在 ΔABC 中，AB=AC ，D 是 AC 的中点，已知 BD=m ，求等腰 ΔABC 面积的最大值

王守恩

三角形 ABC，AB=AC，D 是 AC 的中点,  BD=m(已知条件),
求等腰三角形 ABC 的最大面积。答案挺简单的：
记 a 为顶角，当 sin(a/2)=1/3  时，有最大面积。怎么证明？
卡住了，各位网友！可有好的想法？先谢谢了。

luyuanhong

王守恩

在 ΔABC 中，AB=AC ，D 是 AC 的中点，已知 BD=m ，求等腰 ΔABC 面积的最大值
在这里，重心(3条边中线的交点)是解题关键
1，腰中线的2/3处是重心，(2/3)m*(2/3)m*sin90°*(1/2)*3=(2/3)m^2，
面积要求最大，90°当然是最好的，而重心把三角形分成了面积相等的3块。
2，设小正方形边长=a，小正方形对角线=(根号2)a，3个小正方形对角线=3(根号2)a
设 m=3(根号2)a，等腰三角形最大面积(2/3)m^2=(2/3)(3(根号2)a)^2=12a^2
也就是说：等腰三角形最大面积=12个小正方形的面积=(3×4)个小正方形的面积
3，底边中线把等腰三角形分成2个相同直角三角形，在直角三角形中，底边：中线=1：3
4，小结：不管 m 怎么变化，这些等腰三角形都是相似的。记 a 为顶角，则 sin(a/2)=1/3  
也可以这样描述：已知两条等长对角线，交点在1/3处，求四边形的最大面积。

luyuanhong

下面是网友 在《数学中国》论坛上发表的一个解答：

设腰上中线为a,腰的一半为x，底为y，

易算得x＾2=a＾2/〔1+8sin＾2(A/2)〕, y＾2=16a＾2sin(A/2)/〔1+8sin＾2(A/2)〕。

故 S=xycos(A/2)=2a＾2sinA/〔1+8sin＾2(A/2)〕。

再对S求导并令：s′=0，解得cosA=4/5,从而sinA=3/5。