用公式法求解特殊佩尔方程

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，

则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。


蔡氏完全循环节问题

设 n>=3,

设 P 和 2^n*P+1 都是素数，

且 10^(2^n) -1 不能被 2^n*p+1 整除，

若 2^n*P+1 ≡ 17 或 33（mod  40），

则 10 是 2^n*P+1 的原根，

则 1/(2^n*p+1) 具有最大循环节长d= 2^n*p .

蔡家雄

具有完全循环节的一条龙素数及其代码

设 n >=2 ,              
                                                         
若 (2*10^n+7)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。                                          
                                                                              
有 n=2, 3, 8, 11, 36, 95, 101, 128, 260, 351, 467, 645, 1011, 1178, 1217, 2442, 3761, 3806, 15617, 26459, 63117, 88545, 93497, ......


设 n >=2 ,   
                                                                 
若 (4*10^n+23)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。                                               
                                                                                 
有 n=2, 4, 10, 20, 26, 722, 1310, 3170, 28934, 66284, 67796, 231254, 338476, ......


设 n >=2 ,      
                                                                       
若 (8*10^n - 17)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。                                       
                                                                           
有 n=3, 4, 6, 9, 12, 72, 118, 124, 190, 244, 304, 357, 1422, 2691, 5538, 7581, 21906, 32176, 44358，......  


设 n >=2 ,   

若 (2*10^n+61)/9 是素数，则 10 是这个素数的原根。                                       
                                                                                       
有 n=2, 3, 5, 14, 176, 416, 2505, 2759, 7925, 9401, 10391, 12105, 19616, 261704, 264539，.......


B类具有完全循环节的一条龙素数，

若 (2*10^n - 23)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000内的 n={2, 3, 4, 26, 44, 58, 73, 88, 211, 244, 1393, 2282, 4108, 6777, 7480, 14369, 16153, 21081, 24308, 27368, 43455, 51597, 55559, 67405, 88112}


B类具有完全循环节的一条龙素数，

若 (2*10^n - 59)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000内的 n={2, 3, 6, 9, 10, 14, 15, 34, 49, 56, 138, 250, 350, 357, 374, 392, 1594, 4794, 5290, 6702, 11936, 22296, 55762, 55834, 96195}


C类具有完全循环节的一条龙素数，

若 (8*10^n - 11)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000以内的 n={1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 21, 30, 68, 73, 169, 176, 345, 823, 1021, 1191, 2073, 2755, 10717, 14673, 16754, 17606, 81029}


D类具有完全循环节的一条龙素数，

蔡氏完全循环节问题

若 \(2*10^n - 51\) 是素数，则 10 是这个素数的原根。

谢谢树新蜂老师提供100000以内的 n={2, 3, 4, 8, 11, 13, 17, 28, 56, 105, 231, 339, 643, 922, 1219, 1880, 2209, 4238, 4987, 14770, 56194, 67043, 96867}

已知：10 是素数 149 的原根，

已知：10 是素数 1949 的原根，

已知：10 是素数 19949 的原根，

判断：10 是素数 199999949 的原根，

判断：10 是素数 199999999949 的原根，

判断：10 是素数 19999999999949 的原根，

判断：10 是素数 199999999999999949 的原根，

判断：10 是素数 19999999999999999999999999949 的原根，

判断：10 是素数 199999999999999999999999999999999999999999999999999999949 的原根，

判断：10 是素数 1999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999949 的原根，

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

若 \(3^{2n}+2^{2n+1}\) 是素数，

则 \(10\) 是素数 \(3^{2n}+2^{2n+1}\) 的原根。

谢谢 Treenewbee , 时空伴随者 提供的数据，

2n={2, 4, 6, 12, 22, 32, 36, 46, 80, 154, 236, 250, 992, 2072, 3616, 3702, 5076, 10984, 12350, 13660, 30286, 33220, 50192}

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2024-4-23 17:48
设：1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78,  ... 是三角形数，

求：\(1/10+3/10^2+6/10^3+10/10 ...

\[S_n=\frac{100}{729}-\frac{81 n^2+261 n+200}{1458*\ 10^n}\]

蔡家雄

三角数A=(3n+1)(3n+2)/2 的多次数字和必回归1

1, 10, 28, 55, 91, 136, 190, 253, 325, 406, 496, ...

如，496，4+9+6=19，1+9=10，1+0=1，回归1，

求证：(3n+1)(3n+2)/2 -1 能被 9 整除。

蔡家雄

设 k , r 为非负整数，

若 30k+7 与 (30k+7)^(4r+1)*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*4+1 的原根。


若 30k+7 与 (30k+7)^1*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^1*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^5*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^5*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^9*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^9*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^13*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^13*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^17*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^17*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^21*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^21*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^25*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^25*4+1 的原根。

若 30k+7 与 (30k+7)^29*4+1 都是素数，则 10 是素数 (30k+7)^29*4+1 的原根。

蔡家雄

蔡氏完全循环节问题

设 k 为正整数，r , t 为非负整数，

若 (30k+17) 与 (30k+17)*2^(4t+3)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+17)*2^(4t+3)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+17)^(4r+1)*2^(4t+3)+1 的原根。

若 (30k+29) 与 (30k+29)*2^(4t+3)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+29)*2^(4t+3)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+29)^(4r+1)*2^(4t+3)+1 的原根。

若 (30k+1) 与 (30k+1)*2^(4t+4)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+1)*2^(4t+4)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+1)^(4r+1)*2^(4t+4)+1 的原根。

若 (30k+7) 与 (30k+7)*2^(4t+4)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+7)*2^(4t+4)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+7)^(4r+1)*2^(4t+4)+1 的原根。

若 (30k+11) 与 (30k+11)*2^(4t+5)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+11)*2^(4t+5)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+11)^(4r+1)*2^(4t+5)+1 的原根。

若 (30k+23) 与 (30k+23)*2^(4t+5)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+23)*2^(4t+5)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+23)^(4r+1)*2^(4t+5)+1 的原根。

若 (30k+13) 与 (30k+13)*2^(4t+6)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+13)*2^(4t+6)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+13)^(4r+1)*2^(4t+6)+1 的原根。

若 (30k+19) 与 (30k+19)*2^(4t+6)+1 都是素数，
则 10 是素数 (30k+19)*2^(4t+6)+1 的原根，
则 10 是素数 (30k+19)^(4r+1)*2^(4t+6)+1 的原根。

wlc1

？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？