传古代九章中有“重差”、“夕桀”、“旁要(音腰)”而没有“勾股”。重差术有刘徽专著，即《海岛算经》。旁要、夕桀世无传本。据清代学者研究，“旁”即“边”，“要”同“腰” ，“旁要”即研究圆的内接形和外切形；“夕”有“斜”的意义，“桀”古同“磔”，有分裂的意义，“夕桀”当系研究中线、角平分线、高线。由于这些线把三角形分成两部分，古人重视面积，故名夕桀。旁要、夕桀的失传，可能是毁于秦火，也可能是张、耿等人从古九章删去，而“方程”与“勾股”，可能是张、耿等人所加。因“方田”章即有“方程”，“商功”章即寓“勾股”也。

《九章算术》在明代失传。清乾隆时修《四库全书》，戴震等从《永乐大典》中辑出。《大典》所载没有图形，戴震为之补绘。现存《九章算术》，即戴震所辑出之本，有魏刘微与唐李淳风注释。另有李潢(乾隆36年进士)著《九章算术细草图说》九卷，附《海岛算经》一卷。

《九章算术》分方田、粟米、衰(音崔)分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，共有246个问题。各章内容摘要叙述如下。

第一章“方田”共38问。主要讲计算田亩面积的方法，有方田（正方形)、直田(矩形)、圭田（三角形）、邪田(梯形）、圆田(圆形）、环田(环形）、弧田(弓形）等等。其中方田、直田、圭田、邪田的公式是正确的，圆田、环田、弧田，古法用π=3是粗糙的，弧田的公式并不正确，竟然沿用了二千年之久。刘徽在这里指出，“径一周三”是内接正六边形的周长，应该小于圆周，他用割圆法提出π=3.14，后人把3.14叫做徽率。注中又有π=3.1416，清代李潢认为是祖冲之的创造，近代数学家钱宝琮、华罗庚、钱伟长、历乃骥以及日本三上义夫均认为刘徽所创造，刘徽既发明割圆术，创造π等于3.1416只是一举手之劳。

这一章中，还讲到分数运算法则，在约分术中，讲了用辗转相除法求分子、分母的公约数。

第二章“栗米”共46问。大部分讲粮食交换的计算。先规定交换率，用“今有术”（即比例，欧洲叫做三数法则）进行计算。这一章还用到很复杂的复名数化、聚的方法。

第三章“衰分”共20问，是讲配分比例和等差、等比数列等问题。

第四章“少广”共24问，讲平面的面积和球的体积。讲了开平方、开立方的计算。还有已知球的体积求直径的方法。

第五章“商功”共28问：是讲立体的体积计算，其中名词，今多已不用。这里用公式表示书中叙述的各种立体的体积的计算方法。



第六章“均输”共28问。是大统一时代，处理国民平均负担的问题。李约瑟说，欧洲研究这些问题要晚得多。



第七章，“盈不足”共20问。是我国古代解决问题的一种巧妙的方法。除盈不足、两盈、两不足等问题外，还用来解某些等比数列问题。如第十一问。



第八章“方程”共18问，主要讲一次方程组的解法，未知数多达五个。“方”是把一个算题排列成方阵的形式，“程”的古义是度量、程式。



第九章“勾股”共24问。用勾股定理解答实际问题。例如第六问：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？”

又如第九问：“今有圆材埋在壁中，不知大小。以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？” （径指直径）解法中用到“垂直于直径的半弦的平方等于直径被弦所分两段乘积”这一性质。

第十五、十六两问是“勾股容方”、“勾股容圆”问题。就是求直角三角形的内接正方形边长和内切圆直径问题。

还有一些问题，要用到一元二次方程。这里不一一列举。

《九章算术》不仅内容丰富，影响也深远。元朱世杰的《四元玉鉴》和明程大位的《算法统宗》都有类似于勾股章的第六问。“今有方池一所，每边丈二无疑。中间蒲长一根肥，二尺水面高起。斜引蒲稍至岸，恰与水面相齐，知君明算并无欺，蒲长水深各几？”后来传到印度。在印度作家书中有：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲，出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边。渔人观看忙向前，花离原位二尺远。能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”（引自《趣味几何学》第69页）