Atiyah 爵士访谈录

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Atiyah 爵士访谈录

原文初登载于欧洲数学学会(EMS) 2016 年十二月号 Newsletter No.102, EMS 及访谈者 Oscar Garcia-Prada [Oscar Garcia-Prada 是西班牙 the Instituto de Ciencias Matemdticas (ICMAT) 的CSIC 研究教授。他于1991年获 牛津大学数学博士学位, 曾在巴黎高等科学研究院、加州大学伯克莱分校和巴黎南大学担任博士后, 之后任职于马德里的Autonoma 大学和巴黎的Ecole Polytechnique。2002年, 他加入西班牙国家研究委员会(CSIC)。他的研究兴趣主要是微分几何、代数几何 与理论物理的微分方程之间的互动, 尤其是模空间和几何结构的研究。他与报纸EL PAIS, 西班牙电台外景和西班牙电视台RTVE 合作, 定期参与数学推广活动, 普及数学与物理、音乐的互动。] 同意本刊翻译转载。

Michael Atiyah (1929–2019) 及其合作者近几十年来改变了数学的风貌；举其具代表性的基础工作, 有 index 定理 (与 Isadore Singer 合作) 及 Yang-Mills 方程的几何, 两者在理论物理中皆有重要的应用。他的贡献绝妙地阐释了数学的统一性, 展现了几何与物理交流互动的重要性。论及科学界在这些课题的工作, 他是个中关键人物, 影响弘远。他曾获颁1966年的费尔兹奖, 1988年的 Copley 奖及2004年的 Abel 奖。他也是欧洲数学学会的创始人之一。

2014 年 7 月 10 日, 在法国 Brest 市, 访谈者与 Michael Atiyah 爵士一起参加了由 Henri Lebesgue 中心策划的的实向量丛 (real vector bundle) 会议。这个主题源自 Michael Atiyah 爵士 50 多年前的一篇开创性论文。


Michael Atiyah 教授

Oscar: Michael, 你的工作已成为二十、二十一世纪数学的基本章节, 所以很想和你谈谈你在数学生涯中遇过的人。

Atiyah: 是的, 当然。我喜欢谈论人。

Oscar: 是的, 你对这些人的回忆和回忆。我想从你的导师谈起；当你在大学, 甚或在学校——我的意思是你的导师, 但特别是你的指导教授 Todd 和 Hodge。你能谈谈他们吗？

Atiyah: 好的, 我在开罗上过学, 那是一所英语学校。我也上过亚历山大的学校, 那里有我的老师；我有一个很好的数学老师 (但有点古板, 不太世故)。我的意思是, 我受了良好的教育, 但数学方面乏善可陈。我一直是班上最年幼的, 实际上小同学两岁, 是班上的小男孩。如果你在学校比其他人小两岁, 结果将是, 我帮助年长的男孩做作业, 而后他们则保护我作为回报。所以, 我有强而有力的朋友; 他们很高大, 但不是那么聪明；我帮他们做功课, 而回报是我有了保镖 (笑)；如果你较年幼, 这是很重要的。在学校, 如果你较小, 每个人都年长些, 你就会被霸凌。所以那是非常好的。

我在埃及的最后一年, 是在亚历山大上学, 当时有一位老派的数学老师。他很好。事实上, 他曾受化学方面的训练, 虽然没受过数学教育, 但他是一位优秀的老师, 非常严厉且纪律严明。另有一位受过法国教育、风格大不相同的老师；我对他有模糊的记忆。我想他是希腊人 (名叫 Mouzouris)。我记得他给了我一些他在法国学过的当代分析书籍。那是我第一次经历这样的事情, 但对我没有太大的影响。

之后, 我去英国曼彻斯特上学。在那里, 我上了一所非常好的学校。我父亲去探询上大学的门路, 打听最好的数学学校, 每个人都说最好的是曼彻斯特 Grammar School。那是一所为学术精英设置的学校。我们有一位非常敬业的数学老师, 1910年在牛津, 老派但是很能启发学生。我很用功, 准备参加严格的剑桥入学考试, 那是非常激烈的竞争。比起人生的其他任何阶段, 我当时最用功。

Oscar: 那时你几岁？

Atiyah: 16--17岁。我们都受到良好的栽培, 也都获得剑桥的奖学金。我以非常好的背景上剑桥。当然, 刚上大学时, 我并不知道自己相较于其他人有多好, 因为每个人都是他们的学校里最优秀的。第一年结束时, 我成绩顶尖；从这个角度, 我意识到自己很不错。我有很多朋友是非常好的数学家, 其中的许多人后来相当著名, 不仅在数学方面, 也在其他领域。这是一个很好的环境。我进入三一学院, 该学院因牛顿、 Ramanujan、 Hardy、 Littlewood 等人而闻名于世, 因此学院有很强的数学传统。50 年后我回到学院成为院长 (笑)。

我在那里接受很好的教育。讲座相当平凡, 有一两位非常好的讲师, 但没什么特色, 还有一两位很差的讲师。但有一两位非常好的讲师；我上了他们的课, 加速学习。我去听很多课程, 进步很快, 大二时发表了第一篇论文。我上过 Todd 的一些课；古典几何中有一个很好的问题, 我对这问题做出一点贡献, 他鼓励我发表它。你知道, 只有两页纸, 但我当时是一个大二学生, 发表那篇论文让我无比自豪！这是一个好的开始。之后, 我成为研究生, 必须选择指导教授。我大学时被 Todd 教过, 他是一名优秀的数学家, 但非常腼腆。我去见他时, 他不会主动开口；他会讨论问题, 但不讲别的。我要问一大堆额外的问题, 谈话才能继续进行。


John Todd，1908--1994

我决定不和他一起做研究, 转而跟 Hodge 共事。Hodge 因其研究而更为出名, 享有国际声誉。我被他打动。我认为他可能有(也的确有)更广的视野。他与 Todd 完全不同, 非常合群、 外向、 友善。如果你遇到他, 不会当他是数学家；他像杂货店老板。事实上, 我后来发现, 他的老家经营杂货店！大商店[笑]！他是家里唯一进入数学圈的人, 其他家人都在自家的店里做生意。他非常和蔼可亲, 对我有很大的影响, 给了我很好的指导。这对我的研究生涯来说, 是一个好的起点；我很幸运能够在对的时间到那里。我有好同学, 而战后数学界正在起变化, 巴黎和普林斯顿持续出现新事物。我每周去图书馆看最新的 Comptes Rendus, 读 Serre、 Cartan 的新文章。而 Hodge 在普林斯顿有熟人, 我能听闻诸事。因此我很快接触到这些新转变。这帮助我起步, 转赴普林斯顿。


William Hodge，1903--1975

Oscar: 你的博士论文处理了什么数学问题？这个问题是 Hodge 建议的？

Atiyah: 我在论文中做了两件完全不同的工作。其中之一, 是我自己挑选的, 与几何学家所谓的直纹曲面 (rules surface) 相关。这些曲面由直线集结而成, 出现在古典几何。我因某个观点而对它们感兴趣, 将它们与向量丛 (vector bundle) 及层上同调 (sheaf cohomology) 方法联系起来。我用现代的方法着手做分类, 但这些是早期的工作, 日后它发展成大工程。我在 1953--1954 年针对这个问题写了第一篇论文, 大半是自己写的。第二年, Hodge 看出：如何用现代方法, 解决他在代数几何积分中感兴趣的问题。他给我一些想法来起步, 我发展它们, 之后我们合写一篇文章, 该文章日后非常著名。所以, 我在论文中做了两件完全不同的事情。一件完全是我自己的工作, 另一件是和我的指导教授一起做的。第二年结束时, 论文已大致完成。

Oscar: Hodge 在数学上是何出身？

Atiyah: Hodge 是苏格兰人。苏格兰有很优秀的传统。他毕业于爱丁堡大学 (我现在实际所在), 而后赴剑桥完成学位, 因此他在数学和物理方面有很好的背景, 而这与他的工作 (Hodge 理论) 有实际的关联。在剑桥时, 他隶属一个非常强大的几何学派 (老式的几何学), 但他与学派的想法保持距离, 用自己的方式铸造自己的想法。他受 Lefschetz 影响极深；Lefschetz 用拓扑方法改革了代数几何。起初他并未面见 Lefschetz, 而是远距离受教：阅读 Lefschetz 的书和著作, 最后他终于见到 Lefschetz。所以, 那完全出于 Hodge 自己的抉择, Lefschetz 未曾想博名气；Hodge 还年轻, 径自前去普林斯顿。有趣的是, 他第一次见到 Lefschetz 时, Lefschetz 拒绝相信 Hodge 已经证明了任何东西。Lefschetz 一直争辩说 Hodge 错了, Hodge 花了很长时间才说服他。最后, Hodge 以更复杂的方式运用 Lefschetz 的想法。Lefschetz 个性非常强烈, 但他终于被说服时, 承认 Hodge 是对的, 扭转立场, 成为强大的支持者。从强大的对手, 转为一个强大的支持者；Hodge 成为座上宾, 而他是 Hodge 强而有力的后盾。起初当一切是垃圾, 过了一阵子改口：“啊！了不起！” 他的个性丰富而精彩。我第一次去普林斯顿时, 见到了 Lefschetz，因为我是 Hodge 的学生。他很有攻击性。当时他一面做别的事, 一面读我和 Hodge 合写的文章, 说道：“但是理论在哪里呢？来吧, 告诉我。” 他有点攻击性, 试图贬抑那篇重要的论文, 说它毫无内容。无论如何, 我认为这是风格上的问题。后来我们成了好朋友, 但他的性格很强。


Solomon Lefschetz，1884--1972

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Oscar: 你在剑桥完成博士论文后, 去了普林斯顿, 那里是否有你想谈一下的人物？

Atiyah: 是的, 我去了高级研究所。那里有许多杰出的常任教授, 但我晚了一步, 没能见到 Hermann Weyl、 冯·诺依曼 (von Neumann) 及爱因斯坦, 他们都在我到达前后辞世。除了常任教授之外, 他们还有大量出色的年轻博士后。因为战争甫结束, 累积了大量被战争影响学业的人；几代人聚集在一起。因此我遇到了 Hirzebruch、 Serre、 Singer、 Kodaira、 Spencer、 Bott 等人。我在普林斯顿待了一年半, 是我遇到最多数学俊彦的一段时间。我学到了前所未闻的东西, 譬如李群和拓朴。

Oscar: 他们都在普林斯顿？

Atiyah: 他们都在普林斯顿的学院, 是的。Kodaira 及 Spencer 是备受尊敬的教授, 其他人是博士后。我们在那里相处一两年, 其中一些人在我之前已在普林斯顿。对年轻人来说, 这是聚会的好地方。我们互益良多。我在法国的数学学院学和剑桥时都是自学, 但在普林斯顿, 我和其他人有联系, 且受到他们影响。我与每个人都很要好。一年之间我学到了很多东西。好似到达成年期, 突然间我成了一名专业的数学家。我们学到新的想法；它是世界上最重要的地方之一, 每周都会有各式各样的事情发生并且有新的进展：新理论、 特征类、 上同调。我在理想的时间去了那里, 且做出了自己的贡献。

我结识了 Hirzebruch。他回欧洲后, 我持续和他聚首, 也和波恩的其他人会面, 非常的好。我在理想时间点去普林斯顿, 一段时期后回到欧洲。战事也发生于欧洲。这场战争结束于 1945 年, 而我在 1955 年去普林斯顿 (有足够的时间让事物安定下来)。我的许多同侪并没有真的参与战事, 只是被征召入伍。Singer 在美国海军服役。Bott 已被训练好, 即将参战。Hirzebruch 年轻时在德国入伍, 被美军俘虏而成为战俘, 但仅历时数月, 17 岁时从战俘营逃脱。我只经历了战争的遗绪。被卷入战争的人年纪较长, 在普林斯顿已久。我去普林斯顿时, 已是战后十年, 人们已经复原, 所以那是非常好的时间点。

Oscar: 两年后你回到欧洲, 对吧？

Atiyah: 是的, 一年半后我回到欧洲, 在剑桥找了份工作。我回到工作岗位, 在剑桥待了数年, 之后转赴牛津。

Oscar: 能否谈一下你在剑桥和牛津的学生？

Atiyah: 我在剑桥的学生不多, 因为我离开剑桥时还很年轻；但是我有几个学生, 是从我的指导教授 Hodge 那里接收的。他收了学生, 但当时他非常忙碌, 时间不够用, 研究生涯被战争糟蹋了。他在战前还年轻时就已成名, 战争期间不得不留在学校做很多行政工作。战争结束时, 他有点脱了节, 所以把他收的学生交给我。所以我的前两名学生是移交来的, 他们都不错, 和我一起完成了博士论文。这为我做好准备, 因为我需要学会怎么带学生。一些学生自学, 一些很独立, 但很多人需要大量的帮助, 因为他们能力各不相同, 有些很强, 有些很弱；这并不很明显, 一段时间之后你才会了解。去牛津之前, 这两位学生跟着我。我在牛津待了很长一段时间, 随着时间的推移, 我逐渐有了更多学生。年轻时, 你疑惑为什么他们要来和你一起做研究。你必须更年长、 更知名, 然后学生才会来。我有大量的学生, 共约 50 名。计算学生数量是很困难的, 因为学生状况的定义不是很清楚 , 有些别人的学生实际上是你的学生。但是某段时期, 我总共有 40 到 50 名学生, 在其间的各个时间点, 我都有五六位学生跟着我攻读博士, 每年两个, 这样很好。之后, 我去普林斯顿大学担任研究员, 在那里有四名学生。

Oscar: 你的意思是你在牛津的时候, 又去了普林斯顿吗？

Atiyah: 是的。1961 年我首次到牛津, 1969 年赴普林斯顿。我在牛津待了八年, 随后在普林斯顿三年半, 之后又回到牛津。普林斯顿有一个优势：你可以邀请人来和你一起做研究, 所以你能做一些选择。有名学生跟我一起去, 他原本在牛津, 是来自罗马尼亚的 George Luzstig, 非常年轻, 十分优秀。他是我在普林斯顿的学生。我也可以邀请人来当助理, 因此我请 Nigel Hitchin 担任我的助理。

Oscar: 他曾是你在牛津的学生, 对吧？

Atiyah: 他曾是我的学生 (或实质上的学生)。他已正式跟了其他教授, 但他按我的建议作研究, 且与我保持联系, 所以也是我的学生。此前, Graeme Segal 是我学生, 他曾当了一年 Hodge 的学生。

Oscar: Hodge 送他到牛津？

Atiyah: 嗯, 他把自己送到牛津 (笑)。他到牛津和我一起做研究。那时候, 我正在招募学生。在普林斯顿, 我有几个学生, 回到牛津时, 我收了大量的学生, 我想是因为那时我已更为知名。我有很多学生来自剑桥、很多来自国外、其中几个来自印度。啊! Patodi 是一个非常年轻的印度学生, 他来和我一起作研究, 成为我实质上的学生。稍后, 我有一些非常出色的学生, 譬如 Simon Donaldson 等。这吓到了我；曾有一段时期, 我觉得自己不会有很优秀的学生；我自认研究做得不好, 也许应该停止收学生；我不再足够积极。随后, 事情发生了变化, 突然之间有了六位优秀的学生, 而那是极为偶然的事件。当然, 你向学生学, 向很好的学生学。Donaldson 在那里, 不久之后开始授课, 我去上他的课, 即便他才刚拿到博士学位。所以, 是的, 你学到了很多东西。有那么多的学生, 你给他们一些论文去做, 鼓励他们, 告诉他们往哪个方向走, 给他们不同程度的帮助：有时他们自己做好所有的事情, 有时你为他们做些工作, 有时候进行合作。这是非常正面的经验, 我喜欢带学生。我去普林斯顿学院时, 没有真正的学生, 那里没有正式的大学。牛津大学的学生, 有些是在地的, 有些自外地来拿博士 (有些是特别来跟我), 另外还有一些来自澳洲 (如 Graeme Segal)、 美国、 印度等国家。

Oscar: 你和一些学生合作, 譬如 Nigel Hitchin。

Atiyah: 是的, 通常在他们拿到博士学位后, 成为浅资历的同事, 我才与他们合作。但是, 因为 Nigel Hitchin 和 Graeme Segal 已与我一起做过研究, 领域相同, 所以, 很自然地, 我继续与他们联名发表论文。通常, 我喜欢让学生的研究领域互有些许差异：有些做微分几何, 有些做代数几何, 有些做拓扑, 并不都在同一领域。我会与他们合作, 他们也会有自己的个性和数学品味；他们会互不相同, 走在稍微不同的方向, 这是非常好的。你需要开拓自己：更多分析, 一些几何学, 还有一些拓扑学 , 这样你才可以和这些 20 岁的学生一起学习, 因为他们更为专精。Segal 钻研同伦理论, Hitchin 精通微分几何。这是一种学习方式。你刚起步时时, 学会一些东西, 但当你执教时, 没有太多的时间回头学, 所以必须以不同的方式学习, 而一种学习途径是经由你的学生、 与你的学生合作。

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Oscar: 可否谈谈你在研究生涯中的主要合作者？

Atiyah: 好, 我的主要合作者 (年纪较长或和我同年纪的资深合作者) 中, Hirzebruch 大我两岁, 看起来比我年长。我从军两年, 但他短暂入伍。他非常年轻就升等了；我刚拿到博士学位时, 他已是教授。但我们的年龄相当接近, 合作了很长一段时间, 因为我经常去波恩, 在那里开展工作, 很自然地我们一起写论文。另外两位和我一起做研究的是 Bott 和 Singer。他们分别在美国哈佛和麻省理工学院, 我经常到普林斯顿和他们会面, 有时我去麻省理工学院, 有时他们来牛津。我们共度很多时光, 一起写论文。我们有共同的兴趣和不同的强项。Hirzebruch 在很多方面与我非常接近, 但我向他学到东西；他是特征类和代数拓扑的专家。Bott 较我精通微分几何及李群之类的事, 而 Singer 有较多分析的背景, 通晓泛函分析及 Hilbert 空间的理论。他们各有专精的领域, 但这些领域互相重迭, 所以我们有很多共同的兴趣, 这很好。我因而能写很多论文。他们是专家；不仅是专家, 而且他们认识真正的专家。Singer 有很多好朋友是微分方程方面的顶尖人物, 而 Bott 认识很多拓扑方面的人, 他也认识了很多与波恩有联结的人, 他们都有非常广泛的学术界人脉网, 扩及朋友及学生。Smale 及 Quillen 是 Bott 的学生, 这给了你很好的人脉。

我爱社交, 很喜欢说话, 你知道的 (笑), 我喜欢讨论数学。我们去黑板交换想法, 我喜欢这样。这很能激发灵感。我们交谈, 随后进行思考, 然后再回去讨论。所以, 这是一个高度社交化的过程, 你也因而结交了好朋友。在这个意义下, 工作上的连结是极其亲密的。他们是我的主要合作者。我也有年轻的合作者, 譬如 Graeme Segal 及 Nigel Hitchin, 之后还有更年轻的 Frances Kirwan。我和 Hitchin、 Kirwan 合写了不少论文。这些是相似的连结, 只是刚好师生易位, 因为我是老师, 他们是学生。我们有共同的兴趣, 而他们的兴趣再次与某位年长者的兴趣方向一致。他们是怀有新想法的新世代, 因此构成了非常好的人脉网。

Oscar: 你在物理界也有非常好的朋友, 尤其是 Witten, 对吗？

Atiyah: 是的, 那是后来的事。我还记得, 1970年代初, 我去美国时遇见 Witten。那时我们才意识到：物理学家正在做的事, 和 Singer 与我正在做的事, 有些重迭。于是, 我去和麻省理工学院的四位物理学家会面, 我们这些年长者和一位年轻人坐在椅子上交谈；讨论后, 我意识到他是一个非常聪明的人。他对我想要解释的数学有更多的了解——就是这样。

当时 Ed Witten 是助研究员。之后, 我邀请他到牛津数星期, 得而深入了解他。打从他是哈佛大学的助研究员, 我就认识他, 而他总是令人钦佩。我从他身上学到了大量的东西, 我读过他写的几乎所有文章。他写的文章数量令人难以置信。我认为, 我的一项主要贡献, 是藉由 Witten 和他的合作者, 把物理想法引入数学界。在早期, 很多数学家对物理学家抱持怀疑；他们说物理与数学无关：“他们不证明定理”, “那是不可靠的行业。” 所以, 我因为和坏伙伴混在一起而坏了名声, 你知道 (笑)！我认为, 即使是身为数学家的 Witten 的也被视为可疑；但他们明白：他可以做到他们做不到的事情；他打开许多门户, 获颁费尔兹奖。跟上他的发展是我的功课, 最后我成了他的研究生 (这是多年之后的事)。我在加州理工学院和他共处一学期, 我似乎再次当研究生。我早上去看他, 花一个小时讨论每个问题, 然后离开, 思考 23 个小时。这段时间他做其它的事。第二天我回去, 和他继续讨论。我必须努力跟上他。

Oscar: 你们合写了论文。

Atiyah: 是的, 一篇100页的论文, 我写了一部分。他决定合写那篇论文, 可能是因为它和我以前做过的研究有一些关系。但他对它有些想法。他推动它；他是那么优秀；我们偶尔会在数学方面有争执, 通常是他对[笑], 错的是我, 是的！这是很难得的经验。这时我年纪已不小, 但好像是个学生, 真是令人兴奋。目前在爱丁堡, 与我合作的人很多是物理学家, 数学物理学家, 他们是新一代的物理学家。我做了越来越多和物理相关的数学。

Oscar: 回顾过去, 你和Roger Penrose也有过很多交流。

Atiyah: 是的, Roger Penrose 是我的同学。他来自伦敦, 和我同时进入博士班, 曾同时是 Hodge 的学生。但他与 Hodge 相处不很融洽, 他们的兴趣不同, 翌年他的指导教授换为 Todd。

Oscar: 与你做的事情正好相反。

Atiyah: 是的, 我曾受教于 Todd。讽刺的是, Todd 研究更多代数和几何。Penrose 拿到剑桥的学位后, 去了其他地方, 我们也失去联系。后来他对物理产生浓厚的兴趣。我从普林斯顿回来后, 他到牛津担任数学物理学教授, 于是我们再次相遇。我们设法重建联系。我们在代数几何有共同的根源, 他能够向我解释他在做什么。过了一段时间, 我意识到当代的层论观念正是他所需要的。我介绍物理学方面的新想法给他的群组, 并取得很好的成果。我和他的学生 Richard Ward 写了一篇文章, 进展顺利。有意思的是, 我要回牛津之前, 在普林斯顿与弗里曼·戴森 (Freeman Dyson) 交谈时, 谈到 Roger Penrose, 他说：“哦！Roger Penrose 对黑洞做了一些非常好的研究, 我一直很钦佩, 但关于扭子 (twistor), 他做了一些非常有趣的研究。我不太了解, 也许你去牛津时, 会明白什么是扭子。” 他说得对, 完全正确 (笑)。那是连接的环结。

Oscar: 它与你们在代数几何的共同背景相关, 对吧？

Atiyah: 当然, 我们了解直线及 Grassmannians 的 Klein 表现。我们也很了解古典几何, 所以我们有极为优质的关系, 相处融洽。他有很多学生；他和一群学生一起做研究, 年轻时即结识霍金 (Hawking), 所以我和这群物理学家都有很好的联系 (也经由 Singer), 学到了很多东西。Singer 和 Bott 拿的学位都不是数学的。Bott 曾被培养为电机工程师, Singer 学的是物理, 他们后来才改做数学。Singer 曾研究物理, 断定物理不够严谨。Bott 被栽培成电机工程师, 因 Hermann Weyl 之故而研究数学。是的, 他们来自不同的背景, 因为在那个时代, 做数学不算真正的职业。你父亲不认为你应该那样做；你应该在职场中受训, 像是做工程, 钱才会进帐 (笑)。数学家不被认为是可以找到工作的职业。当然, 现在已经起了一些变化, 但是在那个时代, 情况就是如此。

Singer 和 Bott 熟识陈省身, 而陈省身和杨振宁是很好的朋友, 因为陈省身在芝加哥教过他们。他们都是中国人, 所以有个连结——杨振宁、 李政道、 Jim Simons 和陈省身、 Singer 。每当现代物理发生事件, 这人脉让我们得以实时窥其堂奥。但这是巧合。事情很有趣。普林斯顿有很大的数学学院和自然科学学院, 原本合并在一起, 后来拆散。普林斯顿最初延聘的都是大人物：Hermann Weyl、 冯·诺依曼、 Godel；诸如 Pauli 之类的人物也在那里。啊, 但后来呢, 数学变成了另一种数学, 相当具 Bourbaki 风格、 相当纯粹的数学, 偏离了物理。我到那里时, 它们已完全拆伙了, 彼此不交谈。戴森本来可以成为一个连结点, 因为他原本是数学家, 后来成为物理学家；但是物理学家和数学家那时已步上殊途, 追求不同的东西。可以这样说, 数学家对物理并不十分有好感；他们认为物理是一门杂乱的学科, 不是很严谨, 物理学家们对数学也有类似的看法。当代数学非常抽象, 所以它们确实没有联系。事情发生变化时, Witten 出现了, 于是情况变得完全不同, 有了更多互动, 有一些合办的研讨会, 但彼此仍然保持一定的距离。

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Oscar: 回到 1950 年代, 物理学家发展了 Yang-Mills 理论,在此同时, 数学家发展了丛理论 (bundle theory)、 陈氏类、联络等；这些真的是意外事件吗？是什么连结了它们？

Atiyah: 这是个非常有趣的故事。我的意思是, 关键词本来应该是 Hermann Weyl。他是把规范理论(gauge theory)引入物理的学者。他写了第一篇探讨规范理论用途的论文。他是数学界的前辈, 很早就在普林斯顿研究所。他于 1955 年辞世, 那年我刚抵达那里。Yang-Mills 的理论大半在那时发展起来。我遇到过 Mills, 他在那里访问。有人会认为, 既然 Weyl 仍对物理感兴趣, 杨振宁和他应有对话。

Oscar: 他们曾同时在普林斯顿, 但我相信他们未曾有机会讨论。

Atiyah: 当时 Weyl 年事已高, 他对物理的兴趣已是 20 年前的事。当代物理学已朝不同的方向发展, 和他的工作非常不同。新的粒子被发现, 而他对那些事了解不多。但他是老前辈, 如果他们和他谈过话, 他会告诉他们有关 联络和李群的事情。那是年龄和时代造成的意外；我真的觉得很难理解, 他和杨振宁竟没有来往。机会错过了。同时, 顺便提一下, 和我同年代的 Ronald Shaw 在剑桥写了篇论文, 独立地发现了这个理论, 但是他的指导教授说文章“不值得出版”；可怜的家伙, 他从来没有发表过它。但当时物理界对这个理论有一些反对意见, 使得它不那么受欢迎, 以致被扬弃。几年后, 这个理论重新被审视；物理学家仍须使用它, 它有正当的物理用途, 于是它流行起来。但约十五年后, 1970 年代, 它又被席卷而走；这些年间, 物理学家追求不同的东西：对称、 粒子表示法 (particle representation) 和分类, 从事非常不同的研究, Yang-Mills 理论被抛诸脑后。当它再度复出江湖时, 正值我和 Singer 参与其中且深感兴趣, 因为我们正在研究相关的数学。但 Hermann Weyl 知道一切, 物理和数学, 他走在物理学家前面。但物理学家从不强调几何的面向。


Michael Atiyah 教授 (右) 与访谈者

Oscar: 但感觉上, 有一个缺失的环节, 使得它更加神秘：他们正在发展类似的东西, 且他们花了很长时间才意识到这一点。

Atiyah: 故事是这样的：Hermann Weyl 用规范理论把电磁学与爱因斯坦的相对论统一起来。他写这篇论文时, 爱因斯坦指出：这在物理上毫无意义, 因为 Weyl 研究的是实线丛 (real line bundle), 在其上尺度发生变化。规范理论与尺度有关；他的想法是：如果你在磁场中循一条路径走, 你将会改变事物的长度与尺度。爱因斯坦说：这是无稽之谈；如果是这样的话, 氢原子将不会都有相同的质量, 因为它们有不同的历史。尽管如此, 这篇论文还是出版了。这让我觉得有趣。这篇文章会发表, 是因为 Weyl 仍坚持自己是对的, 而爱因斯坦的反对意见被放在附录。Weyl 明白这些, 但要等几年后, 量子力学出现, 相位长度 (length of a phase) 被重新解释, 物理界的异议方才消失, 理论于是成为准则、 当代的准则。那时 Weyl 已撇开该议题, 不再研究它了。但是他当然知道, 这完全是他的理论, 尽管 non-abelian 的版本在他过世后才开始发展。如果他在世久一些, 他可能就是主要的缺失环节。

Oscar: 但有趣的是, 在数学界, non-abelian 理论当时正在发展。

Atiyah: 是的, 但这几乎是不可避免的。重点是：丛理论是黎曼几何的一个分支, 涉及微分几何、 平行移动, 是黎曼与意大利几何学家发展出的。它关乎切丛 (tangent bundle), 关乎度量, 但与丛的超结构无关；超结构实际上较易处理, 涉及度量的情况比较困难。

爱因斯坦提出相对论时, 引起微分几何学家很大的兴趣。它给了微分几何很大的冲击。平行移动是广义相对论的一部分, 所以这是非常自然的。新的做法是把向量丛放在空间之上。这非常好。而平行移动的概念对几何学家来说十分熟悉；不久之后, 陈省身和 Weyl 就把这个概念引入丛理论及特征类(characteristic class)。在数学里这行之已久；始自黎曼和 Betti, 微分几何学家一直这么做。爱因斯坦的相对论被并入微分几何, Yang-Mills 则因丛理论而进入微分几何。

这些都是数学的一部分。当时发生的事是, 我和 Singer 正与 Dirac 方程建立连结, 那是物理学家熟悉的一类微分方程, 关乎自旋、 旋转等。这是一个以前未曾被认真研究的新的数学。谁知道呢？我认为数学始终在那里。物理学家当时刚触及它, 后来对它非常感兴趣。那时 Hermann Weyl 过世了。这是一个有趣的故事, 但和生活中的大多数事情一样, 事实的发展并不符合你的预期, 也不是你回顾时想收成的。你可以在当时有不同的做法。这有点意外, 取决于时代的风尚、 人物及他们的个性。这很有趣, 是不可预测的。这不是自发的, 而是碰巧如此。

Oscar: 历经这些激荡人心的岁月, 由于你的贡献以及你的合作者、你的学派的贡献, 理论物理的全景产生了巨大的变化。举例来说, 目前模空间在物理学无处不在。

Atiyah: 是的, 我们从那里起步, 当然是在代数几何脉络下发展, 而我熟知这些东西。随后物理学家对弦论产生浓厚的兴趣, 变得更加数学化, 且承接了其他人所做的大量数学。我的学生致力于 Donaldson 理论；在 1970 年代之后, 这种互动大为增加, 并且产生巨大的影响 (现在仍是如此)。物理和数学仍相互滋养。

Oscar: 我想请问：你目前对事物有何感受？是否觉得什么令人兴奋的事情正在发生？

Atiyah: 是的。随着年龄的增长, 你当然会与目前发生的事情有点脱节。我会间接听到一些内情。我读一些新的论文, 知道 Chern-Simons 理论有一些发展。至于我感兴趣的事, 譬如：结理论 (knot theory), 我会试着多少跟上它的发展, 虽然程度稍小。数学常变得更繁复；有更多抽象的东西, 譬如导范畴 (derived categories), 是老一代的人不喜欢的东西；但数学与物理的互动仍然非常密切, 目前已有一整代人同时研究数学和物理, 很难区分他们是物理学家还是数学家；他们是混合体, 这意味着他们有一些麻烦, 因为物理学家不把他们看作物理学家, 数学家不把他们看作数学家。所以, 他们有时候很难找到工作。我的意思是, 如果你无法归类, 谁会给你工作。但我认为这是非常健康的事情, 并且有一些研究中心鼓励混合的观点, 譬如弦论。所以, 毫无疑问, 这仍然是一个非常活跃的领域。这对物理学究竟意味着什么？物理和数学有着密切的关系, 但存在着差异。物理学在寻找宇宙的独特解, 而数学在探索所有可能的宇宙或可能的理论。我们有很多想法, 其中的一些无法在物理存活, 因为物理学家喜欢新的想法; 但数学家可以用这些想法研究一切种种, 数学家与事物的联系与物理学家不同, 你永远不能用物理了解。

我有我自己的想法。我跟上目前的发展, 但试图独立些。我认为, 试图恪遵年轻人的做法, 是没有意义的。我喜欢有一些不落俗套的想法, 或者可以说, 较为创新的想法。我把玩有点不正统的新想法。我正在做的一些事, 不同于其他物理学家目前所从事的。我的意思是, 没有人知道物理是否有最终理论, 抑或我们是否接近最终理论, 抑或事实上, 在五年内, 它们会形成完全不同的观点, 抑或这系列观点会演变, 而后将会有很彻底的变化。目前的一些想法将会被吸收, 一些将会被扬弃, 一些将会改变, 但无论是好的物理还是坏的物理, 数学都将从中受益。它有数学的内涵, 数学家已学到了很多, 譬如：镜像对称和弦论中的对偶性是来自物理的想法。我认为正如 Witten 所宣称：弦论是二十一世纪数学的一个分支, 在二十世纪意外被发现。现在它已自成一体, 且还不太清楚它是什么理论, 但它持续带来改变数学的新思想。我们正处在思想的漩涡中央, 像被旋风环绕着。你不知道将会发生什么。很难预测, 你也不想预测, 因为我总是说：如果你能预测, 它就是无趣的。有趣的是新的发展, 如果你能预知它们, 它们就不会那么令人兴奋。你必须为惊喜做好准备。你必须寻找惊喜, 而时不时地会有惊喜。

Oscar: 我很惊讶于你在这次会议展现的活力。你仍然在思考和生产。告诉我, 现在你每天做些什么？

Atiyah: 遗憾的是, 我已老了, 我的妻子也在变老。她有很多病痛, 我必须花很多时间照顾她。这情况以各种形式出现在我们所有人身上。她占据了我 75% 的时间。参加这样的会议, 对我而言是罕见事件。我难得有这个假期来此谈论科学。在家的时候, 我只差堪幸存。我有一位物理界的朋友, 每周和我会面一两次, 讨论我的想法。过去一两年, 我忙着写 Hirzebruch 的传记文章。我还参与撰写伦敦数学学会和皇家学会的历史 (还没有完成, 但是花了我很多时间)。这显然是优先事项：当我还健在的时候, 我必须这样做。

除此之外, 我有些疯狂的想法, 而我试图去探询它们。我和年轻人交谈, 因为你需要年轻人来推动想法。而其中一些……今年的会议有点意外, 因为我很久以前钻研过这些想法, 但我并没有意识到, 有这么多人在研究实向量丛。我来了, 发现我可以跟上某一些, 但不是全部。大部分成果源自我在 50 年前的一篇论文。这是很有趣的经历。我现在有了这个经验：我参加会议, 在这样的大讲堂, 坐在顶端, 以方便进出。年轻人坐在底下, 他们正忙着谈论我和我在 50 年前的工作。我感觉自己好像活在天际, 俯视着我的过去。我飘浮着, 越来越靠近天堂。这是非常奇怪的经历。那些年轻人从来不知道我在那里 (笑)。另外, 回顾自己 50 年前的工作, 是一个有趣的经历, 因为你已难以了解自己的论文。当你还年轻时, 才思敏捷。如今我尝试阅读自己的论文, 觉得它们很困难 (笑)。即使原则上我了解它们, 但我已经忘记一些技术性问题, 已无法完成它们了。这是很有趣的经历, 而我很欣慰地发现 : 自己几年前完成的结果至今仍生机盎然。往往当事情向前推移, 既成的结果会被遗忘, 但我在 50 年前做的一些工作至今仍被使用、 被重新发现或重新发展, 并被推向新的方向。这极其让人振奋。我不能说我跟上了所有的东西, 但我可以看到, 它试图往很好的方向推进。

很高兴来这里参加这个特殊的活动, 我的意思是, 小规模的活动。我也去参加其他的会议, 但我没有太多的机会。当然, 我去参加讲座和研讨会。我最近去意大利参与一个节日活动。意大利人喜欢节日活动, 有音乐、 诗歌和数学, 是非常优质的、 混合的文化。意大利人喜欢这样的事情, 在这方面做了很多。文艺复兴的想法！我去罗马、 米兰, 最后去那不勒斯南方, 沿路遇到有趣的人。我想是在罗马, 我遇到 Boris Spassky；他是西洋棋手。我们讨论了下棋之类的事。然后我又遇到了曾获诺贝尔经济学奖的数学家 Nash。他在那里接受采访。我在普林斯顿时对他稍有认识, 当时他有点疯, 但现在复原得非常好。但是, 当然, 他现在是比我更老的人了。[本访谈进行时 Nash 仍在世]

Oscar: 你们有机会交谈吗？

Atiyah: 有, 他接受了采访, 谈他的生平和取材自他的人生的电影, 而我也在那里。这很有趣, 但当然, 那是一个令人难过的个案, 但至少他从多年的病情中恢复过来。你在这些场合遇到有趣的人。我住在另一家旅馆时, 遇到巴西作家保罗·科尔贺 (Paolo Coelho)。他非常有名。他碰巧和我出现在同一表演舞台。他不关心数学, 是个大人物。你遇到有趣的人物组合：音乐家, 诗人 ……

Oscar: 你最近写了一篇关于数学与美的关系的文章, 对吗？

Atiyah: 有一位和我合作的朋友, 是神经生理学家。他是黎巴嫩人, 和我一样。他是黎巴嫩裔, 所以我们一起做黎巴嫩食物。这段时间, 我们做过些讨论。他对艺术很感兴趣。写了一本关于艺术和视觉的书, 把画家试图藉艺术成就的事物, 与大脑中发生的过程相比较。他扫描脑部。我们讨论了一个关乎数学的问题。我问他：当人们想数学时, 大脑里发生了些什么？我们记录了讨论内容。所以我们有一些早先的著作。最近的一篇文章关乎美。当数学家谈论美时, 他们知道自己的意涵, 但是它和艺术和音乐的美相同吗？它们是相同的生理现象吗？基本上, 他和他的团队做的实验显示：是的, 大脑里有一个共同的部分会活化, 不管你是在谈论数学、 艺术还是其他方面的美。当然, 大脑的其他部分会根据情境而活化。所以, 有共同的部分；抽象的美是建立在大脑的, 无论是谈论数学、 绘画或音乐, 都是一种共通的体验。所以, 用“美”这个字是正确的。

Oscar: 那么你有没有体验过数学和其他艺术之间的这种联系？

Atiyah: 我们都知道自己所意指的美是什么。我们藉由音乐和艺术欣赏它。我们也知道如何在数学中感受它, 我认为它们是一样的, 但是你不知道这是否非常客观。现在有一个证明、科学证明, 不是主观的。美的概念在生理上是基于同样的体验。这篇论文写好后旋即闻名于世。纽约时报、 伦敦时报都有专文报导, 马德里也有一篇专文。每个人都能理解它在说什么。它瞬间驰名。我们原本很难出版它, 因为这些并非保守人士所能轻易接受。对一般大众来说, 这些当然非常有趣。

Oscar: 你认为人们看到或证明一个优美的定理时, 会受到感动, 如同倾听或演奏美妙的乐曲？

Atiyah: 是的, 一点没错。我的意思是, 显然它们是不同的；但如果你比较音乐和绘画, 它们也是不一样的; 它们之间有很大的区别, 但我认为艺术欣赏有一个共同的面向。

Oscar: 但数学更难, 不是吗？

Atiyah: 数学较困难, 是的, 但这是整个问题的关键。我们不确定美这个字是否被正确使用, 但作为数学家, 我们知道自己所意指的美是什么, 而且我认为数学的美可媲美于音乐的美。它们不一样, 但它们不相上下, 这是毫无疑问的。我们知道很美的定理是什么 (笑)。这是一种主观的感觉, 但这是真实的。Hermann Weyl 提到：“大半辈子, 我的目标是追寻真理及美, 但每当心意不定时, 我总是选择美。” 人们认为这很荒谬, 但你为什么要为真理担心？容我为这句话辩解, 你想想：真理是你永远不能触及的；你在寻找真理的同时找到了其他的东西。你在任何情况下所拥有的, 都只近似于真理——部分事实。这甚至可能是个错觉。但是, 美是一种主观的当下体验。我想说, 美是引导你走向真理的火炬。你看得到它。它发出光, 告知你方向。你遵循它的指引, 而经验显示, 美的事物导致对的结果。我认为这是真理与美之间非常有趣的联系。我想 Hermann Weyl 会同意这一点。人们说那是玩笑话, 但我确信他是认真的。

Oscar: 谈着谈着就要吃晚饭了。

Atiyah: 是的 (笑)。

Oscar: 简单的晚餐。我不想占用更多的时间。谢谢。

Atiyah: 好的。好。非常感谢你。

Oscar: 我真的非常感谢你。我非常喜欢和你交谈。

Atiyah: 是的, 我也喜欢谈论这一切。

Oscar: 非常谢谢你, Michael.