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发表于 2019-10-22 17:44
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本帖最后由 luyuanhong 于 2019-10-24 11:37 编辑
文静与活泼的函数
中学代数处理的主要对象之一是函数,比如多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数等所谓的“初等函数”。在“三角函数”课程中大家也学了六个三角函数以及它们所对应的反三角函数。学完后学生对这些初等函数的定义域、值域、单调性、极值等性质,可以说达到了如指掌的程度。比如说,底大于1的指数函数是严格递增的,底小于1的指数函数是严格递减的,如此等等,不一而足。如果学了初等微积分,我们就会对初等函数的微分和积分的公式及其众多应用知道得更多了。
但是在中学的课本里,这些函数一旦出场,就像一个被封建伦理道德熏陶出的文静姑娘一样,在公开场合羞羞答答,不敢以多姿多态的现代形象吸引他人。旧时代司空见惯的坐在床边羞答答姑娘的一举一动,只有那些辜鸿铭(1857-1928)式的老派人物喜欢。现代人追求的是活泼可爱的青春气息。让函数动起来,就有了函数迭代以及迭代与函数表达式中带有的参数之依赖关系的研究。
如果一个骄傲的高中生号称他学会了指数函数的所有性质,那么试试问他这个问题:
取一个正数a,请问a, a的a次方, a的a的a次方, a的a的a的a次方, …… 这个所谓的“迭代指数列”最终会走向哪里?
这个问题有趣吗?我们通常使用的高中代数课本、各地大量印刷的教辅书、铺天盖地出现的课外辅导班、不断深入千家万户的的家庭教师等,问过这个问题没有?
两百多年前的大数学家欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)问过!1778年,他第一次研究了该数列的收敛性问题,而与此问题相关的方程 x^y = y^x 求解问题则早其50年前,由比他大7岁的亲密战友丹尼尔·伯努利(Daniel Bernoulli,1700-1782)提出。伯努利给哥德巴赫(Christian Goldbach,1690-1764)的信中说:
“我解决了一个有趣的问题:找到不相等的数 x 和 y 使得 x^y = y^x 。该方程仅有一组整数解 x = 2 及 y = 4,但却有无穷多个有理数解。”
上述欧拉的“迭代指数列”只不过是以a为初始点,迭代以a为底的指数函数
f(x) = a^x
而得到的迭代点数列。这里的底a,可被看成是指数函数簇 {ax} 中的参数。
对于学完了高中代数并且有初等微积分基础的的高中生,可以考虑更一般的问题:从任意的初始点x0出发,无穷次迭代指数函数 f(x) = a^x,得到一个无穷数列 {xn}。试问这个数列最终会走向哪里?
更进一步,对哪些初始点 x0,迭代点的数列收敛或发散?如果收敛,收敛到何处?如果发散,又怎样地发散?你的结论对底大于1或小于1的不同情形,是一样的吗?
我们不拟给出现成的答案,仅仅画上几张富有启发性的图。下面是指数函数当底为 e^(1/e) 时的图像,这根曲线在点 (e, e) 处恰恰与x-y轴的对角线 y = x 相切。这时候,x* = e 是函数 f(x) = e^(x/e) 的惟一不动点。但当初始点取任一其他数值时,由此起步的迭代点的轨道则怎么走呢?
图中曲线表示函数 f(x) = e^(x/e),x-y轴的对角线表示函数 y = x。x* = e 是函数 f(x) = e^(x/e) 的惟一不动点。
如果将指数函数的底a从 e^(1/e) 变小一点,但还是大于1,这时它的图像就会连续变形到如下所示:
对于 1<a<e^(1/e),函数 f(x) = ax 有两个不动点:左边的不动点x* 和右边的不动点y*。
原先底为 e^(1/e) 时图像中的切点一下子分成两个点来,它们是新的函数图像与对角线的交点。也就是说,函数 f(x) = a^x 现在有两个不动点了:左边的不动点x* 和右边的不动点y*。我们由图发现,曲线在靠近左边交点处看上去像胶东平原那样比较平坦,而在靠近右边那个交点附近却像泰山那么陡峭了。这些几何上的观察会指导我们得出关于从任何非不动点出发的迭代点轨道最终行为的结论吗?
反过来,如果将指数函数的底 a 从 e^(1/e) 变大,几何上就是把上面的第一个图像向上提升一点,再加点变形,结果是切点消失了,整条曲线与对角线老死不相往来,导致没有了不动点。但是从任一数作为起点,迭代还是可以继续做的。问题是这时迭代点的轨道何去何从?
上面只对底大于1的指数函数的迭代分析给出了提示。当底a大于零但小于1时,指数函数 y = a^x 的图像和对角线总是只有一个交点,即函数有且仅有一个不动点。从任一其他点出发的迭代点轨道会趋向于它吗?如果我们仔细地研究这个问题,就会发现初等微分学更加神奇的作用,它将把我们引入周期轨道的范畴,并再次领略“分支图”的风光。这时光研究指数函数本身可能就不够了,还要研究它和自身的复合函数,其当底a等于0.1时,图像为
图中的曲线表示当a等于0.1时,指数函数 f(x) = a^x 的复合函数 g(x) = f(f(x))。
当底递减到一个奇怪的小正数时,该条曲线连续变形到下面的形状:在曲线与对角线的交点 (1/e,1/e) 处,对角线也是曲线在该点的切线。此外,曲线在切点的左侧是“向上弯”的,而在右侧是“向下弯”的,所以这个切点是一个我们驾车在高速公路上常常遇到的“拐点”。它的存在决定了当底 a 变得比 更小时,比如说 a = 0.03,函数 f(x) = a^x 和它自己的复合函数 g(x) = f(f(x)) 的图像就像蛇扭动身体一样地扭曲成如下有点像“S”的形状,于是与对角线的交点增加到3个。
图中递减的曲线表示函数 f(x) = a^x,其中a=0.03。扭曲的S形状曲线表示复合函数 g(x) = f(f(x))。
这样指数函数 f(x) = ax 除了不动点 x* 外,产生了一个周期为2的轨道。如此这般,我们就能想象和猜测其他点出发的轨道最终的走法如何。
解决了上述问题,对之前“欧拉迭代指数列”收敛与否问题的解答,只是一个推论而已。研究这类具体带参数函数迭代问题的过程,需要代数知识的融会贯通和精巧的微积分技术,以及一颗善于思考的头颅。对其他有启发性的类似问题,其几何直观性与分析严密性相辅相成,可以引导学生吸收“离散动力系统”这门现代数学分支的基本思想。如果会高屋建瓴地应用初等代数与初等微分学的基本概念和精巧知识,就能进行深入而卓有成效的探讨,而这对于出类拔萃的高中生,并非是可望而不可即的难事。须知,离散动力系统里的最有名定理之一——“李-约克混沌定理”,其证明中所用到的主要工具仅仅是初等微积分中的“介值定理”。我们对于天才学生的教育理念,一定要跳出“循规蹈矩”的锁链,不拘一格地设计出别具一格的“提高班教材”。
可见,与“活泼”的函数“约会”要比与“文静”的函数“厮守”好玩有趣多了!这就是现代数学“下放”后的一枚硕果。
静态与动态的几何
平面几何可以说是中学阶段最重要的一门数学课程。我们从中学会了怎样由公理、公设、定义等数学概念出发,演绎出一大批关于三角形和圆等几何对象的命题。平面几何是中学生训练思维的大脑体操。如果没有学会推理的本领,进了大学大概难以学通《数学分析》这一每个定理都需要严格证明的数学系难课,更不要说更难的《实变函数论》了。
改变美国历史进程的伟大总统林肯当律师时,为了训练自己分析案件逻辑推理的能力,精读了欧几里得的《几何原本》。这个美国历史上最后一个没有大学文凭的总统,他数学推理的本事很可能比后来那些有博士学位的总统更强。
但是在我们中学所学的初等几何中,给定的几何图形是固定的,故平面几何也可被称为“静态几何”。
世界是随时间的变化而处在不断的运动之中,因此数学园地中的一大块地盘就是要研究随时间而变化的模式、结构或数量。一切数学对象的变化都可被视为时间的函数。如果限制在几何对象的变化,那么根据某种法则将一个几何图形变成另一个同类图形,而让时间演进直至无穷,探究这些图形某些性质的最终性态,是动力系统的一门子学科动力几何的任务。有能力的高中生学习了平面几何后,可以进一步研究迭代三角形或多边形,检视它们的最终形状或其他方面的走向,帮助建立起现代数学中的新观念、新思维。
我们考察下面这个三角形迭代的问题:取一个任意的三角形A0B0C0,作它的内切圆,则三个切点确定一个新的三角形A1B1C1。然后对这个三角形做同样的事,即作它的内切圆,得到的三个切点确定下一个三角形A2B2C2。这个过程周而复始,可以一次次不停顿地迭代下去,就得到一个迭代三角形的序列 { AnBnCn }。很显然,它们的尺寸越来越小,最后将趋向于一个点。但是我们问下面这个问题:这些三角形的形状最终会是怎样呢?假如最终形状是可确定的,它会依赖于第一个三角形的形状吗?
我们再举一个例子。任取一个三角形A0B0C0,作它的内切圆,连接圆心与三顶点A0、B0、C0的三条线段与圆依次相交于A1、B1、C1,它们形成一个新的三角形A1B1C1。然后对后者做同样的事,并一次次地迭代下去。试问这些三角形最终的形状走向是什么?和前一个例子有何共同或相异之处?
对上述两个离散动力几何的例子,平面几何的四点共圆定理和初等代数里的等比数列等内容,加上极限的概念,就能求出问题的解。但是这也给出一个契机,让优秀学生接触到非负矩阵的 Perron-Frobenius 理论。这个以一百余年前的两位德国数学家的名字命名的理论,一般却不出现在大学本科的《线性代数》教材中。在一些矩阵理论的大书里,如 Roger Horn 和 Charles Johnson 的名著 Matrix Analysis(《矩阵分析》),往往也只放在最后的一章。非负矩阵是一类特殊的矩阵,但用途要说多大就有多大。比如说谷歌的创始人Larry Page和Sergey Brin在二十年前引进了“谷歌矩阵”这个全世界最大的矩阵,它就是非负矩阵,即矩阵的每个元素都是非负数。他们运用Perron-Frobenius定理,计算了“网页排序”这个关键的非负向量。今天全世界的网民都是这个向量的受益者。
非负矩阵的初等理论就能毫不费力地回答上述两个关于三角形迭代序列的终结形状问题。但是这个理论对下一个更有趣、导向现代数学分支“分形理论”的“垂足三角形”迭代问题,却“束手无策”。
任取一个三角形A0B0C0,由各顶点作其对边的垂线,其对应的三个垂足A1、B1、C1形成一个新的三角形A1B1C1,称之为原三角形所对应的垂足三角形。然后周而复始一次次地迭代下去。所产生的垂足三角形序列具有怎样的最终形状呢?问题的解答会和前面的类似吗?
自然,欧几里得几何的知识依然有用,由此可以找到一个三角形和它对应的垂足三角形的三个内角和三条边之间的关系。这些关系引出了垂足三角形迭代的许多有趣现象,包括所对应的“垂足三角形映射”的周期性、混沌性和遍历性。“静态几何 + 迭代”思想真的可以导致许多令人销魂的新发现!
动力几何的这些看似简单的问题,许多大数学家都探讨过,包括一百年前剑桥大学数学教授Ernest Hobson(1856-1933;他研究了垂足三角形)、爱尔兰数学家John Synge (1897-1995;他是郭永怀、林家翘、钱伟长的硕士论文导师和后者的博士论文导师;他研究了垂足三角形映射的周期点问题)、美国哥伦比亚大学数学教授Edward Kasner(1878-1955;谷歌的取名灵感来自他和侄子的聊天历史)、第一届菲尔兹奖获得者Jesse Douglas (1897-1965)、样条函数之父I. Schoenberg(1903-1990)、美国布朗大学应用数学教授Phillip Davis(1923-2018)、柯朗数学科学研究所的阿贝尔奖得主Peter Lax(1926-;他研究了垂足三角形映射的遍历性质),以及中国科学技术大学的常庚哲教授(1936-2018)。它们和现代数学的分支动力系统及遍历理论融为一体, 并导向混沌与分形的新发现。例如,下面的基于垂足三角形迭代序列的漂亮图形被它的构造者张新民教授称为“Sierpinski垂足三角形”,这是经典的分形“Sierpinski三角形”的自然推广。
Sierpinski垂足三角形的“分数维数”取决于其外表三角形的内角。当外表三角形为等边三角形时,对应的分形就是100年前的波兰数学学派领袖Wacław Sierpinski (1882-1969) 构造的、现以他名字命名的“Sierpinski三角形”。Sierpinski三角形的分数维数是 ln 3/ln 2。那么,内角为x, y, π-x-y的外表三角形所对应的Sierpinski垂足三角形的分数维数又是什么呢?以初等微积分为兵器,好奇心极强且又训练有素的高中生可以披甲上阵了。
总而言之,“怎样把现代数学的一些思想和理论下放到高中作为初等数学教学的补充和提高”,是十分有现实意义的一项挑战。对高中生中那些真正具有数学头脑的学习尖子,怎样尽早地用现代数学的思想武装他们的大脑,让他们尽快走向当代数学的前沿阵地,以及怎样让部分优秀的数学教师有能力帮助他们成长,非常值得探索。今夏国家四部委专门发出的通知以及近日李克强总理在国家杰出青年基金会议上的讲话,都异口同声地说出了要把数学事业提升到国家科技发展战略地位的意向。要实现科技强国的宏伟蓝图,当务之急是要给青少年中的一批好脑袋优渥的教育资源、强大的师资队伍、先进的教育手段、现代的数学思维,努力让他们迅速起步,继而腾飞,翱翔在广阔无垠的数学苍穹中。 |
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