[原创]哥德巴赫猜想是正确的（修改稿）.

雷明85639720

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哥德巴赫猜想是正确的（修改稿）
雷  明
（二○一一年十月二十八日）
“1＋1”即哥德巴赫猜想。也就是 “任何大于等于4的偶数都是两个素数的和”，或者说“任何大于等于4的偶数都可以写成两个素数的和的形式”。这里只所以有条件“大于等于4”，关键是哥德巴赫猜想中认为“1”不是素数，而“2”又是唯一的一个偶素数的原因。
1、两个相等的集合
素数的定义是只能被计数单位“1”和它自身所整除的自然数。根据这一定义，1也是只满足这一要求的，所以1也应是素数。这样以来，除了偶素数“2”以外，其它所有的素数都是奇数，叫奇素数。
由于计数单位“1”也是属于奇素数，在这种情况下，若把奇素数集合中的任何一个无素都与别的元素相加一次，包括其自身相加的一次在内，可以得到可数个其中所有的元素都是偶数的可数集合。按可数集合的性质，这些可数集合的并集也一定是一个可数集合。现在只要能够证明这个并集就是所有偶数构成的集合，就可得到任何偶数都是两个奇素数的和的结论。
把上面提到的那个并集用A表示，把所有偶数构成的集合用B表示，现在把他们比较如下：
两集合的相同点：两集合都是可数集合，其中的元素都是偶数，因此，两集合都是偶数集合，等势并有一一对应的关系；
两集合的不同点：B中包括了所有的偶数，而A中是否也是包括了所有的偶数，还需要进一步论证，因此，有A是B的子集合，或者说B中包含有A；即A中的元素都是B中的元素，但B中的元素是否也都是A中的元素，也还要进一步论证。
证明（一）：推理法：
由于A和B中的元素都是偶数，且有一一对应的关系，另外B又是所有偶数的集合，B中和A中的元素也都不会出现重复，任何一个偶数在集合中出现的次数再多，也只能算作一个元素。这样看来A也就应是所有偶数的集合，因为如果A不是所有偶数的集合时，就不可能再与B等势或有一一对应的关系。
A既与B都是所有偶数的集合，那么B中的元素也就都是A中的元素，即B也是A 的子集合，即A中也包含B。
A和B二者，互相包含，互为子集合，这是两集合相等或者是同一集合成立的充要条件，因此这就说明了A、B二者是同一个集合或者相等。
证明（二）：反证法：
现在对A中元素进行编号。根据定理“集合X为可数集合的充分与必要条件是可以把X中的元素按一定的法则f，连续的进行编号：如X＝｛x1，x2，……xn，……｝”。这就使集合X中的元素与自然数集合N中的元素有了一一对应的关系。既然上面得到的并集A是可数集合，那么它一定也能够按某一法则f把其中的元素进行编号，这样A也就可与自然数集合N建立起了一一对应的关系。
如果上面得到的那个并集A就是所有偶数的集合，则其与自然数集合N的一一对应法则f应是
         f：  an ＝ f（n）＝ 2n   （n≥1，n是自然数）
如果A 不是所有偶数的集合，则其中必然会在某处或多处连续缺少一个或若干个偶数。如果A中有多处甚至无穷多处都存在缺少若干个（比如λ个）偶数，这时，集合A与自然数集合N的一一对应法则f则将是由若干个以至无穷个法则构成：即
f1：an＝f1（n）＝2n，    （n≥1，n是自然数）
    ………………
fn：an＝fn（n）＝2n＋2λ （n≥1，λ≥1，n，λ均是自然数）
………………
这时集合A也就被分成了若干个甚至无穷个子集合A1，A2，……，An，A1与自然数集合的一一对应关系是f1，A2与自然数集合的一一对应关系是f2，……，直到fn。子集合A1与自然数集合的一一对应关系f1，显然和所有偶数的集合B与自然数集合N的对应关系是一模一样的，都是f：an＝f（n）＝2n（n≥1，n是自然数），至少可以说A的子集合A1与B也是等势的，或者说A1＝B，或者说 A1和B就是同一个集合，即A1也是一个可数的偶数集合，其中已经包括了所有的偶数。因为A1是A的子集合，所以A中也就包括了所有的偶数，即A也是所有偶数的集合。
在这里A的子集合A1就是集合A本身（定理：任意集合都是它自身的子集合），而A的另外一些子集合A2，A3，……，An，则是若干个以至无穷个空集合Φ（定理：空集合是任意集合的子集合），其中没有任何元素。A中包含了所有的偶数在内，一个也不缺少；这与上面所假设的“如果A 不是所有偶数的集合，则其中必然会在某处或多处连续缺少一个或若干个偶数”的前提就产生了矛盾，应该否定假设。
到此也就证明了B中的元素也一定都是属于A，即A也包含B，也即B也是A的子集合。
A 是B的子集合，B也是A的子集合；A包含B，B也包含A；二者互相包含，互为子集合，也符合两集合相等或者是同一集合成立的充要条件，因此这也就说明了A、B二者是同一个集合或者相等。
2、哥德巴赫猜想的证明
由于无穷集合有一个不同于有限集合的特殊性质：即无穷集合的无穷真子集与该穷集合仍有一一对应的关系。所以自然数集合，奇数集合，偶数集合，素数集合，奇素数集合都是可数的无穷集合，而只有偶素数集合是一个有限集合，其中只有一个元素“2”。
（一）哥猜的证明
在上面已经证明了所有的偶数（集合B）都是由两个素数相加而来，那么任何一个偶数也就一定可以写成两个素数的和的形式。
由于原来哥德巴赫猜想中认为1不是素数，加上还有一个唯一的偶素数2，且偶数4可以写成4＝2＋2，这样就可得到任何大于等于4的偶数都是两个素数的和的结论。这就是本文开头所提到的哥德巴赫猜想的内容，所以说到此也就证明了该猜想是正确的。但这只是证明了哥猜的第一部分。而哥猜测的第二部分“任何大于等于7的奇数都是三个素数的和”就可以在第一部分的基础上很快得到证明。
由于任何大于等于4的偶数都是两个素数的和，两个素数的和（偶数）再加上一个大于等于3的奇素数，就可以得到一个大于等于7的奇数。如7＝2＋2＋3，9＝2＋2＋5＝3＋3＋3等等。这就证明了哥猜的第二部分也是正确的。
（二）哥猜的数学表达式
若用S表示素数，则哥猜的第一部分可表示成：
2n＝S1＋S2                                      （1）
式中n为自然数，n≥2，S为素数，S1＝S2时，S1，S2≥2；S1≠S2时，S1，S2≥3。
给（1）式的两边同时加上一个大于等于3的素数（奇数）S3，则得到：
2n＋S3＝S1＋S2＋S3
因为S3≥3，且是奇数，把上式左边的S3用2n－1（n≥2）表示得：
4n－1＝S1＋S2＋S3
式中n仍为自然数，n≥2，S也仍为素数，S1＝S2≠S3时，S1，S2≥2，S3≥3；S1＝S2＝S3 或S1≠S2≠S3时，S1，S2，S3≥3。
因为当n≥2时，上式中的4n－1就是大于等于7的奇数，所以就有任何大于等于7的奇数都是三个素数的和的命题也是成立的。
n≥2时，4n－1就是大于等于7的奇数的证明如下：
已知：S1＋S2≥4，S3≥3，
两式相加得：S1＋S2＋S3≥3＋4≥7。
证毕。
按习惯表示法，把上式中的4n－1改成2n－1（n≥4）的形式，则上式4n－1＝S1＋S2＋S3就成为：
2n－1＝S1＋S2＋S3                               （2）
式中n仍是自然数，n≥4，S仍是素数，S1＝S2≠S3时，S1，S2≥2，S3≥3；S1＝S2＝S3 或S1≠S2≠S3时，S1，S2，S3≥3。
3、哥德巴赫猜想是正确的
到此，就证明了哥德巴赫猜想是正确的，即：
1、任何大于等于4的偶数都是两个素数的和；
2、任何大于等于7的奇数都是三个素数的和。

雷  明
二○一一年十月二十八日于长安
注：该文于二○一一年十一月十二日在《数学中国》网上发表。

任在深

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   南   北？？？？？？？？？？？？？？？？（打二成语）