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TeX/LaTeX文本数学公式简易教程

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发表于 2023-3-27 00:15 | 显示全部楼层
数学小白新 发表于 2023-3-26 23:29
\left\{\begin{matrix}   x=a + r\text{cos}\theta \\    y=b + r\text{sin}\theta \end{matrix}\right.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = a + r\cos \theta }\\
{y = b + r\sin \theta }
\end{array}} \right.\)

  1. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
  2. {x = a + r\cos \theta }\\
  3. {y = b + r\sin \theta }
  4. \end{array}} \right.\)
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发表于 2023-5-2 14:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 数学小白新 于 2023-7-22 10:55 编辑

\Rightarrow
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发表于 2023-5-22 13:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-1-25 16:21 编辑

则当\(a=\begin{cases}
∞时,称A为B的高阶无穷大;&(1)\\0<a<∞时,称A与B为同阶无穷大;&(2)\\0时,称B为A的高阶无穷大;&(3)
\end{cases}\)

\(\small 0.\overbrace{999…99}^{∞个9}+\)\(\small 0.\overbrace{000…00}^{∞个0}1\)

       范秀山先生在其《数学唯物论》P37页讲道:“柯西的定义,五年级小学生都能懂。魏尔斯特拉斯的定义,足以让发明了微积分的牛顿大呼饶命。”
&#8203;       柯西的极限趋向说,真的【五年级小学生都能懂】吗?非也。应该说柯西极限趋向说,缺乏必要的数字界定。如抖音有老师用“充分靠垅”、“无限逼近”某一实数来描述极限。然而这个“靠拢”、“逼近”的程度又该如何界定?
&#8203;       为弥补柯面极限定义在定量分析上的不足,魏尔斯特拉斯提出了ε—δ、ε—N定义。对于数列极限威尔斯特拉斯是如下定义的;
&#8203;       【定义:】对于数列\(\{a_n\}\)和常数a,如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ε,总存在正数\(N_ε\),当n>\(N_ε\)时,恒有| \(a_n- a \)|<ε.则称常a为数列\(\{a_n\}\)的极限记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\).
        根据定义中ε的任意性,和\(N_ε\)的存在性以及当n>\(N_ε\)时,恒有|\(a_n-a|\)<ε,数列\(\{a_n\}\)的通项\(a_n\)可表述为:
\(\qquad\) \(a_n=\begin{cases}
f(n)\quad n∈\{n|n≤N_ε,n∈N \} &(1)\\a\quad\quad \;\;n∈\{n|n>N_ε,n∈N \} &(2)
\end{cases}\).







        命题;\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k≠\phi\)
       【分析】:根据elim先生对Weierstrass极限ε—N定义的改造,设对预指定\(ε_k=\tfrac{1}{k}\),存在\(N_{ε_k}=k\),当n>k时,恒有\(|a_n-a|<ε_k\)成立,即当n∈\(\{m|m>k\quad m,k∈\mathbb{N}\}\)时,有\(|a_n-a|<ε_k\)成立,令\(A_k=\{m|m>k\quad m,k∈\mathbb{N}\}\).
       【证明】:\(∵对\forall k∈\mathbb{N}\quad\exists (k+1)∈\mathbb{N}\)(皮亚诺公理)∴\(A_k=\{m|m>k\quad m,k∈\mathbb{N}\}≠\phi\).
         又\(A_j\supset A_{j+1},j∈\mathbb{N}\),∴\(\;\;\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k=\)\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}A_k=\{m|m>k\;\;m,k∈\mathbb{N}\}≠\phi\).



elim先生在《歪典,否定【人类数成就】者究竟骂了谁?》主题下55楼,帖出了如下帖文:
\(\color{red}{【}\)【\(\implies\)】是陈年老错:ε>0,是先给定的,只有 \(|a_n-a|<ε\),而不是\(a_n=a\)
若要后者成立,需要对每个\(ε_k=1/k,|a_n-a|<ε_k\)
即要求n∈\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞\)\(\{\;m∈\mathbb{N}:m>N_\tfrac{1}{k}\;\}\)但最后这个集合一般是空集.学分析的人,最初在极限的ε—N定义上栽过跟头的不少,但很少有几十年后还没爬起来的。
chaoshikong, Mathmatical 等网友可不要学楼上先生,数学上关键概念要求甚解。否则不进则退,白混.\(\color{red}{】}\)




命题;\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k≠\phi\)
       【分析】:根据elim先生对Weierstrass极限ε—N定义的改造,设对预指定\(ε_k=\tfrac{1}{k}\),存在\(N_{ε_k}=k\),当n>k时,恒有\(|a_n-a|<ε_k\)成立,即当n∈\(\{m|m>k\quad m,k∈\mathbb{N}\}\)时,有\(|a_n-a|<ε_k\)成立,令\(A_k=\{m|m>k\quad m,k∈\mathbb{N}\}\).
       【证明】:\(∵对\forall k∈\mathbb{N}\quad\exists (k+1)∈\mathbb{N}\)(皮亚诺公理)∴\(A_k=\{m|m>k\quad m,k∈\mathbb{N}\}≠\phi\).
         又\(A_j\supset A_{j+1},j∈\mathbb{N}\),∴\(\;\;\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k=\)\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}A_k=\{m|m>k\;\;m,k∈\mathbb{N}\}≠\phi\).【证明】
      
        【注记】
        ①、\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}A_k=\{m|m>k\;\;m,k∈\mathbb{N}\}≠\phi\)中的那个k是存在的,否则递用皮亚诺公理,则有小于k的一切自然均不存在,显然与事实不符.
        ②、\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}A_k=\{m|m>k\;\;m,k∈\mathbb{N}\}\)是无限集.因为k∈\(k∈A_k\),根据皮亚诺公理k+1,k+2,k+3……都属于\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}A_k\). 所以\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}A_k\)是无限集.

\(\{m|k<m∈\mathbb{N}^+\}\)



对于elim批判我的帖文【还是看看什么是有限,什么是无限.
有限集被定义为有自然数n个元素的集合,即自然数皆有限数.
包含关系 \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}=(∞,∞)\)表明数系中的数均为有限数.
无穷集被定义为能与其真子集对等的集合.春风先生在这些基本的事情情上
与现行数学对立, 认为\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ \{m|k<m∈\mathbb{N}\}\).中有无穷大然数.
但愿各位到老也不痴呆,不致如此不堪.】现回复于后:

答:1、有限集和无限集的概念
①、不能与其真子集对等的集合叫有限集。
②、凡能与其真子集对等的集合叫无限集。
2、自然数集的两种定义方法
①、有限集基数法;
②、皮亚诺公理法;
③、自然数集对加、乘法运算封闭;
④、自然数集是无限集(如\(\overline{\overline N}=\) \(\overline{\overline {\{k|k=2n n∈N\}}}\));
⑤、自然数集N中没有最大,只有更大.
3、\(N\subset Q\subset R\)且\(\overline{\overline N}=\) \(\overline{\overline {Q}}\)=\(\aleph_0\);\(\overline{\overline R}=\
\aleph\);
4、elim先生挖空心思,弄出个\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ \{m|k<m∈\mathbb{N}\}\)究竟有什么意义,多大意义留待elim先生自酌。
春风晚霞虽然年迈,但并不糊涂。就算\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\Longleftrightarrow(n→∞)时,a_n=a\)在教研组内也曾有过交流,虽然因此被视为只白不红,舍此反响并不强列,因为同行都能看懂我对这个式子充分性和必要性的证明。所以,仅就这个问题说我反对现代标准分析,我真不知道这个“现代标准分析”中的“现代”是哪个二十二世纪还是二十三世纪?
最后春风晚霞郑重声明,本人从未在任何时侯,任何地方说过:①、“无穷大属于自然数集”;②、“春氏数学”中没有皮亚诺公理;③“∞是最小无穷自然数且(∞-1)是有限自然数.自声明后,望各网友停止栽脏诬陷。



你那个\(\;\;\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ \{m|k<m∈\mathbb{N}\}≠\phi\).



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