勾股函数

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勾股函数

摘要：勾股函数是表述直角三角形各边为整数解的函数关系,勾股函数和三角函数可直接变换.
关键词：素数、三角函数、勾股函数、整数.
GOUGU FUNCTION
Abstract: Gougu function explains that each side of right triangle is the functional relationship of integer solutions, and Gougu function and trigonometric function can be directly transform.
Keyword: primes, trigonometric function, Gougu function, integer

勾股函数的问题,是直角三角形各边的整数解问题,也即是以C为半径在圆周上X、Y轴的值是整数的问题.勾股函数是直接将圆的半径作为函数的变量在圆周上与X、Y轴是整数的函数关系，对“勾三股四弦五”的问题建立了一个完整的函数理论.
三角函数是令圆的半径C等于1，X、Y轴的函数值是斜边和角度的函数关系,X、Y轴的值是小于或等于1.

定义  若素数p≡1  （mod 4）
       则  p=a^2+b^2
我们令p^(1/2)为直角三角形的斜边,a、b为三角形的两直角边.则a=p^(1/2)Cos(α),b=p^(1/2)Sin(α),那么我们称a为股函数元,记为Cg(p);称b为勾函数元,记为Sg(p).勾股函数和三角函数可直接变换。
引理  若素数p≡1  （mod 4）
       则  p^2=(b^2-a^2)^2+(2ab)^2=(pCos(2α))^2+(pSin(2α))^2
这是一勾股函数关系式.我们称pCos(2α)为股函数,记为Cg(2p),称;称pSin(2α)为勾函数,记为Sg(2p).
证明  因为  p=a^2+b^2
        所以  p^2=(a^2+b^2)(a^2+b^2）
                 =a^2+2ab+b^2
                 =(b^2-a^2)^2+(2ab)^2               
       将  a=p^(1/2)Cos(α),b=p^(1/2)Sin(α)代入上式,得：
           p^2=(p(Cos(α))^2-p(Sin(α))^2)^2+(2p(Sin(α)Cos(α))^2
              =(pCos(2α))^2+(pSin(2α))^2
    故得证.
例  设p=5≡1 （mod 4）,则5^2是勾股函数.
解  5=1^2+2^2,5^2=(2^2-1^2)^2-(2*2*1)^2=3^2+4^2
故5^2符合"勾三股四弦五"的勾股函数关系式.
    在这里我们先了解自然数N=p1p2…pm,其中p1、p2、…、pm各各互素,且各数被4整除余1,则p1、p2、…、pm都可表示为两个数的平方和,那么N的二次方都可以表示为勾股数.
定理1  若素数 p1≡p2≡1  (mod 4)
  则   (p1p2)^2=(Cg2(p1±p2)Cg(p))^2)^2+(Sg2(p1±p2p))^2
证明    因为 p1= Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2,p2= Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2
          所以 p1p2= (Cg(p1)^2+ Sg(p1)^2)(Cg(p2)^2+ Sg(p2)^2)
                   =(Cg(p1)Cg(p2)-Sg(p1)Sg(p2))^2+(Sg(p1)Cg(p2)+Cg(p1)Sg(p2))^2
         或    p1p2=(Cg(p1)Cg(p2)+Sg(p1)Sg(p2))^2+(Sg(p1)Cg(p2)-Cg(p1)Sg(p2))^2
        又因为 ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2=((Cg(p))^2-Sg(p)^2)Cg(p))^2+(2Sg(p)Cg(p))^2
                                    =(Cg2(p))^2+(Sg(p2))^2
        同理  （p1p2)^2=(Cg2(p1±p2)Cg(p))^2)^2+(Sg2(p1±p2p))^2
故得证.
也就是说，两个互素的素数,且被4整除余1,则这两个数积的平方,可表示为两组勾股数.
定理2  若素数 p1≡p2≡…≡pm≡1  （mod 4）
          则   (p1p2p…pm)^2=( Cg2(p1±p2±…±pm))^2+ (Sg2(p1±p2±…±pm))^2
证明   用数学归纳法证明
            p1p2p…pm=(Cg(p1±p2±…±pm))^2+ (Sg(p1±p2±…±pm))^2
         令 m=1时,p1=(Cg(p1)^2+(Sg(p1))^2,等式成立;
         令m=k-1时,
           (p1p2…p(k-1)=(Cg(p1±p2±…±p(k-1)))^2+(Sg(p1±p2±…±p(k-1)))^2
         等式成立;
         令m=k时,
(p1p2…pk)=((Cg(p1±p2±…±p(k-1)))^2+(Sg(p1±p2±…±p(k-1)))^2)(Cg(pk)^2+ Sg(pk)^2)
  =(Cg(p1±p2±…±pk))^2+(Sg(p1±p2±…±pk))^2
等式成立.
         又因为  ((Cg(p))^2+Sg(p)^2)^2=(Cg2(p))2+(Sg(p2))^2  
         同理   （p1p2p…pm)^2=((Cg(p1±p2±…±pk))^2+(Sg(p1±p2±…±pk))^2
       =(Cg2(p1±p2±…±pm))^2+(Sg2(p1±p2±…±pm)^2
也就是说,m个互素的素数,且被4整除余1,则这m个素数积的平方,可表示为2^(m-1)组勾股数.

cwl

《勾股函数问题》可以解决《圆内的整点问题》

任在深

   中华簇：

      (√Xˆn)²+(√Yˆn)²=(√Zˆn)², X,Y,Z∈N,n=0,1,2,,,