[原创]这些题你要是不会，那……

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[watermark]2010年寒假清北学堂高中7+1课程
数学集训六“入学自测评估性考试”试卷
                                                                                                
考试时间为120分钟，满分120分。
竞赛答案全部写在试卷指定位置上，使用黑色或蓝色圆珠笔、签字笔、钢笔答题，使用红色或铅笔答题者，试卷作废无效。
姓名、准考证号和所属区、县、学校必须填写在答题纸指定位置，写在其他处者按废卷处理。
允许使用非编程计算器及直尺等文具。
试卷按密封线封装。
一、填空题
1．若 且 的最大值是         
2．在一个口袋中装有3个白球和2个黑球，这些球出颜色外完全相同，从中摸出两个至少摸出一个黑球的概率是              
3．在极坐标系中，由三条直线 围成的面积是      
4． 正方体ABCD— 中，棱长为2，则异面直线A1B1与BC1的距离是____________.
5．命题：①过点P（2，1）在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是x－y=1；②过点P（2，1）作圆 的切线，则切线方程是 ；③动点P到定点（1，2）的距离与到定直线 的距离相等点的轨迹是一条抛物线；④若不等式|x－2|+|x－a|≥a在R上恒成立，则a的最大值为1，其中，正确命题的序号是________________.
6．双曲线的一条准线将半实轴二等分，则它的离心率为            
7．如图所示， 是圆 的直径, 切圆 于 点,
切圆 于 点,交 的延长线于E点,
若 则 =____________;
8．求与直线  平行且距离等于 的直线 方程
9． 的展开式中，第5项与第6项的二项式系数相等且最大，则n的值为         .   
10．一个袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，随机变量 表示取到的红球数， 服从超几何分布 ，则 =              （用组合数作答）.
11．已知 三点不共线， 为平面 外任一点，若由 确定的一点 与三点 共面，则                 .
12．如图：用这3类不同的 元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件 正常工作和元件 中至少有一个正常工作时，系统就正常工作。如果元件 正常工作的概率分别为0.8、0.9、0.9则这个系统正常工作的概率为             .

13．“若 或 ,则 ”逆否命题是                 .
14．若圆 的弦AB的中点为P （2，—1），则直线AB的方程_____________________.
15. 已知 ，B是圆F： (F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为_________。
二、解答题
16. 本小题满分14分）设直线 （其中 ， 为整数）与椭圆 交于不同两点 ， ，与双曲线 交于不同两点 ， ，问是否存在直线 ，使得向量 ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．

17．求不定方程 的正整数解的组数．

18．设 为正实数，且 ．证明：
．

19．如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， , ，点M在侧棱 上， =60°
（I）证明： 为侧棱 的中点
（II）求二面角 的大小。

20．甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
（II）设 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求 得分布列及数学期望。
特别提示：2010年2月5-10日，多年到北京清北学堂授课的北京大学李伟固教授（数学）、北京大学严宣申教授（化学）、复旦大学方小敏教授（物理）、首都师范大学图立红教授（生物）、清华大学的唐文斌、胡伟栋、余林韵、陈丹琦、高逸涵等国家队教练，再次领衔高中数学、物理、化学、生物、信息学五大学科全国顶级奥赛师资团队，为清北学堂学生献上最精彩的授课，帮助全国优秀高中生和奥赛选手勇夺奖牌，进入清华北大等全国一流大学深造。咨询电话：010-88400806 （0）13691230868 或登录www.topschool.org查看。
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