在三角形 ABC 内部找一点 P，使三个三角形 PAB, PBC, PCA 面积相等

王守恩

在三角形 ABC 内部找一点 P，使三个三角形 PAB, PBC, PCA 面积相等。

图老师

你这问题边长不定，谁做？

Future_maths

luyuanhong

Future_maths

我做得有点复杂，不过也没错。

luyuanhong

楼上 Future_maths 的解答也不错，已收藏。

王守恩

图老师 发表于 2019-11-4 07:24
你这问题边长不定，谁做？

利用三角函数解题三部曲。
1，先找角度。
∠CAB=A°，∠ABC=B°，∠BCA=C°
∠PAB=K°，∠PAC=A°-K°，
2，再找长度。
BC=sinA，CA=sinB，AB=sinC
PA=x，PB=y，PC=z
3，根据面积相等解题。
x*sinC*sinK/2=sinA*sinB*sinC/(2*3)=x*sinB*sin(A-K)/2
即：3x*sinC*sinK=sinA*sinB*sinC=3x*sinB*sin(A-K)    (1)
由第1个等号得：3x*sinK=sinA*sinB     x=sinA*sinB/(3sinK)   
由第2个等号得：3x*sin(A-K)=sinA*sinC   x=sinA*sinC/(3sin(A-K))  
即：sinA*sinB/(3sinK) =sinA*sinC/(3sin(A-K)) =x    (2)
由第1个等号解得：K°，(A-K)°
由第2个等号解得：x=(长度)