二十几年前的椭圆周长精确公式

空谷幽男

    二十几年前，我在自学数学时曾经推导了一个椭圆周长精确公式。当时向一个大学数学系写过信，得到回复是数学界早已证明不能用初等函数表达。由于本人这么多年一直与数学不沾边，没再有机会提起此事，所以至今也没有得到明确的结论（一是自己没去验算，二是没找专家求证）。
    最近我在画图（一个椭圆）时，突然想起此事，就去翻找历史资料，可遗憾的是暂时没找着推导记录，只找到了公式本身（万幸！）。
    上网搜索，看到了一些这方面的信息，很兴奋，就加入探讨，希望得到专家验证！待找到原始记录后再公布、交流推导过程。
                           2bπ           _________
       椭圆周长精确公式＝———— √2a2－b2            （后面的2是平方）
　　　　　　　　            a

                                                      谷华峰（重庆市）
                                                      guhuafeng@126.com
                                                    02353220547 13206268580
                                                    2005．4．25

zhangjiali

[这个贴子最后由zhangjiali在 2008/11/24 03:50am 第 1 次编辑]

                          2bπ       ______
      椭圆周长精确公式＝———— √2a²－b²            （后面的2是平方）
　　　　　　　　         a
当a=b时，周长=2aπ
当b=0时，周长=0  …………？？？
这好像是一个跷脚公式

njzzyy

下面引用由zhangjiali在 2008/11/24 03:47am 发表的内容：
                          2bπ       ______
      椭圆周长精确公式＝———— √2a²－b²            （后面的2是平方）
　　　　　　　　         a
当a=b时，周长=2aπ
当b=0时，周长=0  …………？？？
这好像是一个跷脚公式

说法站不住脚

Bardo

我想，数学系回复是对的，前人早已有研究。并且，如果你会微积分，你就会用积分来推导。从而能够得出精确的公式。
你的公式精确度如何？是否有所证明，公式是精确的？
网上GOOGLE一下，大家常用的公式，均与楼主不同，但看不出等价。
公式一～五为一般精度，满足简单计算需要；
公式六为高精度，满足比较专业一些的计算需要。
这些公式均符合椭圆的基本规律,
当a＝b时，L＝2aπ，
当b＝0时，L＝0.
希望这些公式能够给椭圆爱好者们带来快乐。
一、
L1=πQN/arctgN
(b→a、Q＝a+b、N＝((a-b)/a)＾2、)
这是根据圆周长和割圆术原理推导的，精度一般。
二、
L2＝πθ/45°(a-c+c/sinθ)
(b→0, c＝√(a＾2-b＾2), θ＝arccos((a-b)/a)＾1.1、)
这是根据两对扇形组成椭圆的特点推导的，精度一般。
三、
L3＝πQ(1+MN)
(Q＝a+b、M＝4/π-1、N＝((a-b)/a)＾3.3 、)
这是根据圆周长公式推导的，精度一般。

四、
L4＝π√(2a＾2+2b＾2)(1+MN)
(Q＝a+b、M＝2√2/π-1、N＝((a-b)/a)＾2.05、)
这是根据椭圆a＝b时的特点推导的，精度一般。

五、
L3＝√(4abπ＾2+15(a-b)＾2)(1+MN)
( M＝4/√15-1 、N＝((a-b)/a)＾9 )
这是根据椭圆a＝b，b＝0时的特点推导的，精度较好。

zhangjiali

站不站得脚看看数值对比就知道了
a---b-------椭圆真值-------楼主值
100~000---400.00000000---000.0000000
100~001---400.10983297---8.885543729
100~010---406.39741801---88.63523624
100~025---428.92108875---218.6455952
100~050---484.42241100---415.5936441
100~075---552.58730400---546.9955906
100~090---597.31604325---616.8731371
100~099---625.18088479---628.1941082
100~100---628.31853070---628.3185307
只有等于圆时才准确，99％都是错误的

伐木道人

    这次，巴豆竟然对了！你要是致力于只解决具体数学问题，这样不是更好吗？

njzzyy

我对这个结果没想通: <当b＝0时，L＝0. 我以为当b→0或b＝0时,椭圆接近或变成一直线,其周长是4a

elimqiu

下面引用由njzzyy在 2008/11/25 09:09am 发表的内容： 我对这个结果没想通: <当b＝0时，L＝0. 我以为当b→0或b＝0时,椭圆接近或变成一直线,其周长是4a

这个思路很漂亮。一下子就说明了公式不可能正确。 椭圆周长的积分是有名的椭圆积分，不能表示为初等函数，这就根本否定了把椭圆周长表达为初等函数的可能性。