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本帖最后由 春风晚霞 于 2019-11-4 21:44 编辑
1638年伽利略在他的《两种新科学的对话》一书中提出了如下困惑：“首先，部分数属于平方数，其它则不是；因此，所有数，包含平方数和非平方数的和必定大于单独的平方数。然而，对于每个平方数有且只有一个对应的正数平方根，且对于每个数都必定有一个确定的平方数；所以，数和平方数不可能某一方更多。”
首先我们把伽利略之惑翻释成如下命题：
已知集合A={自然数｝＝｛1，2，3，……,n,……｝;集合B＝｛所有自然数的平方｝＝｛1^2，2^2，3^2，……，n^2……｝，求证A中的元素与B中的元素一样多。
证明：很明显B是A的真子集。现在我们证明A,B中的元素一样多（即A,B等势），建立A，B间的映射f：A→B，n→n^2。所以对任给n∈A，存在唯一的n^2∈B与之对应，同理；对任意的n^2∈B，存在唯一的n∈A与之对应，所以f:A→B：n→n^2是A,B间的一个一一对应（中学教科书称作映射）。所以A中的元素与B中的元素一样多（即A,B等势）。
注：证明两个集合等势的关键是建立两个集合的一一对应关系，主要的方法是元素考察法。 |
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发表于 2019-11-4 16:32