[原创]公理与素数计算

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[watermark]公理与素数计算
公理能够促进素数计算，素数计算能够验证公理的正确性。本方法为素数的实际计算方法，是不允许出现任何误差的。
所谓计算，就象乘法口诀3*7=21，它就是3*7的结果，无须数手指头来验算其结果是否正确。本计算方法也是一样，计算出来的素数，无须再除以小于它根号以下的素数来进行验证。其实，这种计算方法，在计算过程中本来就有一定的自检能力。
本计算方法与加、减、乘、除四则运算有两点区别：
1，加、减、乘、除四则运算是单一的运算方式，没有一定的关联性，故在运算中难予知道本次运算有无错误；本素数运算，属于关联性较强的运算方法，在运算过程中，能够通过其关联性得知本次运算有无错误，如果说有误应该如何进行检查和修正。
2，加、减、乘、除四则运算是单一的计算方式，一个题只要求计算一种结果；本素数计算是计算某区域内的素数，是多个素数同时计算出来，即多个结果。
本公理是我个人认为应该是公理，如果说大家在运用中，有依据地说明该公理是错误的，敬请指出。本公理也就是有位老师说的：整数与素数的分解定理。
公理，是难予证明的客观规律。不是意想天开的主观意愿。
这里所说的客观规律是指：两个或两个以上素数的乘积，可以形成一个合数，并且，只可以形成一个合数；反之，一个合数可以分解为两个或两个以上素数的乘积，并且，只可以分解为一组素数之间的乘积。
一、素数与自然数的关系
1、素数2，3与自然数的关系：素数2*3=6，自然数6之前，不能够被素数2，3分别整除的数有1和5。那么，自然数中不能够分别被素数2和3整除的数为：6X+1和6X+5。意思是说：在自然数中，每6个连续自然数，有2个数不能够分别被素数2和3整除；
2、素数2，3，5与自然数的关系：素数2*3*5=30，自然数30之前，不能够被素数2，3，5分别整除的数有1，7，11，13，17，19，23，29，共8个数。那么，自然数中不能够分别被素数2，3，5整除的数为：30X+1，30X+7，30X+11，30X+13，30X+17，30X+19，30X+23，30X+29。意思是说：在自然数中，每30个连续自然数，有8个数不能够分别被素数2，3，5整除；
3、素数2，3，5，7……N与自然数的关系：素数2*3*5*7……*N，自然数2*3*5*7……*N之前，不能够被素数2，3，5，7……N分别整除的数有（2-1）*（3-1）*（5-1）*（7-1）……*（N-1）个数。那么，自然数中不能够分别被素数2，3，5，7……N整除的数为：每2*3*5*7……*N个连续自然数中，有（2-1）*（3-1）*（5-1）*（7-1）……*（N-1）个数不能够分别被素数2，3，5，7，……N整除，这就是定数，固定不变的数！
我们知道：在计算自然数M之内的素数时，M平方根以下的素数为自然数M的删除因子，必须将所有删除因子倍数的数字全部删除完后，自然数M之内剩余的数字，自然数1除外，其它剩余数才是素数。
设所起自然数为M，√M=A，A为整数，素数删除因子为小于或等于A的素数。M必然界于2*3*5*……N之间，且2，3，5，……N只属于M的素数删除因子的一部份。故，我们在使用2，3，5，……N删除后的剩余数计算M内的素数时，还应该对大于N，小于A的素数删除因子倍数的数字进行删除后，M内剩余的数字（自然数1除外）才是素数。那么，如何准确删除大于N，小于A的素数删除因子倍数的数字呢？如果说，我们仍然采用将这些剩余数用大于N，小于A的素数分别试除进行删除，那就毫无意义。这里说到准确，明确地说：1、每一个素数删除因子B，对它倍数的数进行删除时，B只须要分别乘以某些数，即可以得到它的所有删除数，B不须要乘以无关的数而寻找不到删除数，对于每一个删除因子B的删除只须要一次完成；2、在对删除数的寻找时，是按照由于到大的顺序进行寻找，也是准确无误。本文的主要目的是：简化素数寻找程序，如我们在本文中，所列举的三个计算，都是删除数小于实际计算出来的素数个数。
根据公理，合数可以拆分为两个或两个以上素数的乘积，并且，只可以拆分为一组素数的乘积。因为，当合数拆分为两个或两个以上素数之间的乘积时，如果说涉及拆分为小素数（2，3，5，……N）中任何一个删除因子的乘积时，该合数必然是这个涉及到的小素数的倍数，该合数必然被这个小素数删除；如果说未涉及到（2，3，5，……N）中的任何一个小素数，那么，该合数必然存在于小素数（2，3，5，……N）删除后的剩余数之中。该合数必然为：大于N，小于A的素数的倍数，或者说是大于N，小于A的素数与大于N的素数或大于N的素数所组成的合数之间的乘积。由此，我们形成了素数的计算方法。
说起来是难予理解，具体操作是相当地简单。
二、具体计算方法举例
1、计算自然数100之内的素数。
因为，√100=10，所以，100之内的素数删除因子为：2，3，5，7。
又因为，100大于2*3=6，我们可以使用素数2，3删除后的剩余数等差数列6X+1和6X+5；同时100又大于2*3*5=30，我们也可以使用素数2，3，5删除后的剩余等差数列30X+1，30X+7，30X+11，30X+13，30X+17，30X+19，30X+23，30X+29。
为了使大家看得清楚些，我们选用6X+1和6X+5，在自然数100之内有以下剩余数：
1，5，7，11，13，17，19，23，25，29，31，35，37，41，43，47，49，53，55，59，61，65，67，71，73，77，79，83，85，89，91，95，97，共33个数字。
素数5的删除，在素数2，3删除后的基础上进行删除。根据公理得知：素数5与大于或等于5的素数的乘积，素数5与大于或等于5的素数所组成的合数的乘积。这些乘积都不包含小素数因子（2，3），不可能被小于5的素数排除或删除。必然在这些剩余数中能够寻找到删除数（下同。不再重复提起）。有100/5=20，即素数5乘以素数2，3删除后，大于5小于20的数（包括素数和合数）：5，7，11，13，17，19得：25，35，55，65，85，95为素数5的删除数，共6个数；
素数7的删除，因100/7≈14。为素数7分别乘以7到14中素数2，3，5删除后的剩余数7，11，13得49，77，91。共3个数。
素数2，3删除后的剩余数共33个，减删除数9个，减自然数1，剩余23个加上已排除素数2，3为2个，自然数100之内素数共为25个。已经全部出现在我们面前。
即：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。
2、计算1000之内的素数。
我们知道1000之内的素数，包括100之内的素数。我们可以从自然数100之后进行计算。
因为，1000大于2*3*5*7=210，210之内排除素数2，3，5，7的删除后剩余（2-1）（3-1）（5-1）（7-1）=48个剩余数，意味着每210个连续自然数中有48个数，不能够被素数2，3，5，7分别整除，这就是大于7的素数形成的基础，我们可以简称为大于7的素数的素基。下面我们多说两句。
素基的形成及必然联系。大于7的素数的素基是从大于5的素数的素基转化而来的。
大于5的素数的素基为：1，7，11，13，17，19，23，29。即每30个连续自然数中必然有8个数不可能被素数2，3，5，分别整除。
具体转化为，或者理解为：以素数2*3*5=30为公差，用这里的8个数为等差数列的首项，形成8个等差数列；或者理解为：用这8个数分别加上30N，这样我们的剩余数就会由小到大进行排列。
如果按等差数列的排列有：
30N+1有：1，31，61，91，121，151，181，删除91；
30N+7有：7，37，67，97，127，157，187，归档素数7；
30N+11有：11，41，71，101，131，161，191，删除161；
30N+13有：13，43，73，103，133，163，193，删除133；
30N+17有：17，47，77，107，137，167，197，删除77；
30N+19有：19，49，79，109，139，169，199，删除49；
30N+23有：23，53，83，113，143，173，203，删除203；
30N+29有：29，59，89，119，149，179，209。删除119；
如果看过我的文章的老师，一定会说怎么又是这张表？是的！又是这张表，它的内容太多了，我一时也看不清楚，所以，多次提出来进行共同探讨，每一次都必然有新的发现。
（1），从横向看，因为，数字与数字之间的等差为30，30不能够被素数7整除，故，这里所列出的每一排的7个连续数中，必然有一个数字能够被素数7整除；
（2），从纵向看，第1列的8个数字，为30之内的数，30之内的数乘以7必然小于210，所以，它们乘以素数7的积，必然能够在210之内寻找到删除数；又根据公理，素数7与不是素数2，3，5或2，3，5倍数的数的乘积，不可能被素数2，3，5进行删除，故，这8个数与素数7的乘积必然能够在这个表（素数2，3，5删除后的剩余数）中寻找到删除数字。下同：将这里删除后剩余的48个数为首项，以210为公差，形成48个等差数列，这里剩余的48个数分别乘以素数11，必然能够在前11项中寻找到删除数。以此类推地计算素基，如果说，再后面的计算素基中，发现有一个数寻找不到删除数，请检查首项能否被已经排除过的小素数整除，或者是数字写错了。
（3），再从纵向看，第1列的8个数字，除了是素数2，3，5删除的剩余数以外，好象没有任何联系。如果，我们用这8个数字，进行阶乘，可以做36个不同的两个数相乘的乘法。其积或者小于30或者大于30，我们把乘积大于30的数字减去30N，或者说除以30的余数，必然为这8个数字中的任何一个数字。下同：将这里删除后剩余的48个数，进行阶乘，其积或者小于210，或者大于210。我们将乘积大于210的数减去210N，或者说除以210的余数，必然为这里删除后剩余的48个数字中的一个数。以此类推，我们的删除数是否正确。
在由这些素基组成的等差数列中，数列A的数字乘以数列B的数字，其积在数列C中，（这里的A，B，C也可以是同一个数列），这一关系是固定关系，反过来说也成立，数列C中的合数，如果能够被数列A整除，其商必然为数列B中的数；如果能够被数列B整除，其商必然为数列A中的数。如果说，数列C的合数不能够被数列A中的数整除，必然与数列B无关。
（4）、再从纵向看，每1列的上下差距每与第1列相同，这个差距也就是大于5的素数的素基差距，这种关系的延续，到排除的素数删除因子的逐渐增多，可能就是人们所说的K生素数吧！
（5）、再从纵向看，这8个数字中，差距有相差2的，有相差4的，有相差6的。素数7在删除中，因为，对于每一排必然删除一个数字，对于7个相同的相差组来说，上下两排组成7个同样差距的7个相差组，素数删除因子7对于上一排与下一排的删除数，必然不可能为同一个组的数字，故，必然删除2组，剩余5组。换言之，这里素数7删除后剩余的48个数字中，每一种相差的数字组是上面素数2，3，5删除后的5倍，即素数删除因子（7-2）倍为孪生素数的新素基。这5组必然延续到下一个素基中去，永远的延续下去。这就是孪生素数永远存在的基础。
如果说，我们把上面表中素数2，3，5，7删除剩余的48个数为等差数列首项，以210为公差制作48个等差数列，每一个等差数列取与下一个素数删除因子11个数的项。上面这5种说法一样成立，依次类推。这就是规律！不变的规律！正是这些不变的规律，形成了我们在前面所说的“关联性较强的运算方法”，不论是前面的素数2，3，5在自然数30内删除后剩余的8个数，还是这里素数2，3，5，7在自然数210内删除后剩余的48个数，还是后面素数2，3，5，7，11在自然数2310内删除后，剩余的480个数，看起来好象各个数之间没有必然的联系，但是，我们通过上面的相差分析可以得知：它们是缺一不可的。象表中，我们横算各等差数列中的数，综合寻找首项乘以素数删除因子的删除数，缺少一个首项，就必然有一个数列的删除数得不到删除；缺少一个首项，也就缺少一个数列，那么，另一个首项乘以素数删除因子，就寻找不到删除数。再如，A数列乘以B数列，必然得C数列中的合数，也是缺一不可的。这些都是公理所决定的，固定不变的。
从素数的定义：只能够被1和自身数整除的数，叫素数，（自身数≠1）。人们就开始认为：素数与素数之间是毫不相干的数，甚至认为“素数属于分散理论”。有的老师干脆直接问我：你懂不懂得起什么叫分散理论？我在这里明确告诉各位老师：我懂不起什么叫分散理论！素数也不属于什么分散理论！素数与素数之间都有十分密切的联系，我们从以下两个方面来说素数与素数之间的密切联系吧：
1、从上面素数删除因子2，3，5删除后的8个剩余数看，它们之间的相互联系，除了自然数1以外，其它都是素数，这8个数所构成的数列之间的关系，是缺一不可的；再从上面素数2，3，5，7删除后剩余的48个数为首项，以210为公差形成48个等差数列之间的关系，除自然数1和121至209中的奇合数外，其它都是素数，这48个数以及这48个等差数列，所构成的数列之间的关系，也是缺一不可的。继续往后看同样的道理，也就是说：单独从素数的角度，狭义上看好象没有相互的联系，我们用这种方法，从广义上看它们有着十分密切的联系。
2、从素数的分布看：大于3的素数，除以3余数分别为1和2，它们的分布是均匀的；大于5的素数，除以5余数分别为1、2、3、4，它们的分布也是均匀的；大于7的素数，除以7余数分别为1、2、3、4、5、6，它们的分布也是均匀的；大于11的素数，除以11余数分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，它们的分布也是均匀的；……。如果不信的话，各位老师可以进行检验。
再说一下删除数的寻找，从上面表中，我们可以看得非常清楚：我们横算等差数列，用竖列由小到大乘以素数删除因子，从左向右竖找删除数，它是由小到大的排列关系，是很好寻找的。
我们再回过头来计算1000之内的素数。用大于7的素数的素基，也就是排除了素数删除因子2，3，5，7的删除后，每210个自然数中必然剩余48个数，自然数100到1000共剩余206个数：101，103，107，109，113，121，127，131，137，139，143，149，151，157，163，167，169，173，179，181，187，191，193，197，199，209，211，221，223，227，229，233，239，241，247，251，253，257，263，269，271，277，281，283，289，293，299，307，311，313，317，319，323，331，337，341，347，349，353，359，361，367，373，377，379，383，389，391，397，401，403，407，409，419，421，431，433，437，439，443，449，451，457，461，463，467，473，479，481，487，491，493，499，503，509，517，521，523，527，529，533，541，547，551，557，559，563，569，571，577，583，587，589，593，599，601，607，611，613，617，619，629，631，641，643，647，649，653，659，661，667，671，673，677，683，689，691，697，701，703，709，713，719，727，731，733，737，739，743，751，757，761，767，769，773，779，781，787，793，797，799，803，809，811，817，821，823，827，829，839，841，851，853，857，859，863，869，871，877，881，883，887，893，899，901，907，911，913，919，923，929，937，941，943，947，949，953，961967，971，977，979，983，989，991，997。
素数11的删除，因为，这里是从自然数100开始的，100/11≈9，素数11应该乘以大于9的素数2，3，5，7删除后的剩余数，大于9的剩余数也就是11。同时，1000/11≈90，即素数11乘以11到90中素数2，3，5，7删除后的剩余数（又因，素数11的删除从11*11=121开始，故小于90的数，素数2，3，5，7删除后的剩余数也就是素数，下同，为乘以素数），为素数11的删除数。有11分别乘以：11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89。得121，143，187，209，253，319，341，407，451，473，517，583，649，671，737，781，803，869，913，797。共20个删除数；
素数13的删除，因1000/13≈76，即素数13分别乘以13到小于76之内的素数，有13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，得：169，221，247，299，377，403，481，533，559，611，689，767，793，871，923，949。共16个删除数；
素数17的删除，因1000/17≈58，即素数17分别乘以17到小于58之内的素数，有17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，得：289，323，391，493，527，629，697，731，799，901，共10个删除数；
素数19的删除，因1000/19≈52，即素数19分别乘以19到小于52之内的素数，有19，23，29，31，37，41，43，47，得：361，437，551，589，703，779，817，893，共8个删除数；
素数23的删除，因1000/23≈43，即素数23分别乘以23到小于43之内的素数，有23，29，31，37，41，43，得：529，667，713，851，943，989，共9个删除数；
素数29的删除，因1000/29≈34，即素数29分别乘以29到小于34之内的素数，有29，31，得：841，899，为2个删除数；
素数31的删除，因1000/31≈32，即素数31分别乘以31到小于32之内的素数，有31，得：961，为1个删除数；
从素数删除因子11到31共计删除63个删除数。1000之内的素数为206-63+25=168个素数。
3、计算10000之内的素数。
因为，10000大于2*3*5*7*11=2310，我们可以用大于11的素基，当然，也可以用大于7的素基和大于5的素基等。这里选择大于11的素数。即（2-1）*（3-1）*（5-1）*（7-1）*（11-1）=480个，即每2310个连续自然数中，必然480个数，不能够被素数2，3，5，7，11分别整除，进行计算。为了节约纸张，这里不再全部写出来。
因为，10000/2310≈4，4*2310=9240，9240内有480*4=1920个数不能够分别被素数2，3，5，7，11整除的数。10000-9240=760，即9240到10000内不能够被素数2，3，5，7，11分别整除的数为：9240分别加上小于760之内的不能够被素数2，3，5，7，11分别整除的数，为小于760之前的不能够分别被素数2，3，5，7，11整除的个数。即10000不能够被素数2，3，5，7，11分别整除的数为1920+157=2077个。
前面计算了1000之内的素数，这里从大于1000开始，1000之内不能够被素数2，3，5，7，11分别整除的数有206个，即1000到10000这内不能够被素数2，3，5，7，11分别整除数为：2077-206=1871个。
素数13的删除，因1000/13≈76，10000/13≈769，即素数13分别乘以大于76，小于769之内的素数2，3，5，7，11，删除后的剩余数，共143个；
素数17的删除，因1000/17≈58，10000/17≈588，即素数17分别乘以大于58，小于588之内的素数2，3，5，7，11，13删除后的剩余数，也就是在上面删除的基础上再删除13的倍数的数，（简称再删除13后剩余的数，下面都有是在这个基础上再删除，下同），共100个；
素数19的删除，因1000/19≈52，10000/19≈526，即素数19分别乘以大于52，小于526内的素数（因素数19删除后小于23*23=529的数都是素数，下同），共86个；
素数23的删除，因1000/23≈43，10000/23≈434，即素数23分别乘以大于43，小于434内的素数，共71个；
素数29的删除，因1000/29≈34，10000/29≈344，即素数29分别乘以大于34，小于344内的素数，共57个；
素数31的删除，因1000/31≈32，10000/31≈322，即素数31分别乘以大于32，小于322内的素数，共55个；
素数37的删除，因1000/37≈27小于素数删除因子37，素数删除因子必须乘以大于或等于素数删除因子的数，才能寻找到删除数（下同），10000/37≈270，即素数37分别乘以37至270内的素数，共46个；
素数41的删除，因1000/41≈243，即素数41分别乘以41至243内的素数，共41个；
素数43的删除，因1000/43≈232，即素数43分别乘以43至232内的素数，共37个；
素数47的删除，因1000/47≈212，即素数47分别乘以47至212内的素数，共33个；
素数53的删除，因1000/53≈188，即素数53分别乘以53至188内的素数，共27个；
素数59的删除，因1000/59≈169，即素数59分别乘以59至169内的素数，共23个；
素数61的删除，因1000/61≈163，即素数61分别乘以61至163内的素数，共21个；
素数67的删除，因1000/67≈149，即素数67分别乘以67至149内的素数，共17个；
素数71的删除，因1000/71≈140，即素数71分别乘以71至140内的素数，共15个；
素数73的删除，因1000/73≈232，即素数73分别乘以73至136内的素数，共12个；
素数79的删除，因1000/79≈126，即素数79分别乘以79至126内的素数，共9个；
素数83的删除，因1000/83≈120，即素数83分别乘以83至120内的素数，共8个；
素数89的删除，因1000/89≈112，即素数89分别乘以89至112内的素数，共6个；
素数97的删除，因1000/97≈103，即素数97分别乘以97至103内的素数，共3个；
共计删除数为810个，10000之内的素数为：1871-810+168=1229个。
三、明显合数的判定
大奇数是否为合数？根据上面的素基，我们可以进行这样的判定：如果一个很大的数，我们把它除以30后其余数，如果不是素数2，3，5删除后剩余的8个数之中的一个数，那么，该奇数绝对不是素数；如果说，我们把它除以210后其余数，如果不是素数2，3，5，7删除后剩余的48个数之中的一个数，那么，该奇数绝对不是素数；如果说，我们把它除以2310后其余数，如果不是素数2，3，5，7，11删除后剩余的480个数之中的一个数，那么，该奇数绝对不是素数；如果说，我们把它除以30030后其余数，如果不是素数2，3，5，7，11，13删除后剩余的5760个数之中的一个数，那么，该奇数绝对不是素数；…………。这就是明显合数的判定方法。
例1，已知2*3*5*7=210，210之内素数2，3，5，7删除后的剩余数48个，判断491748894140602704881613313619是否为明显合数？
因为，491748894140602704881613313619/210……119，余数119不属于素数2，3，5，7删除后的剩余数，故为明显奇合数。
例2，已知2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43=13082761331670030，判断奇数96874532145698732861677822793393是否为合数？
96874532145698732861677822793393/13082761331670030……2183
因为，在自然数13082761331670030之内，如果删除了素数删除因子2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43倍数的数字后，那么，小于47*47=2209之内剩余的数，除了自然数1以外，全部是素数。又因为：该奇数除以13082761331670030的余数为2183，不是素数，即2183不是素数2，3，5，7，9，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43删除后的剩余数，故96874532145698732861677822793393为明显合数。
.我们换一句话说：如果我们知道自然数13082761331670030之内，素数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43删除后剩余数的1854081073152000个数字，在寻找大奇数是否是素数时，我们只须要用13082761331670030X分别加上这1854081073152000个数字，即在自然数的14.17%之内进行寻找。然后，再分别删除大于43，小于这些数平方根的素数的倍数，剩余的数即是素数。
                            四川省三台县工商局：王志成
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