这个关于连续复利的微分方程是不是错了？

wufaxian

请看上图，根据A(t)的函数表达式当计息频率趋于无穷时，表达式应该变成A0*e^(r*t)，这个表达式对t求导，结果应该是A0*r*e^(r*t)才对啊。怎么截图中显示的dA/dt=r*A呢？

luyuanhong

wufaxian

luyuanhong 发表于 2020-9-7 18:02

谢谢lu老师的回复。你的解答确实使这个问题得到了解答。但是引出一个新的困惑。在此请教一下。你回复中的倒数第二行r(A0*e^rt)=rA。

也就是说A是一个以t为自变量的函数，而不是一般的“任意常数”。在我看的书上微分方程如果没有初值的情况下，求得的结果常常是包含任意常数的。但是这些常数是与自变量t无关的常数，因此才需要代入初值的自变量和变量，反推出常数，使不确定的常数变成一个确定值。

否则一定会写成关于自变量的表达式。也就不存在任意常数这一个需要初值求解的问题了。因此，在上面问题中将A0*e^rt 写成任意常数A是否合乎常规？。或者说所谓任意常数难道不应该是与自变量无关的数字么？如果其是关于自变量的函数，也就不能被称作任意常数了吧。最起码也不应该写成任意常数A的形式吧。不知道我这么想对不对。还请你指正

luyuanhong

在这个方程中出现的 A  ，不管是在方程的左方还是右方， 始终表示的是一个函数，并不是什么任意常数。

如果没有给出初始条件，微分方程 dA/dt=rA 的通解可以写成 A=A(t)=Ce^(rt) ，其中 C 是一个任意常数。

如果给出初始条件 A=A(0)=A0 ，则容易求得 C=A0 ，这时方程的解就是 A=A(t)=A0e^(rt) 。