陈省身：学算四十年

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陈省身：学算四十年



编者注：本文原载于台湾《传记文学》第五卷第五期，后来又刊登于金庸先生主办的《明报月刊》（香港）。这篇文章曾激励过许多读者走上从事数学研究的道路，其中最著名的有丘成桐、郑绍远等。

以下为正文：

在国外一住十几年，每天与同行切磋乐而不疲，不觉象牙之塔的寂寥与讽刺。这次回国，得与戚友家人小聚，引起了半生的回忆，真如一梦。一生有幸，得与许多当代中外数学大师，有或深或浅的交谊。在数学渐受社会重视的今日，有些史实，或者是大家所乐闻的。

我是1911年10月28日生在浙江嘉兴。幼时因为祖母钟爱，一直不上学。家中有时请先生来教，但并不是长期的。我最初期的国文，是一位未出嫁的姑母教的。我父亲游宦在外。记得有一次他回家过年，教了我阿拉伯数字及四则算法。家里有一部《笔算数学》上中下三册，他走后我自己做里边的题目。题目很多，我想除了一些最难的，我大多会做。我以为这种题目别的小孩一定也都会的，根本没有告诉人。

等到1919年秋天，祖母觉得我实在不该不上学了，就把我送到县立小学，大约是插入小学四年级。三、四年级在同一教室，共有约三十个学生。第一天家里送午饭在教室吃，同学都走光了，独自吃饭，觉得很凄凉。等到四点钟放学前，不知为了什么，教员拿了戒尺，下来把每一学生打一下至四下不等，只有我未被打。大约我这一天实在老实，没有被打的理由。

这样一来，我不肯再去学校了。在家又玩了一年。次年（1920年）去投考教会办的秀州中学高级小学一年级。那时我的国文程度是中等，但是做过《笔算数学》的习题的人，应付数学考试，自觉裕如，所以就考入了秀州。

1922年秋天，我父亲在天津法院任事，决定把全家搬到天津。我们在天津的河北区，附近有交通部办的“扶轮中学”。冬天就插班入扶轮中学一年级。现在在中央党部任职的詹纯鉴兄，和我在扶轮同班。我们在1926年中学毕业后，直到今年（1964年）才再见。

我在扶轮的一级，是所谓的“旧制”四年毕业。毕业前一年，我父亲的朋友钱宝琮（琢如）先生来南开大学任教授。钱先生专治中国数学史，在这方面是很有创见的。他一人住南开，有时来我家，就谈到我的升学问题，进南开就成为可能性之一。

扶轮的同学大部份为铁路员工子弟，大多是预备毕业后谋铁路工作的。因此升学的对象不外是南洋大学（今上海交通大学与西安交通大学前身）、唐山和北京交大。因为同学的影响，我的第一志愿是唐山大学。

但是当时有两件事情，影响我升学的选择。第一是当时华北的政治军事局面不安定，连北京到沈阳的铁路线都时断时通，投考须遇交通困难。第二是我祖母在那年（1926年）夏天去世，家中正办丧事。

结果我留在天津，投考了南开和北洋大学。因为只上过四年中学，北洋只准我考预科，南开准许我考本科，等于跳了两级。这自然对我后来之进南开，有很大的关系。

考南开恐怕有点躁进，因为我的准备不足。数学的主要科目是解析几何，我根本没有学过。我在扶轮所学的物理化学也不够。家中正遭祖母丧事，乱得不堪，但是竟考取了。事后钱琢如先生告诉我说我的数学考卷是第二名。每逢考试我的数学是王牌，它总是把我的平均分数拉上去。

南开理学院分数学、物理、化学、生物四系，分由姜立夫、饶树人、邱宗岳，李继侗四位先生主持。那些系差不多都是“一人系”，除他们四位外，教授很少。父亲同我都不知道有些什么东西可读，也不知道毕业后有什么事好做。不过觉得物理似较切实，所以入学时倾向于物理系。

因为实际上跳了两级，初进大学时是有些困难的。我选了一门定性分析，是邱宗岳先生教的，助教是赵克捷先生，外号“赵老虎”，以严厉著名。我第一次上化学实验，被指定一个柜子。内有些化学仪器。同时接到一个单子，上有这些仪器的英文名字。我们第一件事是对照所得仪器是否完全。我的实验经验，差不多是没有的，根本不知道单上名词与栏中仪器的对应关系。当天指定的工作是吹玻璃管，我自然弄不好。幸亏化学系有一位职员在试验室，在将结束实验前代我吹成了一些。我拿着玻璃管觉得还很热，就用冷水一冲，于是前功尽弃。

回来想了几天，觉得无论如何化学是读不下去了。结果退选化学，改选一门初等力学。当时南开第三年才分系，不过我因为不愿读化学，所以在理学院只剩数学系可进。

那年姜立夫先生请假去厦门大学，数学系只有钱先生一人。我的微积分、力学都是钱先生教的。饶先生学贯中西，但是物理学牵涉太多，我读不好。惟每跟数学有关，我就没有困难。因此对于物理的基本概念，虽然没有读懂，但及格是没有问题的。

一年级的生活，在我是很舒服的。微积分、力学两课，只要做些习题。国、英文则读不读对于成绩没有太大影响。物理只有一堂实验，费些功夫，对于它的内容，无意求深切了解。我做实验，只作几个基本度量，余时只凑答数，所以结束得很快。但藉此倒可了解一些课程的内容。

在台北时有一位记者先生问我如何决定读数学的。我说中英文都不好，又不会做实验，就只好读数学。这个答案实相当近真。现在想来，我的读书路线，实在是早就确定的。比之多才多艺的人，我的选择问题，较简单，一生受此益处不浅。

大一那一年的时间，用于看小说杂书者不少；也时常替人作文。我的中英文虽然都不好，但还有不如我的人。我动笔很快，一写两三篇，把好的一篇留给自己，其它的送人。但有时人家反比我得更好的分数。一年级时我的朋友大都是成绩不顶好的，我时常替他们做种种的作业，以消磨时间。

1927年我升入二年级，我的读书生活与态度有很大的改变。那年姜立夫先生回南开。姜先生在人格上、道德上是近代的一个圣人（记得胡适之先生在《独立评论》的一篇文章上也曾如此说过）。他态度严正，循循善诱，使人感觉读数学有无限的兴趣与前途。南开数学系在他主持下图书渐丰，我也渐渐自己能找书看。

另一个至少受同样影响的人，是同级校友吴大任（大猷的堂弟）。大任是绝顶聪敏的人。他在南开中学毕业，得四年奖学金免试升入大学，他什么功课都好。第一年由南开中学升大学的人，常互相聚在一起，我同他们较少接触机会。但从二年级起直到毕业，我同大任几乎形影不离。大猷比我们高一班，人比我们成熟，所以虽然同班上一些课，而也很相熟，但在一起的机会，没有这样多。

1927年左右的中国数学界是很贫弱的。那时北方北京大学有冯祖荀（汉叔）先生，南方东南大学则有留法前辈何鲁、段调元、熊庆来各位先生。中国人以数学为主科在国外得博士学位的只有胡明复、姜立夫二先生（均在哈佛）。明复先生对组织中国科学社及创办《科学》杂志功劳甚大。可惜他回国不久，就去世了，对于发展中国数学，不能有更大的贡献。他的论文和俞大维先生关于数理逻辑的论文，似是中国人在国外主要数学期刊上最早发表的文章。

南开的数学系那时以脚踏实地见长。姜先生教书是极认真的，每课必留习题，每题必经评阅。在我进南开前，他所训练的学生刘晋年、江泽涵那时都在哈佛读书，申又枨则留校任教员。可说新的一代渐渐崛起。

在那段时期，吴大任和我是数学系最好的学生。姜先生很高兴，开了许多在当时认为高深的课，如线性代数、微分几何、非欧几何等等。我的基本数学训练都是姜先生口授的。我性喜浏览，等到1930年毕业时还读过若干杂志上的论文。段茂澜先生教我德文和法文，都达到了能读数学书的程度。

这几年清华因改为大学而突飞猛进。1930年我在南开毕业那年，清华决定办研究院。我看清楚要深造必须出国留学，但家里不能供给我，所以必须要找公费。清华偶然招公费生，但并不每年举行，名额中也不一定有数学。清华研究院规定，毕业后成绩优秀者可派送留学。所以大任与我经多次商讨后都去投考清华。

我去清华的另一个目的，是想跟孙光远先生做点研究。孙先生南京高等师范毕业，芝加哥大学博士，专攻“投影微分几何学”。他是当时中国数学家中唯一在国外发表论文的，也是第一个中国数学家，在博士论文后继续写研究论文的。在他的指导下，我在1932年《清华理科报告》发表第一篇研究论文。以后又继续写了两篇这方面的论文，都发表在日本《东北数学杂志》。

大任同我都考取了清华研究院。但他因家庭关系，改就广州中山大学当助教。清华数学系因为只有我一个研究生，决定延办研究院，改聘我为助教，所以我到1931年才做研究生。因为是第一年考取的，我的学号是零零二，有时成为朋友们的谈话资料，其实学号是照姓名英文拼法的字母排的，并无其它含义。

清华渐成国内最高学府之一，尤以理学院为然。

数学系教授有熊庆来、孙光远、杨武之及我后来的岳父郑桐荪先生，教员有周鸿经、唐培经先生。学生很多优秀者，如庄圻泰、许宝騄、柯召、徐贤修诸位。

孙光远先生率直天真，相处甚欢。我用许多时间读投影微分几何的论文，可惜那只是数学的一旁支。投影微分几何的研究当时已到穷途末路，我渐觉得它的肤浅。但是后来在这方面又写了几篇论文，都是难题目做不出时用来调剂心情的结果。那时国内的数学界渐渐注重研究，但实在还没有人了解研究的主流所在。

那时清华数学系最引人注意的人物，当数华罗庚。罗庚江苏金坛人，和培经同乡。

罗庚初中毕业后辍学在家，就自修数学，因为同乡关系，他同培经通信，质询数学问题。有一期《学艺》杂志上一位先生“证明”五次方程式可解，编者竟登载了。罗庚能把错误找出，因此数学系决定聘他为图书管理员。他1931年来清华，办公桌放在系主任熊先生办公室外面，不久就成了系里的中心人物。罗庚是一个十分活跃的人，凡数学讨论，系内人事，他无不参与。他是确有数学天才的，每天工作十几小时，所以短期内便有文章在国外杂志发表。他的腿因幼时患伤寒症而跛，又因没有上过大学，和大家出身不同，以致有高度的不安全感。他在数论、代数、多元复变函数论，都有重要的贡献。关于他的故事很多。记得有一次，他的一篇文章，经某德国杂志接受，他站在科学馆前，逢人握手，告此喜信。

1932年胡坤升（旭之）先生来任专任讲师，胡先生专长变分学，他在芝加哥大学的博士论文是一篇难得的好论文。旭之先生沉默寡言，学问渊博，而名誉不及他的成就。他不久改任中央大学教授，近闻已作古人，深念这个不求闻达的纯粹学者。

这个时期，有些国外学者来华访问，数学家有哈佛的伯克霍夫(George Birkhoff)及布拉希克 (Wilhelm Blaschke)先生。布氏是德国汉堡大学的教授，有名的几何学家。他做了一组演讲，题目是“微分几何中的拓朴问题”。演讲的内容深入浅出，大开眼界，使我深切考虑到去汉堡读书。

在清华四年（1930至1934年）读书不太紧张，但亦未太荒废时间。自然多读了些书，也学会了写投影微分几何的文章。那段时期确定了微分几何为自己研究的方向。微分几何的出发点是微积分在几何学上的应用，有三百多年的历史。自从爱因斯坦的广义相对论以后，大家想从几何里找物理的模型，不少几何学家在那里工作，可惜至今成就不大。

微分几何的正确方向是所谓“整体微分几何”，即研究微分流形上的几何性质。它与拓扑学有密切关系，其系统研究，那时才刚刚开始。这是在清华时始终憧憬着的方向，但未曾入门。那时候的心情，是远望着一座美丽的高山，还不知如何可以攀登。

1930年以后，国内数学界有长足的进步。许多在国外留学而有成就的学生回国了。北大有江泽涵、申又枨先生，浙大有陈建功、苏步青先生，其它如中央、中山、武汉等数学系标准都提高了。尤其浙大在陈、苏二先生主持下，学生甚多，工作极勤。可惜他们采取的态度，可名为“学徒制”，学生继续做先生的问题，少有青出于蓝的机会。要使科学发展，必须要给工作者以自由，这是值得深思的。

1934年夏我毕业于清华研究院，得到两年公费的机会。清华公费普通是留美，但我得到准许，留德去汉堡大学。汉堡大学是第一次世界大战后才成立的，但数学系已很有名。那年希特勒上台，驱逐犹太教授，德国的老大学如哥丁根、柏林等都闹学潮。汉堡数学系幸而比较局面安静而工作活跃，不失为数学家理想的去处。

汉堡大学数学教授除布拉希克外，尚有阿丁(Artin)、海克(Hecke)二人，其中尤以阿丁氏最为特出。他是近代抽象代数开创者之一。但他的兴趣及于整个数学。他的演讲与论文，都是组织严密，曲折不穷。难懂的理论，经他整理，都变成自然。他二十多岁即任正教授，为人随和，看起来像学生。

我9月到汉堡，学校11月才开学，10月初布先生度假归来，给我他所新写的几篇论文。我不到开学，就找出他一篇论文里一个漏洞。他很高兴，叫我想法补正，我居然也做到了，结果写成在汉堡的第一篇论文。德国大学制度，博士学位的主要条件是论文，指导的教授差不多可以完全决定学位的授予。我总算初见就给布先生一个好的印象。

汉堡立刻成了中国学数学者的圣地。姜立夫先生那年恰好休假，来了汉堡。其它有曾炯之、程毓淮、周炜良等。曾、程二兄已在哥丁根得了博士。炯之是女数学家诺特(Noether)的学生。他的论文是有名的“曾氏定理”，在代数几何中是一个基本的贡献。炯之为人直爽诚恳，没有人不喜欢他，不幸在抗战时死于四川西昌。诺特先生是抽象代数的领袖之一，大家公认为女性中最伟大的数学家，放在男性数学家中也绝对是第一流的。

1935年来汉堡的有吴大任。他考取第一届留英公费，从伦敦大学转来汉堡。张禾瑞、袁炳南、金再鑫等也陆续而来。大任的夫人陈同己亦习数学。布先生时常旅行，数学上同我接触最多的是凯勒 (Kahler)博士。凯勒先生那时刚完成他的一篇论文，后来称为“凯勒空间”的即此论文之发现。他是布先生的助教，他学问渊博，态度谦和，工作上正在突进的时期。他写了一本小书《微分方程组论》，发展法国大数学家卡当 (Elie Cartan)的理论。书中的基本定理，后来称为“卡当--凯勒定理”，凯勒先生领导一讨论班，共读他的书。但是这理论太复杂了，凯勒先生又不善于讲书，结果如一般讨论班的命运，参加者愈来愈少。我则“抗战到底”，所以也许是最受益处的人。

从此讨论班我逐渐认识卡当的伟大数学天才。卡当先生的论文以难读出名。我渐渐习惯于他的想法，觉得实在是最自然的。我的博士论文是卡当方法在微分几何上的应用，是一篇脚踏实地的工作，但无惊人之处。我的论文1935年就完成了，因为布先生返德，1936年初才正式得学位。

周炜良因为未婚妻是汉堡人，所以虽在莱比锡注册，几乎常常住在汉堡。他1936年夏天得博士。他的论文的内容，后来在代数几何中称为“周氏坐标”，是一个重要的成绩。

以现在的标准讲，汉堡是一个规模不大的中心。但那里有第一流的领导者，因之有优秀的学生。两年在汉堡的留学生活，就我来讲是快乐的。

1936年夏我的公务期满，就接到清华与北大的聘约。我却决定去巴黎随卡当先生工作一年。那年得到中华文化基金会的补助。这于我在数学研究发展上确是有决定性的一年。卡当先生不但是一个伟大的数学家，他为人和蔼随便，也是最好的教员。他是巴黎大学的几何学教授，学生众多，在他办公时间，候见的要排队。幸亏过了两个月，他允许我到家里去看他。我每两星期去他家里一次，回来的第二天往往接到他的长信。继续表示前一天所讨论的问题的意见。在巴黎十个月，工作异常紧张，所得益处，不限于那时的文章所能表现者。

1937年夏离法经美返国，去清华任教授。不幸未离巴黎，卢沟桥事变已爆发。行程虽未改变，心情不免沉重。归国后经香港、长沙，而至昆明，在西南联大六年，抗战生活，不在本文叙述范围之内。所可说者，我身边带了一批卡当及其他数学家的论文复印本，所以虽在播迁，工作不全辍废。而学校在战时不正常，反给我更多的时间，可以从事工作，研究论文仍旧继续发表。我当时在国内跻列群贤中，被看作数得上的数学家，即在国际，亦渐为若干人所知。但对于工作成就，衷心深感不满，不愿从此默默下去。

我1943年由昆明去普林斯顿是一生的大决定。那时大战方酣，中美交通困难。一个可能的路线是从昆明飞印度，再坐船经好望角泛大西洋赴美。想到德国潜水艇的活跃，这条路线自然有相当危险。但我决心赴美，不顾一切困难。普林斯顿高等研究所的维布伦（Veblen）先生欣赏我的工作，给我弄到经济援助。结果我于7月坐军用机，用了七天功夫，经印度、非洲、南非洲，至迈阿密。

到普林斯顿后我立刻做出了一个确是极重要的工作，就是所谓 Gauss-Bonnet公式的新证明。两年功夫发表了几篇在微分几何学方面精心独诣的文章。所谓“陈类”(Chern characteristic classes) 等都是那时候做的。当代最伟大的几何家霍甫夫 (Heinz Hopf)先生，评论我的一篇论文时说“微分几何迈入一个新时代了”。

战后于1946年春返国，奉命组织中央研究院的数学研究所。数学所名义上由姜立夫先生任所长。但姜先生只在南京几个月。从1946年到1948年，一切计划，都是由我主持的。我的政策是“训练新人”。我收罗大批新毕业的大学生，每周上十二小时的课，引他们入近代数学之堂奥。所中研究员有胡世桢、王宪钟、李华宗等先生，助理员甚多，后来有特殊成就的，有吴文俊、杨忠道、陈国才、廖山涛、张素诚等。我很高兴，现在的数学所[按：指台湾的中央研究院数学研究所]，仍旧继续着这个提携新进的政策。

在结束本文之前，不觉有两点感想。

第一，平生中外师友，有不少比我能力高的，结果成就或不如我。我得力于吾国两句平常成语自励，即“日新日日新”的精神和登峰造极的追求。问题选重要的做，虽大多无成，失败远多于成功，而所得已稍足自慰。杨武之先生赠诗谓“独步遥登百丈楼”，誉不敢承。然论为学态度，则知已深谛我心也。

第二，香港中文大学有一位英国先生跟我说，你们中国还没有自己训练成的第一流科学家。李济之先生也说过，科学在中国没有生根，我都有同感。其实中国训练成的第二、三流科学家有几人？日本汤川教授在做成介子的工作以前，没有离开过日本。相形之下，当知努力所在了。