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再次学习敢峰先生的二十步大演绎

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发表于 2019-10-14 09:47 | 显示全部楼层 |阅读模式

再次学习敢峰先生的二十步大演绎
(无图版)
雷  明
(二○一九年十月十一日)

敢峰先生在1992年以前,就用二十步转型演绎的方法构造了一个埃雷拉图(Errera图,简称E—图),敢峰先生把它叫做终极图,其意是,构造这个图的过程中体现了把平面图的各种类型的不可避免构形都能给以4—着色(即是可约的)。所以敢峰先生认为,构造终极图的过程就是证明四色猜测的过程。终极图构造成功了,并解决了终极图的可约性问题,四色猜测也就被证明是正确的了。敢峰先生进行的顺时针二十步大演绎如下各图:
从以上的各步可以看出,在第十五步时,已经形成了极大图,终极图已构造完毕。从第十六步开始,无论是向那个方向再进行演绎时,图都开始了以每20次演绎为一个周期的无限循环演绎,总不可能空出颜色来给待着色顶点。敢峰先生把这种图叫做二阶四色不可解线路集合基准图N。相应的,当然还有一阶四色不可解线路集合基准图M。
敢峰先生的一阶四色不可解线路集合基准图M中也含有双环交叉链,但仍是可以连续的移去两个同色的构形;而二阶四色不可解线路集合基准图N中却与M不同,虽然也含有双环交叉链,但是却不可以连续的移去两个同色的构形。但到了三阶四色最后可解时,图中不但是含有双环交叉链,也不可以连续的移去两个同色,并且图中还含有经过了构形围栏顶点的环形链。
可以看出,从第十五步以后的图中都含有经过了构形围栏顶点的环形链,是属于雷明提出的有环形链的构形,交换环内、外的与环形链相反的色链(即断链交换法或叫邻角链法),即可使图变成一阶四色可解构形。这也就是敢峰先生所说的三阶最后可解所使用的方法。这也就是张彧典先生的Z—交换程序。
敢峰先生每一步的a,都是在前一步b的基础上构造双环交叉链的另一条链(若前一步b就是双环交叉链的则不再构造了)的;每一步的b,都是在a的基础上,进行了一次顺时针演绎所得的图。
从图中还可以看出,第十步之前包括第十步在内各步的b图都是四色可解的图,其中1—6步b,第8步b,第10步b是一阶四色可解图,都只有一条连通链,第7步b,第9步b是二阶四色可解图,可以通过转型交换法进行解决;第十步之后到第十六步前,除了第14步b是一阶四色可解图只有一条连通链外,其他各步的b都是二阶四色可解图,可以通过转型交换法解决;从第十五步b之后的图中却都有经过了构形围栏顶点的环形链,都是敢峰先生的三阶四色最后可解的构形,也都是张先生的用Z—换色程序可以解决的E—图类构形,同样也都是雷明用断链交换法解决的有环形链的构形。
从敢峰先生的图中还可以看出,第十三步之前包括第十三步在内各步的b中,都不存在经过构形围栏顶点的环形链,这些构形都是一阶四色可解的图或二阶四色可解的图。现在我们看一看这些图是如何四色可解的。
当每一步的b图中如果只有一条连通链时,就交换与其有一个共同颜色的相邻链,空出非共同的一种颜色给待着色顶点;若是有双环交叉链时,先进行顺时针转型,再进行逆时针转型,分别直到最后得到可约的4—着色图为止。
第一步图:有一条连通链D—B,交换B—D链空出B给V;
第二步b图:有一条连通链B—D,交换C—B链空出C给V;
第三步b图:有一条连通链C—B,交换A—C链空出A给V;
第四步b图:有一条连通链A—C,交换D—A链空出D给V;
第五步b图:有一条连通链D—A,交换B—D链空出B给V;
第六步b图:有一条连通链B—D,交换C—B链空出C给V;
第七步b图:有双环交叉链,顺2逆2都可以解决问题,V均分别着D。
第八步b图:有一条连通链A—C,交换D—A链空出D给V;
第九步b图:有双环交叉链,顺2逆11都可以解决问题,V分别着C和D。
第十步b图:有一条连通链B—D,交换C—B链空出C给V;
第十一步b图:有双环交叉链,顺4逆4都可以解决问题,V分别着C和B。
第十二步b图:有双环交叉链,顺3逆5都可以解决问题,V分别着C和B。
第十三步b图:顺2逆2都可以解决问题,V均分别着C。
第十四步b图:有一条连通链B—D,交换C—B链空出C给V;
第十四步b图中,已有一个A—B环形链,可以交换环形链内、外的任一条C—D链,都可以使双环交叉链断开或不交叉,使图转化成可约的坎泊构形。这说明无双环交叉链的图若有经过构形围栏顶点的环形链时,也是可以用断链交换法的。
第十五步b图:这时的图已经形成一个DCD型的终极图,顺时针1次转型,就成为第十六步的b,就开始了周而复始的以周期为20的循环转型了。
但当进行与构图时相反相成的逆时针转型时,却不产生循环,因为这一步是刚刚形成的终极图,所以逆时针转型12次,就可空出颜色B给待着色顶点。
第十五步以后的各图中都有经过构形围栏顶点的环形链,虽然构形是周期循环转型的构形,但可以用断链交换法进行解决。这种方法不但能解决终极图的问题,而且也能解决所有含有环形链的构形的问题。现在的问题是对终极图再进行转型或演绎,总是得不到无环形链的构形的,这一部分构形应如何进行4—着色。还有待进一步的研究。
在构造终极图的过程中,所扬弃了的可解构形中是否有无环形链的构形呢,有。第七步b,第九步b,第十一步b,第十二步b,第十三步b,都是含有又环交叉链,但却没有经过构形围栏顶点的环形链,都可以用转型交换法解决。第十五步b虽含有经过构形围栏顶点的环形链,可以用断链交换法解决问题,但由于其是刚刚形成的终极图,用与构造图时是相反方向(逆时针方向)的演绎或转型,仍是可以解决问题的。被扬弃了的可解构形中只有一条连通链而没有双环交叉链的构形,很容易看出来是四色可解的构形,被扬弃了也是很好理解的;但被扬弃了的含有双环交叉链的几个构形,如何能看出它就是可以4—着色的?敢峰先生却没有说明。这是先生大演绎中存在的一个问题。每次被扬弃的四色可解构形的原因都没有说清,特别是这几个含有双环交叉链的构形更要说清楚,并且要指出他们是如何四色可解的。
光指出了被扬弃的这几个含有双环交叉链但没有经过构形围栏顶点的环形链的构形还是不行的,还要证明所有的这样的构形用转型交换解决时的最大交换次数,才能说明所有无环形链、但有双环交叉链的构形都是可4—着色的。只有这样才能证明四色猜测是正确的。
如何证明这一点,终极图的循环周期是20就派上了用场。一个构形如果用转型法转型,只有在超过了两个周期还不能空出颜色仍是含有双环交叉链时,才能确定它是一个周期循环转型的构形,否则就不能确该构形是否是周期循环转型的构形。我们这时所研究的构形,既然认为它是可以用转型交换法解决问题的构形,那么它就一定不是周期循环转型的构形,它的转形次数一定是不会大于40次的。再进行两次关于空出颜色的交换,总共交换次数是不大于42次的。这就是我对转型交换最大次数的证明。

雷  明
二○一九年十月十二日于长安

注:此文已于二○一九年十月十二日在《中国博士网》上发表过,网址是:

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