对定理“若 f(x) 在 [a,b] 可积，在 x0∈(a,b) 连续，则 ∫f(x)dx 在 x0 可导”的质疑

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张筑生《数学分析新讲〉89页：如果函数f(x)在[a,b]上可积,x0∈(a,b).如果f在x0点连续，则S(a,x)f(x)dx,（就是f的原函数）在x0处可导.
因为可导必连续，所以f的原函数必连续。
但是，比如这个函数，f(x)=  x     (x<=1/2)
                                           -x+1 (x>1/2)
f在1/2处连续，所以它的原函数在1/2处可导，所以在1/2处连续。但它明显不连续，这怎么理解？

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