AB=BC，I为ΔABC内心，BM=MI，AP=3PC，H在PI上，MH⊥PH，Q为外接AB弧中点，证：QH⊥BH

Ysu2008

补充：纯几何证明。

Ysu2008

这是2020年全国高中联赛题，难度略强于高考。
目前只看到复数证法。

ataorj

如图,D为AB中点,则QD⊥AB.
因∠3=∠4且BM=MI,则BM⊥FM
∠1=∠2,则弧QB=弧FB,易知QF⊥BM,则M在QF上,QM⊥BM,则Q,D,M,B共圆J,∠QGB=90°
QM//KC且PK=PC,则{QL=LM,又由于IM=BM且∠QMB=∠QGB=90°,则QMBG为矩形[这步详情待大家补充,因为我还没证明,只是单独画图可见正确]}
设圆J和GI交于H',则显然QH'⊥BH',又由于∠GH'Q=∠BH'M,则MH'⊥GH',又MH⊥PH,则H'和H为同一点,则QH⊥BH,证毕.

ataorj

<接上帖,补缺>
简说如图,∠B=∠D=90°,AB=BF,BG=CG,求证ABCD为矩形.
证明:
易知,A,B,C,D共圆E且AC为直径.
以BC为轴向下180°翻转圆E,得到圆E',易知,F在圆E'上,又由于G为这两圆之间的中点且G在线段FD上,由对称性可知FG=DG
AD取中点H,连接HG,有
HG//AF且HG=AB,又∠ABG=90°,则ABGH为矩形,则∠BAD=90°,则∠BCD=90°,则ABCD为矩形.证毕.

Ysu2008

复数解法如下(网友自拍)：

Ysu2008

ataorj 发表于 2020-11-27 17:07
如图,D为AB中点,则QD⊥AB.
因∠3=∠4且BM=MI,则BM⊥FM
∠1=∠2,则弧QB=弧FB,易知QF⊥BM,则M在QF上,QM⊥BM ...

∠3=∠4不能直接得出，得先说明 F 点怎么来的。
如果是延长QM交外接圆，就得证明A、I、F三点共线；
如果是延长AI交外接圆，就得证明Q、M、F三点共线。

ataorj

解释，不是一次连续完成的证明，有点混乱，而且容易的地方就直接用了。。。
延长AI交外接圆O于F，连接QF，因Q是弧AB的中点则∠3=∠4，也易知∠1=∠2=∠BQF=∠3=∠4，则QF⊥BI于M’（M’未画），又∠3=∠4，所以M’是BI中点，M和M’是同一点。

doletotodole

我的眼睛疼, 厉害了

Ysu2008

此题最难利用的就是AP=3PC，其它条件都是铺垫。
相当于证明如下命题：

ataorj

已知:点A,B,C在圆O上,BA=BC,K是AC中点,P是KC中点,CI平分∠BCA交圆O于Q,AI平分∠BAC交圆O于F,M是BI中点,PI和MH⊥于H.
求证H⊥BH.
证明:如图,易知B,M,O,I,K共线.BK交圆O于N.
易知∠1=∠2,则弧QB=弧FB,连接QF交BI于M',则∠4=∠5,BQ=BF,易知弧QN=弧FN,则∠QBM'=∠FBM',则△BM'F≌△BM'Q,则∠BM'F=∠BM'Q=90°,QF⊥BM',又CI平分∠BCA交圆O于Q,则Q为弧AB中点,则∠3=∠4,又∠BM'F=∠IM'F(=90°),则△BM'F≌△IM'F,则BM'=IM',而又BM=IM且M和M'都在BI上,则M和M'为同一点.
因∠BMQ=90°,过B,M,Q做圆J则QB为其直径.PH交圆J于H'和G,交QF于L.QB为圆J直径,则∠QGB=∠QH'B=90°.
由前文易知QM⊥MK,且CK⊥MK,则QM//CK,又PK=PC,则LM=LQ.
以QM为轴向下180°翻转圆J,得到圆J',易知,I在圆J'上[这是因为BM=IM且QM⊥MK],又由于L为这两圆之间的中点且L在线段IG上,由对称性可知LG=LI.
BG取中点R,连接RL,有RL//BI且RL=BI/2=BM,又∠BML=90°,则BMLR为矩形,则∠MBR(=∠MBG)=90°,而又前文已经知道∠QGB和∠QMB都=90°,则∠MQG=90°,则BMQG为矩形,则弧QG=弧MB,∠GH'Q=∠BH'M,而又[见前文]∠QH'B=90°,则∠GH'M=90°,又MH⊥PH,则H'和H为同一点,而又[见前文]∠QH'B=90°即QH⊥BH,证毕.