致 doletotodole 与青山 同志

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极限 理论是需要的，但需要改写。
第一，无穷数列极限 不难懂。对1被3 除。由于永远除不尽，除法过程中得到近似商的无穷数列0.3，0.33，0.333，……时，需要知道这个数列的趋向，这个趋向就是这个数列的极限 1/3。研究这个趋向是必须的。事实上，这个数列的通项0.33……3（n个3）与1/3的差绝对值为300……0（n个0）分之一，这个数小于1/10^n, 所以对任意小误差界 ε，都能找到N，使n>N时，无穷数列0.3，0.33，0.333，……，中An满足 ∣An-1/3∣< ε成立，根据上述定义，这个数列即这个无尽小数的极限是1/3.
第二，所有 无穷数列的提出需要有一个通项的表达法则，无穷数列极限研究研究中的 ε、N 法则中的ε可以是{1/10^n}中的任意小数，我称它为误差界。我将数列极限定义改写如下。
定义2（数列极限的非形式化定义）：对于任何无穷数列{An} 与任意小误差界ε（与现行数列极限的形式主义的区别是：笔者在符号ε之前加上误差界的定语；误差界可以取无穷数列{1/10^n} 中的数，或其它有理数，但不需要取无理数），若有理想实数α及自然数N存在，使n>N时，∣An-α∣≤ ε 成立 ，则称数列 {An}收敛，并称理想实数α为n 趋向于无穷大时，无穷数列 的理想极限值（简称为极限）。记作： lim n→∞An=α ; 也可以记作：An→α 。这个定义中的名词“无穷大”及其表达符号∞不是通常意义的实数，无穷大是人们无法达到的理想性数学元素；而且数列的极限值，常常是数列不能达到的理想实数。
第三，所以将无尽小数0.333……看作康托尔实数理论中基本无穷数列0.3，0.33，0.333，……时，式中的通项0.33……3（n个3）与1/3的差绝对值为300……0（n个0）分之一，这个数小于1/10^n, 所以对任意小误差界 ε，都能找到N，使n>N时，无穷数列0.3，0.33，0.333，……，中An满足 ∣An-1/3∣< ε成立，根据上述定义，这个数列即这个无尽小数的极限是1/3. 这个数列可以简写为0.333……，并可以称它为无尽循环小数，但这个无尽小数具有永远写不到的性质，它不是定数，而是无穷数列性质的变数，它不能等于 1/3。现行教科书提出的等式 1/3=0.333……是犯了“把变数作为定数的张冠李戴”的逻辑错误。