这个积分该怎么算？

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luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/03 06:02pm 第 1 次编辑]

被积函数的奇点 (0,0,0) 并不在积分曲面上，所以，这个曲面积分与奇点 (0,0,0) 无关，从理论上说，是可以积出来的。
但是，因为积分曲面是一个偏在一侧的椭圆抛物面，对它积分时，式子非常繁，看来是不可能用简单的式子把积分结果写出来的。

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我之所以说明（0，0，0）是被积函数的奇点，是因为若用高斯公式的话，必须用∑和
z=0平面构成一个闭合立体Ω，而（0，0，0）是被积函数(&#8706/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z)的奇
点，无法应用高斯公式。
这道题是一本高数书后面“高斯公式”部分的练习题，书中给出的答案是2π。作为一
道课后练习题，而且结果又刚好是2π，看样子应该可以用简单的积分式子把它求出来
的。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/04 01:00am 第 1 次编辑]

由于它是一个曲面片，不是一个封闭的曲面，所以我一开始没有想到它可以应用高斯公式。
其实，我们可以再增添一些曲面，与它一起组成一个封闭曲面，这样就可以应用高斯公式了。

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luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/14 11:47pm 第 1 次编辑]

因为对封闭曲面来说，法线方向必须指向封闭曲面的外部。
对于图中的半球形面 S 来说，指向封闭曲面外部的方向，就是从球面指向半球内部，指向球心（0,0,0）的方向，
这个方向，正好与从球心（0,0,0）指向球面的向量（x,y,z）的方向相反。
所以，cosα，cosβ，cosγ  的表达式中要取 -x,-y,-z ，不能取 x,y,z 。

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非常感谢陆老师的解答！