在 1～6n 中任意取 6 个不同整数，使得这 6 个数之和能被 6 整除，有几种不同取法？

luyuanhong

lihp2020

陆老师 这样分类 我认为很科学 但是  当n>=5是 就分类情况很多   很担心 漏一种

天山草

仿照陆教授的方法做出：

在 1～4n 中任意取 4 个不同整数，使得这 4 个数之和能被 4 整除，有几种不同取法？

公式为：

天山草

以下按待定系数方法做。

在 1～8n 中任意取 8 个不同整数，使得这 8 个数之和能被 8 整除，有几种不同取法？

公式为：

天山草

1～9n 已无法用待定系数方法做了。因为本人电脑能力有限，算出来可能需要许多天。

所谓待定系数法，就是先确定公式的样式，只是有一些系数需要确定，为此必须先运行一个能给出标准答案的程序，让它给出 n=1、2、3、4、5 时的取法数目 s，然后得到一个关于未知系数的方程组，解之就得到公式。

对于 1～9n，目前已算出：

n=1 时 s=1。
n=2 时 s=5408。
n=3 时 s=520779。
n=4 时 s=10460416。
n=5 时 s 等于多少算不出来，电脑已近死机。因为系数有 5 个，所以必须算出 n=5 时的 s，这样才能凑够五个方程。

如果哪位网友的电脑好，或者程序更优化，请给出答案。这样就能确定  1～9n 的公式。

此时如果用陆教授上面的方法逐个情况分析当然也行，只是情况非常复杂，费脑细胞不说，还难免挂一漏万，最好设计一个分析程序。

天山草

对于这个问题，即使算出了 1～9n、1～10n、1～12n、1～14n、1～15n、.........，那也是大戏刚开场，好戏可能在后面。

因为我们最终需要解决的问题其实是：

在 1～n 这连续 n 个正整数中，取出 m 个数字（m 非素数），使这 m 个数字之和能被 m 整除。问有多少种取法？

能否给出一个统一的计算公式？

当 m 等于素数时，包括 m=2，我们已经得到了一个统一的公式，见

www.mathchina.com/bbs/forum.php? ... page%3D2&page=3

公式虽然未经严格证明，但验算了许多数据，尚未发现有一个反例。

lihp2020

这个 我 提供 一个思路 m是素数  可以有统一公式   
为啥素数可以  合数不可以？
我们可以分解因式的方法 如 当M=6 时  是否可以找  取6个数字  能被3 整除    能被2整除的有哪些 再找 之间的关系  就出来了     
只是 思路  验证  太难了

lihp2020

其次通项公式 可以写成 An=aC（kn,k）+bC（kn,k-1）+bC（kn,k-2）+cC（kn,k-3）+..+zC(kn,0)
通过这周 通项 一个容易观察出  abcd ... 的关系  

lihp2020

天山草 发表于 2021-7-31 06:11
1～9n 已无法用待定系数方法做了。因为本人电脑能力有限，算出来可能需要许多天。

所谓待定系数法，就 ...

这个 利用计算机 和陆老师的方法   计算机只需要算 当n=2  时就好了   当n=2 计算机 算准确了  在陆老师的方法凑出来  如果漏了 肯定和n=2的值 不相等  (当然 你不要 有漏 还有算多了的)

王守恩

比较这几个算式，就可以想象题目有多难了。
\(\frac{C_{8n}^8}{8}+\frac{n(32n^3-48n^2+34n-21)}{24}=\frac{16384n^8-57344n^7+82432n^6-62720n^5+27496n^4-7196n^3+1263n^2-315n}{315}\)
\(\frac{C_{6n}^6}{6}-\frac{n(9n^2-17n+10)}{12}=\frac{108n^6-270n^5+255n^4-120n^3+37n^2-10n}{10}\)
\(\frac{C_{4n}^4}{4}+\frac{n(2n-3)}{4}=\frac{8n^4-12n^3+7n^2-3n}{3}\)
\(\frac{C_{2n}^2}{2}-\frac{n}{2}=n^2-n\)