浅谈《两个数的和、差、积、商》再计算

刘鹏一二三

   


浅谈《两个数的和、差、积、商》再计算
作者：刘国才


    和、差、积、商再计算：是利用两个因数a与b的和、差、积、商进行二次计算的运算形式，从而可以得到一些代数公式。还可以看到某些公式的关系式，这种计算形式可以成为一个数学分支，有很高的研究和学术价值。它可以推动数学发展，有利于人们对数学更多的了解。
     和、差、积、商再计算分为：四则和；四则差；四则积；四则商。共18个基本公式。用这些基本公式可以换算出一些代数公式及其相关公式对某些数学问题有更多解释。
     我想让更多的人了解这一数学分支，希望在老师们的指导下完善这一数学问题。
     下面是具体说明：
1、四则和的概念和公式
所谓四则和是：两个因数a和b的和、差、积、商相加所得的和。我们用“田”作a和b的四则和的运算符号。记作：
a田b=(a+b)+(a-b)+ab+a/b
       =2a+ab+a/b
       =a/b(b2+2b+1)
       =a/b(b+1)2
或者a田b=(a+b)+(a-b)+ab+a/b
           =ab+a+a+a/b
           =(a+a/b)(b+1)
   2、四则和的取值范围
    a田b=a/b(b+1)2  当a=0时，a田b=0  b=0时，a田b无意义  b=-1时，a田b=0                     4a=b时，a田b=（b+1）2
由取值得出：任何一个数与-1的四则和都是0。
由取值4得出：任何两个不等于0且相同的数的四则和，都等于其中一个数加1的和的平方。
    3、用具体数字说明一下四则和公式
四则和公式：a田b=a/b(b+1)2。当a=4，b=2时。4田2=（4+2）+（4-2）+4×2+4÷2=6+2+8+2=18，即4田2=4/2(2+1)2=18;
当a=6，b=2时，a田b=6田2=6/2(2+1)2=27;
当a=5,b=5时，5田5=（5+1）2=36
    4、四则和与一元二次方程的一点关系
（1）例如：16田a=100，求a=？
   四则和：16田a=100=16/a(a+1)2=100通过解方程可以计算出：a₁=4，a₂=1/4
（2）又如：25田a=180=25/a(a+1)2=180通过方程可以计算出a₁=5，a₂=1/5。
因为a田b=(a+b)+(a-b)+ab+a/b=a/b(b+1)2
又因为a田1/b=（a+1/b）+(a-1/b)+a×1/b+a÷1/b=a/b(b+1)2
也就是说：a与1/b的四则和等于a与b的四则和，对于方程a/b(b+1)2=c来说：a与c是已知数，而b的解是一对倒数关系的解。
二、四则差：被减数差与减数差是互为-1倍关系
四则差分为：减数和差，被减数和差，减数差差，被减数差差，减数积差，被减数积差，减数商差，被减数商差。
1、（1）减数和差与被减数和差的概念：
         是分别以a与b的和为减数或被减数；其它三则（a与b的差、积、商）之和分别为被减数或减数计算所得的差。这里我们用“曰+”表示减数和差符号；用“+曰”表示被减数和差符号。
       a与b的减数和差记作：a曰+b;  a与b的被减数和差记作：a+曰b
      (2)减数和差与被减数和差的公式：
        减数和差：以两个因数a与b的差、积、商相加所得的和为被减数，以a和b的和为减数计算所得的值。
        a曰+b=[（a-b）+ab+a/b]-(a+b)=ab+a/b-2b
       被减数和差：以两个因数a与b的和为被减数，以这两个因数a与b的差、积、商加所得的和为减数计算所得的值。
        a+曰b=（a+b）-[(a-b)+ab+a/b]=2b-ab-a/b
    2、（1）被减数差差与减数差差的概念
被减数差差与减数差差：是分别以因数a与b的差为被减数或减数，其它三则（a与b的和、积、商）之和为减数或被减数计算所得的值。
      （2）被减数差差与减数差差的计算公式：
        被减数差差用“-曰”为计算符号，两个因数a与b的被减数差差表示为a-曰b。
a-曰b=（a-b）-[(a+b)+ab+a/b]=-2b-ab-a/b
减数差差用“曰-”表示其计算符号，两个因数a与b的减数差差表示为a曰-b
a曰-b=[(a+b)+ab+a/b]-(a-b)=2b+ab+a/b
    3、积差分为被减数积差与减数积差
      （1）被减数积差：是以两个因数的积为被减数，其它三则之和为减数计算所得的差。用“×曰”作为计算符号，两个因数a与b的被减数积差，表示为a×曰b

a×曰b=ab-[（a+b）+(a-b)+a/b]=ab-(2a+a/b)
       (2)减数积差：是以两个因数的积为减数，其它三则之和为被减数计算所得的差，用符号“曰×”表示减数积差的计算符号。
两个因数a与b的减数积差表示为a曰×b
a曰×b =[(a+b)+(a-b)+a/b]-ab=2a+a/b-ab
4、商差：商差分为被减数商差与减数商差
  （1）被减数商差：是以两个因数的商为被减数，其它三则之和为减数计算所得的差，用符号“÷曰” 表示其计算符号。
两个因数a与b的被减数商差表示为a÷曰b
a÷曰b=a/b[（a+b）+（a-b）+ab]=a/b-(2a+ab)
   (2)减数商差：是以两个因数的商为减数，其它三则之和为被减数计算所得的差，用符号“曰÷”表示，减数商差的运算符号。
两个因数a与b的减数商差表示为a曰÷b
a曰÷b=[(a+b)+(a-b)+ab]-a/b=2a+ab-a/b
四则积
所谓四则积：就是两个因数a与b的和、差、积、商相乘所得的值。
四则积的运算符号用“×”表示。a与b的四则积表示为a×b。
a×b=（a+b）×（a-b）×ab×a/b=a2（a2-b2）
四则商：被除数商与除数商是互为倒数关系
      四则商：分为和商、差商、积商、商商。
    和商又分为被除数和商与除数和商。
    差商又分为被除数差商与除数差商。
    积商分为被除数积商与除数积商。
4商商分为被除数商商与除数商商。   
    1、和商分为被除数和商与除数和商
（1）被除数和商：两个因数a和b的被除数和商:是以a与b的和为被除数，其它三则之积为除数计算所得的商。我们用“+÷”表示被除数和商的运算符号。a与b的被除数和商表示为a+÷b。
a+÷b=（a+b）÷[（a-b）×ab×a/b]=(a+b)/a2(a-b)
  (2)除数和商：两个因数a与b的除数和商：是以a与b的和为除数，其它三则之积为被除数计算所得的商。我们用“÷+”表示除数和商的运算符号。a与b的除数和商表示为a÷+b。
a÷+b=[（a-b）×ab×a/b]÷(a+b)=[a2(a-b)]/(a+b)
被除数和商与除数和商是一对互为倒数。
2、差商：差商分为被除数差商与除数差商
（1）被除数差商：两个因数a与b的被除数差商是以a与b的差为被除数，其它三则之积为除数计算所得的商。我们用符号“-÷”表示被除数差商。a与b的被除数差商表示为a-÷b。
a-÷b=（a-b）÷[（a+b）×ab×a/b]=(a-b)/a2(a+b)
(2)除数差商是被除数差商的倒数。我们用“÷-”表示其运算符号。a与b的除数差商表示为a÷-b。
a÷-b=a2(a+b)/(a-b)
3、积商：积商分为被除数积商与除数积商
   （1）被除数积商：是以两个因数的积为被除数，以这两个数的和、差、商之积为除数计算所得的商叫做这两个数的被除数积商。
暂时用“×÷”表示被除数积商的运算符号，两个因数a与b的被除数积商表示a×÷b。
a×÷b=ab÷[(a+b)(a-b)×a/b]=b2/(a2-b2)
(2)除数积商：除数积商是被除数积商的倒数，我们用符号“÷× ” 表示运算符号，a与b的除数积商表示为a÷× b 。
a÷× b=(a2-b2)/b2
    4、商商：商商分为被除数商商和除数商商
（1）被除数商商：是以两个因数的商为被除数，以这两个数的和、差、积相乘所得的积为除数计算所得的商。暂时用÷÷表示被除数商商的运算符号。
   a与b的被除数商商表示为a÷÷b。
   a÷÷b=（a÷b）÷[(a+b)-(a-b)×ab]=1/(a2b2-b4)
(2)除数商商：除数商商是被除数商商的倒数，我们用“÷÷”表示除数商商的运算符号，a与b的除数商商表示为a÷÷b。
a÷÷b=a2b2-b4=b2(a2-b2)   
   以上是两个因数四则再计算的几个其基本公式。


下面再将它们的一些关系式说一说。
一、两个因数a与b的和、差、积、商的平方。
    1、和的平方：（a+b）2=a2+2ab+b2这个公式是初中代数里的完全平方公式。在两个因数的和、差、积商再计算中可以用a与b的四则积乘以a与b的被除数和商得到，或者用a与b的四则积除以a与b的除数和商得到这个公式。
    2、差的平方（a-b）2=a2-2ab+b2这个公式，可以用a与b的四则积乘以a与b的被除数差商得到，或者用a与b的四则积除以a与b的除数差商计算出来。
     3、（ab）2=a2b2这个公式可以用a与b的四则积乘以a与b的被除数积商得出，或者用a与b的四则积除以a与b的除数积商也可以得到这一公式。
     4、（a÷b）2=a2/b2这个公式可以用a与b的四则积乘以a与b的被除数商商得出这一公式，或者用a与b的四则积除以a与b的除数商商也可以得到这一公式。
和乘以差与积乘以商的比值
        两个因数a与b的和乘以它们的差，与它们的积乘以商的比值等于1-a2/b2，同时也等于（a2-b2）÷a2，还有[（a÷b）2-1]/(a÷b)2
       三、换算式
       1、a田b×b田a=[(a+1)(b+1)]2
       2、{a田b+b田a-[（a/b-1）2/a/b]}/2=(a+1)(b+1)
       3、（ab）2×[(a/b)2-1]=a×b
       4、（a2-b2）2/{[(a/b)2-1]/(a/b)2}=a×b
       5、a4-b2=a×b/a
       6、a4-(ab)2=a×b

      
     本文通过多年对两个数的和、差、积、商之间的关系，进行演算、总结发现以上规律，以便让读者更好的理解某些公式之间的关系，特以自己的理解写下这些关系，其中为方便说明，进行了一些自己的定义，整片内容由于涉及面广，某些地方难免有疏漏之处，敬请广大读者批评指正。
                                                                       
  刘国才
  2016年8月27日
QQ:  820785146
   
      
   





   
   


     

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