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李邦河：数的概念的发展
作者 | 李邦河（中国科学院数学与系统科学研究院研究员）
来源 | 数学通报，2009年第48卷第8期
编者按：李邦河院士于 2009 年 4 月在中国数学会厦门学术年会上荣获“华罗庚数学奖”。本文是李院士在这次年会上所做的公众报告，他在报告中谈到一个重要的思想：数学玩的是概念，而不是纯粹的技巧。因为中小学数学里面的概念比较少，所以就在一些难题、技巧上下功夫，这恰恰是舍本逐末的做法，值得所有的数学教育工作者深思。
非常感谢市科协和我们的校领导给我这个机会，在这里和同学们见面，一起交流一下对数学的看法。首先我的题目是数的概念的发展，我猜想，相当一部分同学对这个题目不感兴趣，原因就是大多数人在中学学习数学时，会认为数学重要的不是概念，重要的是解题，比如几何题要会画辅助线，还有数学竞赛中比较难的题目。
那么数的概念是什么呢，大家知道有理数啊，一看就知道了，绝大多数同学不会去记这个定义，什么是有理数的定义？几何的概念也不易被重视，因为什么是三角形，正方形，矩形，菱形，一看就知道。中学数学容易给人一种错觉，概念是不重要的，对于数学重要的是技巧。很多人上了大学，哪怕是到了数学系也抱着这种看法。
根据我上大学以后搞数学研究的经验，数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！熟能生巧，数学竞赛的人都是要培训的，巧都是学来的。数学概念是人类智慧的结晶，首要表现在概念的形成。
我们现在觉得自然数 1，2，3，4 很自然，但人类发展历史中能认识“1”是非常不简单的。早期人们并不知道“1”，“1”是从大量的“一头牛、一头羊” 中抽象出来的。所以从哲学的观点去想，“1”是了不起的，而“0”更是了不起。中国古代没有 0 这个数字，用算筹表示数字，一根筷子是 1，两根筷子是 2，用空着的位置表示 0。但 0.101 怎么表示，我不知道。最早是印度数学家发明 0 的，认识到 0 也是个数，要用圈这个符号来表示，是很了不起的。负数更是了不起，西方认识到负数是非常晚的，大概十四五世纪。
欧洲数学中几何出现比较早，欧几里得几何是希腊时期，公元前二三百年就有几何，但没有负数实数概念。当时如果比出来不是有理数的话还不能接受，叫不可公度；负数的观念这时也没有。但我们中国在公元前二三百年就有了负数概念，西汉时期《九章算术》有解线性方程组的消去法的完整步骤，就出现负数。
中国古代对无理数的概念在理论上是没有的，但在实际上是有的，小数后面多少位都行。比如 π 这个数，祖冲之曾算到 3.1416，并知道可以无限往下算，这就有了无穷逼近的思想，极限的观念基本上有了，但是概念上并没有明确提出。无理数概念的明确提出是到了微积分的时期，这时才对实数做了一个完整的描述，由柯西序列的等价类来定义，这个时候实数理论才完备。
真正搞数学的人知道要弄清楚这个也并不容易，进入高等数学后概念比较多，对概念不重视的人，学多了就糊涂了。微积分的概念还不是很多，但学高等代数、线性代数里面就有很多概念，如果不重视基本概念，对于知识爆炸的大学数学，你是学不好的。微积分里最大值最小值，微分中值定理你有没有记得很清楚，会不会用，泰勒展开的麦克劳林余项，有没有记着？
要用基本的东西去解决问题，而不是玩技巧，可以说用到某个定理就是最大的技巧。
中学数学里概念就很少，只能出很难的题，来看谁的水平高。到大学里重要的则是基本概念，这个东西掌握得很透，才能达到高水平。到了研究生之后，基础数学里面的代数数论、代数拓扑、微分拓扑里头，概念更是爆炸，都很难理解，不下功夫是不行的，因为对象很复杂。我希望喜欢数学的人千万要重视基本概念，不仅要记住，还要通过具体的例子来深入地理解。
那么什么是概念呢？概念是一个抽象的东西，它包含了大量的具体的东西。一个概念越抽象涵盖的具体的事物越多，即外延越广。比如，刚刚讲的“1”这个例子，它可以涵盖一个苹果、一个梨、一头牛。自然数是数学里最简单的了，可见我们的起步就很抽象。
抽象和具体也是相对而言。1，2，3，4 等对于具体事情来说是抽象的，而对于我们数学来说，又没有比它更具体的。有理数比整数复杂了一点，无理数更复杂，它是无限不循环小数，但这对于我们搞数学的来说都很具体。我们每上一个台阶，以前抽象的东西就具体了。客观世界非常复杂，有时候你不得不抽象，否则描述不了。
有理数、无理数之后是复数，这时候已经到了高斯的时代，在牛顿、莱布尼兹之后的时代还接受不了。首先是，√(-1)，这个 i ，开始大家都不承认它是数。高斯画出 x 轴，y 轴，用 a+bi 表示一个向量的时候，这就比较具体了，大家才觉得可以接受。接受之后，人们发现它很有用，有很多值得研究的，于是有了大量研究。
复变函数论中的留数定理，在计算定积分时将实数延拓到复平面上，就可以把原来在实轴上解决不了的定积分算出来，这对于热爱数学的人来说就会觉得太神奇了，这都归功于复数的概念。再发展到后来就是四元数，就是 i，j，k，i^2=-1 ，j^2=-1 ，k^2=-1 ，但是 ij=-ji 。
在中学时人们学交换律、分配律可能觉得毫无意思，因为感觉总是成立。可是这并不总是成立的，到四元数时乘法交换律便不成立了。然后到八元数，八元数就是八个实数形成的一个数，对八元数乘法结合律就不成立了。这个时候你才知道数的结合律有多宝贵，是多么好、多么可爱的性质。
四元数八元数还算具体的，到了大学里，大家还要学“抽象代数”，那个“数”就乱套了，任何对象都可以是数，这个数只要有个加法或乘法就够了。乘法满足结合律，有单位，有逆元素就叫群了。那里面的元素是不是数，都认为是一样的。整数在加法之下也构成加法群。所以，群的元素可以说是与整数、有理数是一样的，这就使我们从更广的概念理解什么叫数。
数学研究的东西，从大的方面来说，里面就有一对矛盾：一边是数，一边是形。形就是几何图形。最大的抽象逃不出数、形这两个东西。凡是可以进行代数运算的，比如群可以算，矩阵可以乘和加，都可以认为是数。而形就是几何图形，什么流形，地球，皮球，棱台，环面，三角形是形。三角形的边长呀，角呀，这是数。所以说，整个数学就是把形和数胶在一块，互相转化，互相表示。
数学基本的矛盾就是数和形的矛盾。有了抽象代数以后，我们的数的概念大大扩充了。对群感兴趣的人有物理学家、化学家、数学家。物理学家离不开群，比如到了原子物理，群就是物理学家的有力武器。这也是我们数学对其他学科的贡献。
比群复杂的有环、域还有代数，在抽象代数里都可以学到。域，加减乘除都有，最简单的域只有 0 和 1 两个元素，但是它有加减乘除，加法、乘法都满足交换结合，分配律。这些在中学数学里看起来不起眼的东西，使我们能够推广，推广之后使得两个元素便构成一个域。对任何一个质数 p ，0，1，2，…，p-1 ，就构成一个域。这是非常有用的。
还有，比如 Clifford 代数，它是这样的，n=1 ，a0+a1e1 ；n=2 ，a0+a1e1+a2e2+a12e1e2 ；n=3 ，a0+a1e1+a2e2+a3e3+a12e1e2+a13e1e3+a23e2e3+a123e1e2e3 。加法是每个位置相加，现在要定义一个乘法，规律是 eiei=-1 ，eiej=-ejei 。
按照这个规律，定义了加法和乘法，这个加法满足交换律也满足结合律，乘法不满足交换律却满足结合律，分配律是成立的。这样定义的代数就叫 Clifford 代数，对于任何一个 n ，都有一个。这个东西跟我们前面说的有什么关系呢？
n=1 的时候的 Clifford 代数，e1 就是 i ，e1e1=-1 ，这就是我们熟知的 √(-1) ，所以这个时候 Clifford 代数就是复数域。然后，n=2 时，eiei=-1 ，eiej=-ejei ，Clifford 代数是四元数体。但是，n=3 的时候，它是八维的，跟八元数不一样，它是可以结合的，而八元数是不可以结合的。八元数的特点是，每个不等于零的元素可逆，因此是可除代数。
那么可除代数是否只有一、二、四、八元数？有没有其它维的呢？当年的数学家，肯定对很多 n 都进行了试验，最后结果就没有发现别的。这是因为人们试验得不够，还是因为它事实上就没有呢？我们等会再说。
上世纪六十年代，引进了非标准分析，在非标准分析里面，有非标准分析的实数域，复数域。这些概念是数的概念重要的发展。
当年牛顿、莱布尼兹发明微积分时，是有无穷小的概念的想法的。牛顿的流数，一会是 0 ，一会不是 0 ，说不清楚，而莱布尼兹就说有种数叫无穷小，它比任何数都小。所以说当年发明人是使用了无穷小无穷大这个概念的，但是这个概念不严格。所以，后来数学发展中，就不采用无穷小概念了，用 ε，δ 来代替。但是物理学家他们没有严格地用 ε，δ ，他们就用无穷接近来表示极限，并且无穷小、无穷大的概念是经常用的，而两个概念是相对而言的。
当我们研究月亮绕地球运动的时候，用牛顿力学中的引力定律的时候，不就是把地球这么大的东西看成了一个点嘛。物理学家认为只要能解决问题就可以。但是数学家想在理论上完善它。到了上世纪六十年代，创立非标准分析的人发现，可以把牛顿莱布尼兹当年关于无穷小无穷大的想法严格化。当年是因为没有找到严格化的程序，所以不再采用这种概念。我认为，这也是数的概念发展中非常重要的事情。非标准分析中的实数域、复数域现在还没有被大家所普遍接受，但是我相信有一天会被大家接受的，就像复数的发展历程一样。
我现在要讲为什么只有一、二、四、八元数。我们要来证明。民间数学家中有人研究这个，我以前碰到一个人说他搞出来一个三元的，我告诉他不可能，这是为什么呢？
n 维欧氏空间 R^n ：其中 a=(a1,a2,…,an) ，有内积 a·b=a1b1+a2b2+…+anbn ，有长度 |a|=√(a1^2+…+an^2) ，令 ei=(0,0,…,0,1,0,…,0) ，第 i 位是 1 ，n 元数要求乘法满足，|ab|=|a||b| ，有单位元 e1 。若 |a|=1 ，则 |ab|=|b| ，所以由 b 到 ab 的映射是 R^n 的正交变换。因此 ，ae1=a，ae2，…，aen 是相互垂直的。
三维的时候假如它有这样一个乘法，就有两个互相垂直且连续变化的向量走遍整个球面。这个可能吗？退一步说，在球面上每点放一个不为零的向量，让它连续变化，这有没有可能？不知道的话猜想也行。
搞数学是要靠猜想前进的，这才有动力。(这时听众中有人认为可以) 有同学说可以，不是整个地球，光是赤道一圈可以，但这个能不能扩充到整个球面上？赤道上可以，跑到北极就会有问题，就会有奇点。所以这位同学的这个方法是不可行的。这对于一个圆周可以，比如汽车可以绕赤道转一圈，汽车在 45 度纬线圈也可以，但跑到北极的时候只有一点了，那点就不能定义一个方向。现在我来告诉大家，答案是不可能。因为任何时刻，地球上总有一点是没有风的。
球面上不可能存在一个处处不为零的向量场是连续的变化的，这是拓扑学的一个结论。球面的欧拉示性数，即分割成三角形后的顶点数-边数+面数，是 2 ，与把球面如何分割成三角形无关，一定是 2 ，这叫拓扑性质。反过来说，环面，就是轮胎，把它分成三角形，计算欧拉示性数是 0 。刚刚说到的圆周的欧拉示性数是 0。
有个定理：一个流形上承载着这样的非零的连续向量场的充分必要条件是它的欧拉示性数是 0 。所以，由这个定理，球面上不可能有，环面上有。这就显示了抽象数学的威力。不可能是很深刻的，我们是由定理证明的。可能的话造出来就完了，不可能的话靠试验是不行的，不可能的证明一般是很深刻的。我们找出向量场与欧拉示性数的关系，因为欧拉示性数不等于零，就给出这个不可能的证明。
为什么只有一、二、四、八元数呢？就我所知这一点需要用到上个世纪六十年代以后的定理才能证出来。四元数、八元数不仅要求连续向量场存在，而且要求 n-1 个线性无关的单位正交的切向量场。就是说假如有乘法满足 |ab|=|a||b| ，则必然存在着 n 维空间的球面上 n-1 个相互垂直的单位向量场，而且是连续变动的。这样的 n 只有 2，4，8，其他维数不可能。于是这就告诉我们的民间数学家们不用再忙了，这是数学上证明了不可能的。还有三等分角的问题，华罗庚早说过这是不可能的，很多民间数学家们以为是因为长期得不到才这么说的，其实不是的，这是经过证明了的。
下面我们回顾一下它们的应用。实数是无处不在的，复数在工程上应用很广，比如电学中的交流电，量子力学，量子场论等离开 都是不行的，我相信非标准分析有一天也会和复数一样应用广泛。长度为 1 的四元数可以用来表示所有旋转，但是是二对一，四元数在工程上也很有用。有很多旋转，比如说机器人制造时臂的旋转，三维的旋转群是用 3×3 的矩阵表示的，非常不方便，而用四元数表示后，参数就简单了。Clifford 代数对拓扑学也很重要，在物理上也很有用。李洪波教授就把 Clifford 代数用于吴先生的几何定理机器证明。
回答提问部分
我先讲到这里，有什么问题大家来共同讨论。我还是认为概念很重要，大家有什么感想可以交流。
问题回答：
1. 我觉得生活中用初等数学就够了。高深数学的发展，好比相对论，在生活中有什么用，也没有用。一般人小学数学学得好就够了。对于我们大学生就不一样了，比如相对论对原子物理，加速器等的指导意义是不可低估的。原子物理，原子核，原子弹，核电都离不开高深的数学知识。经济学家现在就很重视数学，一个国家的经济研究所用的数学知识是很复杂的。生活中的吃住就很简单，但我们有更高的追求，比如太空的探索。我们追求幸福，要身体健康，精神快乐，我们看着我们的神六上天，大家都很兴奋，我想这对我们的身体健康也很起作用。再比如我们有个大的发现，也很开心。而历史证明，任何科学发现都有用，认识了客观世界，你才能驾驭世界。
2. 你的想法可以回去用严格的数学语言写一下，肯定会发现问题的，但是写的过程你也能得到很好的锻炼。
3. 数学美不美，比如我刚讲的，地球上任何时刻都有一处是风平浪静的，这是我们数学家证明的定理，这跟诗人仅仅出于感受的感叹相比怎样，是不是很美？所以我说数学有不可改动的美。数学的推理，只要大前提正确，推理过程没错，结论一定是正确的。比物理更美，物理的定律是可以推翻的。物理适用的范围经常被推翻，而数学的范围是一开始就定了，什么条件下成立的。
来源：数学通报，2009年第48卷第8期，原标题为《数学从根本上：玩的是概念！而不是技巧》。
来源：科学大院 |
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