不断产生 [0,1) 中的随机数，直到随机数之和大于 1 为止，求产生次数 N 的数学期望值

ccmmjj

图老师3 发表于 2019-12-13 15:56
N=1的概率为0，N=2的概率为1/2，N=3的概率为1/6 ……N=n的概率为1/n！    E=∑n/n！=∑1/(n-1)！=e

这和我昨晚的理论分析结果一致。但我写出来一定拖冗难看，还是希望陆老师帮忙写出来。

luyuanhong

ccmmjj

谢谢陆老师，这个证明跟我想的基本一样。

Nicolas2050

让我们先来看一个更简单的问题：任取两个 0 到 1 之间的实数，它们的和小于 1 的概率有多大？容易想到，满足 x+y<1 的点 (x, y) 占据了正方形 (0, 1)×(0, 1) 的一半面积，因此这两个实数之和小于 1 的概率就是 1/2 。类似地，三个数之和小于 1 的概率则是 1/6 ，它是平面 x+y+z=1 在单位立方体中截得的一个三棱锥。这个 1/6 可以利用截面与底面的相似比关系，通过简单的积分求得：        ∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6   


    可以想到，四个 0 到 1 之间的随机数之和小于 1 的概率就等于四维立方体一角的“体积”，它的“底面”是一个体积为 1/6 的三维体，在第四维上对其进行积分便可得到其“体积”

       ∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24

    依此类推， n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ，反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 – 1/n! ，因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是

       (1 – 1/n!) – (1 – 1/(n-1)!) = (n-1)/n!

    因此，要想让和超过 1 ，需要累加的期望次数为

       ∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e