探求“无限”奥秘的数学家 一一拉马努金 (下)

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5.        赴英

Ramanujan 在一群人的欢送下搭英印航线新油轮 Nevasa 离开印度。船在 4 月 14 日抵达 Themes 河口。

已经回英的 Neville 与他的哥哥驾车接 Ramanujan 到伦敦的印度学生接待中心。到 Cambridge 报到后 Ramanujan 暂住在附近的 Neville 家。

那时候是四月天, 气候宜人。Ramanujan 常常与 Hardy 见面, 也偶而与 Littlewood 见面。Ramanujan 创作多, 很用功, 也用心。

Ramanujan 也去听 Hardy 的课与 Arthur Berry 的 “Elliptic Integrals”。Berry 问Ramanujan:“ 可以跟得上吗?” Ramanujan 点点头。Berry 还问:“想加一些吗?” Ramanu-jan 站起来, 拿起粉笔写下 Berry 未证而从来没有想到的结果。

6 月 Ramanujan 搬离 Neville 家, 住进学校宿舍里。

早先 Ramanujan 认识的只有 Carr 的数学, 他离当时的数学有 20 年之遥, 有许多待学。事实上 Hardy 也很吃惊 Ramanujan 的数学创意之深与他对数学的无知。

Ramanujan 几乎天天与 Hardy 见面。Hardy 有 Ramanujan 本人及他的两本笔记本在身边, 也有许多要学的素材。

波兰数学家 Polya 曾经访问过 Hardy, 借走 Ramanujan 的笔记本复印件。几天后 Polya 归还, 说他不要看它们, 否则会被 Ramanujan 的定理之网迷惑住了, 终生想证明它们, 而无法有自己的发现。

到了 1913 年 6 月, Ramanujan 只刊出一篇论文: “Modular Equation and approxi-mation to Pi。” (Quarterly Jourual of Mathematics)。π 的表达方式有其他数学家的版本,但是 Ramanujan 的表达方式收敛得很快, 单就第一项便可算出 π 的近似值达第 8 位, 成为现今用计算机计算出 π 值的最佳公式。

在印度时 Ramanujan 的数学引来羡慕, 但是没有人能够真正欣赏, 了解他的作品。在英国他找到 Hardy 与 Littlewood 等知己。在 Cambridge 他真的找到他知识的涅盘, 虽然在生活上、 习惯上他还是格格不入。

1914 年 6 月 28 日奥国太子 Franz Ferdinand 遇刺引发第一次世界大战, 英国在 1914 年 8 月参战。Cambridge 也受到影响, Corpus Christi College 成为临时军官训练总部, 三一学院出名的 Wren (Christoffer Wren, 数学家, 伦敦大火后一跃成为很出色的建筑家) 大图书馆的回廊成为露天医院。许多三一学院的人员去从军, 其中有 Littlewood, 他成为皇家近卫炮兵队中尉, 而 Hardy 当年 38 岁, 被视为不适合当兵。

Hardy 适当地, 不去阻碍 Ramanujan 的创意, 也不去吹熄 Ramanujan 的热诚, 加速带动 Ramanjuan 的数学学习能力, Ramanujan 开始懂得什么是证明, 从那以后他的作品, 虽然如常独特, 却多起来, 而且像见识广博的数学家那般了。

毕竟要先有直觉等产生的一些创意, 然后使用所有的方法去证实它的真实性, 这便是创意成为定理的过程。

对自然产生的数学的本能 Hardy 给自己打 25 分, 给 Littlewood 30 分, Hilbert 80 分, 而 Ramanujan 则有 100 分!

1915 年 1 月 Cambridge 境内一片黑暗, 因为街道、 院子里的瓦斯灯减少许多。到处有伤员, 他们伤好了又上战场。而战争沈滞不前。

Ramanujan 在这期间常写信回去。他少讲战争, 多说他数学上的进展。他很在乎没有Janaki 的信。(这是 Ramanujan 的母亲作梗的关系, 他不让 Janaki 写信给她的丈夫), 也在意他论文的出版, 他需要别人的肯定。

就这样, 在 1915 年间 Ramanujan 出了 39 篇以上的论文。

Ramanujan 想暂时回印度看看, 但是当时战争激烈, 海上又有德国新发明的潜水艇出没,它随时击沈往返的船只。Ramanujan 便这样回不去了。

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6.        生病

Ramanujan 在英国没有母亲和太太照料他, 却也学会了烹饪, 还蛮得心应手的, 曾受到朋友的称赞。

有一次他的朋友 Chatterji 要结婚了。Ramanujan 邀请 Chatterji 与他的未婚妻来聚餐。当天又多出一个女客人。Ramanujan 上菜, 过后问:“还要吗?”“好!”。再一次问:“还要吗?”, Chatterji 说:“要!” 两个女客却说:“不用了!”, 结果在交谈中他们发现 Ramanujan 不见了。Chatterji 跑出去找人, 听说乘车走了。他们等到 10 点后只有回去。

Chatterji 打听了 4 天却没有 Ramanujan 的消息, 在慌张的第 5 天接到 Ramanujan 从 Oxford 打来的电报问 Chatterji 能不能汇给他 5 磅?

第 2 天 Ramanujan 回 Cambridge, Chatterji 问 Ramanujan 原由。Ramanujan 说那一晚女士们说不再吃伤了他的心, 他不愿意再见到他们, 便消失不见。

Ramanujan 有这样突如其来的自卑感, 就如同 10 年前他远走 Vizagopanam 一样。

看来 Ramanujan 好像在英国适应得很好, 事实上他身心上一直在透支: 作数学要用很多精神, 适应英国文化也是很吃力的。而且他又恪守母亲的吩咐, 保持纯素食。战时许多食物不能入手, 他就这样越来越营养不良了。

Ramanujan 的世界是 Hardy, 房间四方墙壁与数学。他有时作数学 30 个小时, 再睡个20 小时。他的时间表里不像西方人有运动, 他只有念书。Hardy 又迫得紧。他三餐不定时, 营养不良, 工作过劳, 天气又冷, 这些使 Ramanujan 的身体受不了。

1917 年春天 Hardy 写信给 Madras 大学校方, 说 Ramanujan 病了。他们想过送他回去印度治疗。但是许多印度医生在服役, 即使 Ramanujan 回印, 没法受到妥善的照料, 何况德国潜水艇神出鬼没, 坐船很危险。

Ramanujan 生病后,  起先在三一学院附近的小医院疗养,  他的病况跟印度方面也接触过。起先 Ramanujan 对主治医生充满信心与希望, 但病情没有进步, 他就毛躁起来, 想换医生。Ramanujan 是难惹的病人, 很不合作, Hardy 照顾过他, 知道这一点。

在英疗养的两年当中 Ramanujan 换过 8 个医生, 5 个疗养院。起先他的病被视为胃溃疡, 后来被诊断为肺病, 当时 (1913-1917) 在英国肺病死亡率还有 17%。

Ramanujan 生病, 心情低劣, 又没有家信, 起先他家信写得很勤快, 打算两年后回去一趟, 但他的母亲要他拿到 M. A. 才回去, 又有战争, 就回不去了。

有一次家里要寄包裹给 Ramanujan, Janaki 趁婆婆不在, 塞进一张纸条, 但婆婆回来后发现了, 打开纸条来看, 拒绝寄走纸条。Janaki 很难过, 但一点办法都没有。她只有 17 岁, 对方是婆婆, 只好逆来顺受。

Janaki 在婆婆家受欺负, 娘家的人也知道, 便借着 Janaki 的哥哥要结婚为理由把她叫回来。Janaki 只写过这么一次信给 Ramanujan: 向他要钱买纱丽在哥哥结婚时穿并且送礼用。Ramanujan 在生病中收到这封信, 他不高兴, 认为她不写信, 一写来就是要钱, 所以他寄钱外信写得很冷。

Hardy 经 Ramanujan 透露才知道他的内心世界。但 Hardy 其他事也很忙, 所以只能略表同情而已。

1918 年 1、 2 月的一天Ramanujan 企图跳轨自杀。算他命大, 一个管理员看到他的行径, 赶紧拉警铃, 火车在数尺前停下来。Ramanujan 活着但血迹斑斑。他被逮捕到 Scotland Yard (苏格兰方场) Hardy 被通知前来。他浑身解数, 发挥他的辩才, 想为 Ramanujan 开脱罪名。他还说 Ramanujan 是 F.R.S., F.R.S. 怎么可以被逮捕? (当时 Hardy 已经替 Ramanujan 申请 F.R.S. 但还没有结果)。

事实上 Ramanujan 有一阵子没有家信, 生病在疗养院得不到他要吃的东西, 没有办法写文章, 1917 年度的 Trinity 的 Fellowship 落选, 这些使他绝望, 便要寻短见。

Scotlandyard 的警官没有被 Hardy 骗倒, 可是他们晓得 Ramanujan 将会是知名的数学家, 也就释放了他。“我们不想在他的生命中留下污点。”, 当值的警官后来这么说。

曾经 Ramanujan 一度也想慢性挨饿来让自己死掉。Hardy 接信去看他时, 被他那副又瘦又弱的形骇吓着了。

Ramnujan 又回到疗养院。1918 年 3 月 他收到 Hardy 的电报, 他反复再三地看才了悟到他被选上 Fellow of Royal Society (F.R.S. 皇家院院士)。他是从提出的 104 名中被选上的 15 名之 1! 印度得到这个消息后全印度沸腾起来!

也因为这个消息 Ramanujan 和来英后认识的朋友, 印度工程师 Ramalingam 有了连系, 往后这个人多方照顾了他。

家里知道他要食物后就常寄食物包裹给他, 但院方料理不当,  Ramanujan  也都没有胃口。因 Hardy 不便再出面, 就由生病中的 Littlewood 具名争取 Ramanujan 1918 年秋季的 Trinity Fellowship。有各种歧见, 但 Littlewood 说 Ramanujan 已经是 F.R.S., 如果没有得到 Trinity Fellowship 会成为笑话。这也的确是。这回 Ramanujan 得到 Trinity Fellowship 了。

这些使得Ramanujan 心情开朗起来, 病情大有进展。他跟Hardy 合作 “ Some proper-ties of  the number of partitions”, 即 p(5m+4)mod(5) , p(7m+5)=0 mod(7)  等。

另一篇论文有两个恒等式, 其一便是

1 + q/(1-q) + q^4/[(1-q)(1-q^2)] + q^9/[(1-q)(1-q^2)(1-q^3)] + … = 1/[(1-q)(1-q^4)(1-q^9)(1-q^11)(1-q^14)(1-q^16)(1-q^19)…]

这两篇论文在 1918 年 10 月 28 日的 Philosohical Society 的一般会议中被发表出来。再过两星期的 1918 年 11 月 11 日第一次世界大战结束。

不久 Cambridge Review 报导说:“在 Market Place 有一场别致的庆祝晚会, 也有跳舞。但是其中的舞者未必都有双脚……”

战争期间剑桥人死亡者有 2162 人, 伤者有 3000 人。

1918 年 11 月 26 日 Hardy 写信给 Madras 大学的 Francis Dewbury 说:“我想, 现在该是 Ramanujan 可以回印度的时候了”。的确, Ramanujan 体重增加了, 体温也降下来。

Ramanujan 换到伦敦数哩外郊外的疗养院, 从伦敦坐车可到。有一次 Hardy 坐出租车去看 Ramanujan, 一到达 Hardy 不经意说出:“出租车车号是 1729, 这个数字没意思。”

但是 Ramanujan 接着说:“不, 它是很有趣的数字, 它是用两种方法表达成为两立方和的数字中最小的。” (即 , 而且是这类表达方式中最小的数)。

这不是 Ramanujan 有什么神通, 而是多年来他把观察数字的变化记录下来又记得的关系。

1918 年底或 1919 年初时, Ramanujan 获知 Madras 大学要给他一年 250 磅, 为期 6 年的奖金, 而且可周期性地到英国旅行。他知道后在 1919 年 1 月 1 日回信给 Madras 大学的 Dlewbury 说: 他感谢大学当局待他那么宽厚, 但是他想, 给他的钱除了必要的开支之外他打算用在支助穷困子弟或孤儿的学费与书费上。

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7.        回印度

1919 年 2 月 4 日 Ramanujan 的病较有起色了, 便去办护照。3 月 3 日他搭客轮Nagoya 回印度。3 月 27 日 Nagoya 停靠 Bombay 港口。Ramanujan 的母亲与大弟 Lak-shimi Narasimhan 前去迎接他。但 Ramanujan 第一句话便是:“她在那里?”“为什么要提Janaki?” 他的母亲打断他的话。家人一年多以来不知道 Janaki 在那里。

不过 Ramanujan 的弟弟发信到两个不同的地方要 Janaki 来见 Ramanujan。

事实上 Janaki 回她 Rajendram 的家, 由 Madras 的报纸, 她知道 Ramanujan 回来了。但是她的哥哥 R. Srinivasa Iyenger 劝她别去 Madras 跟 Ramanujan 家人会合, 她婆婆恨她, 送她回去等于把她送进虎口。可是 Ramanujan 的弟弟来信说 Ramanujan 在找她, 于是 Janaki 与她的兄长一同去 Ramanujan 处。

Janaki 看 Ramanujan 瘦了、 憔悴, 会咳出痰来, 真的有病。人也变得阴沈、 暴燥。大学当局随气候的变化提供 Ramanujan 最适当的住处, 医生定期从他处来照顾他。

与 Ramanujan 同居住的人除了 Janaki 外还有母亲与外婆, 而 Janaki 跟其他两个女人之间经常有争吵。有一次 Ramanujan 的母亲还教 Janaki 打包行李回娘家去。Ramanujan 坚持不肯, 这样才没事。由于 Ramanujan 要 Janaki 陪伴他, 对 Janaki 充满妒忌的婆婆才发觉大势已去。两口子这才开始有亲密的接触。Ramanujan 会讲在英伦的趣事给 Janaki 听, 好像要取悦她。不过平时他脾气大, 待人冷冷的。

Ramanujan 常说如果 Janaki 跟着他到英国, 他就不致于生病了, 但这是他的母亲不许的。

1920 年 1 月 12 日 Ramanujan 写信给 Hardy, 致歉说差不多有一年没有写信过去。

他新近发现了一个很有趣的函数, 叫做 mock theta function。他会写几个例子给 Hardy 看,……

那一年 Ramanujan 都在研究 mock theta function, q-series 与这些有关的数学而写下 650 个定理, 这一批算是 Ramanujan 的作品中最出色的。

有这么一说, 据说肺病病人临死前的创造力会达到顶峰。这话起码在 Ramanujan 身上应验了。那时候 Ramanujan 都躺着, 把枕头垫高, 保持工作的状态, 他要求 Janaki 给他垫板上放纸, 他写后 Janaki 便收集起来收藏在他从英伦带回的皮箱里。

半世纪后美国数学家 George Andrews 开始接触到这些资料, 他惊异于他们的丰富性。有 5 题类似的题目中第 1 题他花了 15 分钟证出, 第 2 题他用去 1 个小时, 第 4 题依照第 2 题可推出, 但是第三题费去他 3 个月时间。

1920 年 4 月 26 日清晨 Ramanujan 意识不明, 稍后他就走了, 母亲 Janaki 与弟弟陪伴着他。

由于 Ramanujan 从英国回来时身体虚弱, 他母亲无法带他去神庙净身, 当天下午一点 Ramanujan 火葬时好多婆罗门的亲戚都走避了。

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8.        后语

Hardy 在 1920 年 5 月收到 Madras 大学的信告诉他 Ramanujan 在当年 4 月 26 日去世。

Hardy 回信表示他的遗憾与伤心。他说 Ramanujan 离开英国时虽然还生病, 看来病情好起来, 体重也增加了。Ramanujan 去世前两个月给他的信还是愉悦的, 充满看数学呢。

Hardy 说他对 Ramanujan 亏欠许多, 自从他认识 Ramanujan, Ramanujan 一直都是他创意与提示的源泉, Ramanujan 的去世对他是从未有过的打击。

Hardy 很有文采, 他为 Ramanujan 写的悼文出现在 1921 年的 Proceeding of the London Mathematical Society。它被视为有关数学的最出色的文章之一。

Ramanujan 去世不久, 他父亲病倒, 11 月便过世了。

他的母亲变得阴沈, 她托人写信给Hardy, 希望他能帮她的两个儿子出头。她的次子Lak-shimi Narasimhan 在邮局做事, 早死。第三个儿子 Tirumarayanar 在邮局做到副局长。

Janaki 在 Ramanujan 葬礼后回娘家, 依靠兄长, 在 Bombay 住了 6 年。后来知道Madras 大学给她每月 20 rupee 作为付给Ramanujan 论文版权的钱, 她便搬到Ramanujan 赴英前的住所附近住了 50 年之久。

Janaki跟兄长住在 Bombay 时学过车绣, 她便以给人作衣服, 教女孩们裁缝过日子。

1948 年左右有一个小男孩 Marayanan 得了伤寒, 他的妈妈生病住院, Jasnaki 便代他妈妈在医院里照顾他, 后来还买文具给他上学用。Marayanan 的双亲去世后他就跟Janaki 一起住。当 Janaki 作裁缝太忙时他就住寄宿学校, 15 岁以后便由 Janaki 认领为儿子, 住在一起。

第二次大战后 Madras 大学留意到 Janaki 生活贫困, 把付给她的月钱, 由 20 rupee 提升为 125 rupee。Janaki 就栽培她的儿子念到大学。他后来在国家银行做事, 结婚后生了三个孩子, 工作了 25 年后, 退休下来, 以便有较多的时间照顾母亲。

Janaki 被问及对她恶狠的婆婆Komaltammal 的观感时她的回答倒是温和的。她说她很感谢婆婆让她嫁给 Ramanujan。

Littlewood 在大小事帮助了 Ramanujan 不少, 但是 Ramanujan 待在英国的期间, Littlewood 差不多在服兵役, 他们两人没有合写过论文。

Ramanujan 去世前几个月, Hardy 辞去 Cambridge 的工作, 接受 Oxford 的 Savilian 教席, 为的是想在 Oxford 得到“较多的清闲与较少的责任”。

的确, Hardy 在 Oxford 过了他人生中最愉快的时光, Oxford 的人接受他, 喜欢听他讲话。他仍持续与 Littlewood 合作而达到数学成就的高峰期, 名声如日中天。

但是在 1931 年Hardy 离开Oxford 回Cambridge, 接受Sadleirian 教席。Cambudge 毕竟是英国数学的中心, 而且宿舍可住到死亡为止, 不像 Oxford 65 岁就得搬离宿舍。

Ramanujan 去世后 Hardy 开始从 Ramanujan 的笔记本与论文搜集一些数据写成论文并都冠上 Ramanujan 的名字。如 “A Formula of Ramanujan in the Theory of Primes” 等。

Hardy 说:“我最好的作品都跟 Littlewood 与 Ramanujan 有关”, 他又说“天才数学家 Ramanujan” 是他发掘的。

1930 年代从各国给 Hardy 的奖纷至沓来, 让他觉得那是对他过去时期的表扬, 他的日子不再。

1939 年某一天 Hardy 心脏病发作, 从此他不能玩网球。

他的数学创意也逐渐消退, 他意识到这一点, 便听从朋友 C. P. Snow 的建议开始写 “A Mathematician’s Apolagy”, 这是他对数学的回顾。

1942 年 Hardy 辞却 Sadleirian 教席。

1946 年他的身体衰弱, 他的妹妹 Gertrude 通勤照顾他; 因为 Cambridge 的宿舍不留女客。

1947 年某一天 Hardy 吞食大量安眠药企图自杀, 但由于药过量而呕吐, 救了他一命。

Hardy 终于在 1947 年 12 月 1 日过世。

在 1916 年 Ramanujan 出了一篇论文 “On Certain Arithmetrical Functions”。内容有至 n 的质数个数 π(n), partitions 的个数 p(n) 与 tau function τ(n) 。

令 n 的约数为 a1,…，ak 。设 σs(n)=a1^s+…+ak^s , 则该如何算出 σs(n) 的一般值? 由这里衍生出 tau 函数 τ(n) , Ramanujan 设想 τ(n)=O(n^(11/2+ε) 上式称为 Ramanujan’s hypothesis 或 tau conjecture。两年后 Hardy 作成 τ(n)=O(n^6) 。Hardy 的弟子 Robert Rankin 在 1939 年做出 τ(n)=O(n^ ) 。直到 1974 年比利时数学家 Pierre Deligne 使用代数几何学解决了这个问题而被称为“20 世纪数学大事之一”。

Ramanujan 的作品影响了年轻时候的 Paul Erdos 与挪威数学家 Atle Selbery。他们以后都成为出名的数论学家。1934 年 Erdos 与 Mark Kac 更扩充了 Hardy-Ramanujan 定理, 使这个定理“复活” 过来。

1957 年 Tata Institute of Fundamental Reseanrch 出了两册 Ramanujan 的 note books 的版本。

在 Ramanujan 75 岁忌辰, 印度邮局发行 25 万张 Ramanujan 护照照片做成的肖像邮票, 当天便销售一空!

1976 年 4 月, 美国数学家 George Andrews 待在英国多日之余, 听同事的建议去 Cam-bridge 三一学院查看 1965 年去世的 Ramanujan 专家 Watson 的作品。结果 Andrews 在三一学院翻出 Ramanujan 的笔记本。Audrews 一看, 里面有他的博士论文题目 mocktheta functton, 它是 Ramanujan 临终前写出来的新笔记本! 他惊喜极了, 把它影印下来。Andrews 称他发现的 Ramanujan 的笔记本为 “The Lost Note Books”, 数学家 Emma Lehmer 比喻这个发现如同“发现贝多芬的第十交响曲。” 至少它在数学界有 55 年之久未被留意到。

Watson 在二次大战前好多年就是研究Ramanujan 的专家, Ramanujan 的一些数据应该都落在他手里。他是古典解析家也是皇家学会 (F.R.S.) 会长。1965 年 Watson 去世了, 学会托 Watson 合作人之一的儿子 J. M. Whittaker 写 Watson 的悼文。Whittaker 写信给Watson 夫人说能不能看一看 Watson 的手稿? Watson 夫人邀 Whittaker 午餐。过后带他去二楼 Watson 的书房。那里有一尺高的纸张堆积在一起。看起来 Watson 不随便丢弃一张纸。很幸运地, Whittaker 从纸堆中挖出 Ramanujan 的 140 页手稿, 那是 1923 年 Madras 大学的 Dewsbury 寄给 Hardy, 后来转交给 Watson 的。

Whitteker 到手后转交给 Robert Rankin, 他们都是顶尖的数学家, 但对那手稿都外行,于是 Rankin 在 1968 年把 Ramanujan 的记事本交给三一学院保存。

在 Princeton 的 Advanced Study 研究的 Bruce Berdt, 休假中看 Ramanujan 笔记本的第 14 章后决意从 1977 年 5 月起不做其他, 专心做 Ramanujan 笔记本的编纂。

Robert Askey 是专门研究 Ramanujan 的美国数学家。

Berdt 看年来 Ramanjan 名声的浮沈, 比喻 Ramanujan 如 Jahann Sebastian Bach (巴哈)。Bach 在 1750 年去世后没没无闻。一直到 1829 年 3 月 11 日 Felix Mendelsohn 指挥演奏 Bach 失落后找到的乐谱 Mothers Passion 后 Bach 在音乐界才声名鹊起。

George Andrews 在 1976 年发现的 Ramanujan 的“失去的笔记本” 有如上的作用。

1988 年以前的 10 年间引用 Ramanujan 的论文已达 300 篇。

Ramanujan 好比种植了一棵树, 树根扩展到各方面, 不限于数学领域。如Ramanujan 的一些定理已广泛地被应用在粒子物理(particle physics)、 统计力学、 计算机代数、 密码学 (cryp-tology)、 空间旅行 (space travel)、 弦论 (string theory) 等。

Ramanjan 百年忌时他的名字与他的时代的印度人尼吓鲁, Nobel 物理奖得主 C. V. Raman 并列。南印度到处有庆祝会。三位美国数学家 Andrews, Askey 与 Berdt 各地演讲Ramanujan 的著作与贡献。

Andrews 在公开场合赠送 Janaki 围巾, 感谢她在 Ramanujan 临终时保留住他的笔记本。因听到 Janaki 的悲叹, Askey 募款做成 10 座 Ramanujan 的塑像, 其中一座赠送给Janaki。

Ramanujan 终于成为年轻一代印度人的好楷模, 尔后印度陆续出现优秀的数学家。

1936 年夏, 哈佛大学庆祝创校 300 周年, 有各种活动。其中有一些名人的演讲。Hardy 是受邀者之一。开会第一个晚上就有 Hardy 的演讲, 在开场白他讲:“对我来说, 准备这一场演讲是艰辛的。” 接着他便由, 对他来说, 记忆犹新的 25 年前收到 Ramanujan 从印度来信那一段讲起。

参考文献

Robert Kanigel. “The Man Who Knew Infinity”, Charles Scribner’s Sons, New York, 1991.

Bruce C. Berndt and Rabert A. Rankin, Ramanujan Letters and Commentary”, American Math. Soc. and London Math. Soc., 1995.

G. H. Hardy, “A Mathematician’s Apology”, Combridge University Press, Conte edition, 1992.

“100 人的数学者”, 日本评论社, 1971。

Howard Eves, “An Introduction to the History of Mathematics”, 6th edition, Holt, Rinehart and Winston, N. Y., 1990.