小乐数学科普：菲尔兹奖得主吴宝珠谈论伽罗瓦的不朽遗产——译自 HLF 海德堡桂冠论坛

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小乐数学科普：菲尔兹奖得主吴宝珠谈论伽罗瓦的不朽遗产——译自 HLF 海德堡桂冠论坛

菲尔兹奖得主吴宝珠近期在 HLF 海德堡桂冠论坛畅谈伽罗瓦的不朽遗产——伽罗瓦理论。



作者：Benjamin Skuse 英国科普作家 2024-10-30

译者：zzllrr 小乐（数学科普公众号）2024-10-31

对于吴宝珠（Bao Chau Ngo ，1972 - ，2010 年菲尔兹奖得主）来说，伽罗瓦群巩固了他 2009 年对数学的开创性贡献，证明了朗兰兹纲领的“基本引理”，该纲领是 2018 年阿贝尔奖获得者罗伯特·朗兰兹（Robert Langlands，1936 -）提出的一系列数学猜想，将许多数学领域联系起来。但在第 11 届海德堡桂冠论坛上的半小时演讲中，吴宝珠明智地选择不会花时间介绍伽罗瓦理论，也不会更糟糕地尝试概述朗兰兹纲领及其相关的基本引理。这些主题太广泛、抽象和复杂，无法在如此短的时间内解释清楚。


图源：HLFF / Flemming

取而代之的是，吴宝珠向与会者介绍了伽罗瓦群是什么，以揭示为什么伽罗瓦理论在其诞生之初对数学进步很重要，以及为什么它仍然是当今数学进步的核心：这是一种思维方式，允许数学家研究数学的基本结构和形式。

敏锐的智慧和独创性

天才数学家、坚定的法国共和党人和不幸的决斗家埃瓦里斯特·伽罗瓦（Evariste Galois ，1811 - 1832）在地球上只存在了短短 20 年，但他在数学许多分支中留下的遗产已经持续了近 200 年，并且很可能还会持续很长时间。


伽罗瓦的肖像（大约 15 岁时）图源：公共领域

伽罗瓦最重要的工作是创立了后来被称为群论的理论。他提出了群的三个原则，并利用这些原则发现了群的更多性质。这些性质可用于将群与其它看似不相关的群进行比较。

然后，该技术可以用作比较代数方程类型以及这些方程的解的方法。更具体地说，伽罗瓦群包含多项式方程解之间的所有对称性；换句话说，根的置换（即重新排列）保留了方程解之间的所有关系。

对于数学之外的任何人来说，这似乎都是微不足道的——以稍微不同的方式呈现已存在和已知的东西，如果你愿意的话，可以对论文进行洗稿。事实上，它过去是、现在依然是一个启示。

从巴比伦人到文艺复兴时期的意大利

吴宝珠以历史课开始他的演讲：“我们在学校学到的二次方程的解法，你可以在公元前 2000 年的巴比伦石板中找到等价形式，”他说，即二次方程一般形式 x^2+bx+c=0 的解：

                       x=[-b±√(b^2–4ac)]/(2a) 。

“当转向三次方程时，这就困难得多，但你可以在 10 世纪左右的中文和波斯文[文献]中找到大量三次方程的解，”他补充道。事实上，吴宝珠透露，三次方程甚至四次方程解的一般形式在伽罗瓦时代之前就已经被发现。

文艺复兴时期，意大利数学家乔瓦尼·卡丹（Gerolamo Cardano ，又译名杰罗拉莫·卡尔达诺，1501 - 1576）和尼科洛·塔尔塔利亚（Niccolò Tartaglia ，1499 - 1557）写下了三次方程解的非常复杂的一般形式。“我们当中很少有人能够自己发现这个公式，”吴宝珠补充道。“这是很基础的，但它有一系列非常聪明和技巧性的变量代换。”这一突破之后，另一位意大利数学家洛多维科·费拉里（Lodovico Ferrari ，1522 - 1565）很快提出了更为复杂的四次方程解法。

在这里，吴宝珠停下来思考了一会儿。“但是我们所说的解是什么意思呢？”他问观众。“我们正在寻找某种[涉及]多项式系数的公式，然后我们可以使用四种运算（加、减、乘、除）和开根号 —— 然而我们会对开根号有分歧，因为有多种选择。”


吴宝珠（Bao Chau Ngo ，1972 - ，2010 年菲尔兹奖得主）图源：HLFF / Flemming

抽象导致理解

伽罗瓦理论完全消除了这种分歧。它汇集了所讨论方程的所有根并描述了它们之间的所有对称性。根之间的对称性是指一个根可以被另一个根替换而不影响答案。例如，任何仅涉及加上或乘以 √2 的表达式，将得到同样的答案（只需用 -√2 替换 √2 ）。

通过从代数方程本身后退一步，伽罗瓦理论揭示了它们的基础结构，伽罗瓦可以非常简单而雄辩地解决最近才通过复杂方法解决的数学问题。

吴宝珠举了一个例子。“阿贝尔-鲁菲尼（Abel - Ruffini）定理表明，不可能找到[5 次及以上]方程的一般形式的解——这是一个惊人的结果，”他说。“但如果给你一个方程，这个定理并不能告诉你是否可以用根式解它。”换句话说，该定理没有解释给定一个特定方程，是否存在仅对方程中的有理系数使用有理数以及加、减、乘、除和求 n 次根的运算得到方程的解。

“通过伽罗瓦群，你可以再次证明阿贝尔-鲁菲尼定理，并且可以使用伽罗瓦群的计算来恢复塔尔塔利亚和费拉里等人的棘手计算，”吴宝珠说。而且，可解的 5 次多项式方程正是那些对应伽罗瓦群是可解的。换句话说，伽罗瓦理论可以用来说明一个特定的方程是否可以用根式求解。

当代发展

“伽罗瓦理论的全部意义在于从研究代数方程转向一个完全不同的对象：一些抽象群，方程的解可以用这些非常简单的形式来表达，”吴宝珠解释道。很久以后，当数学家开始欣赏伽罗瓦的洞察时，我们就清楚了这一点，这种抽象对于让伽罗瓦理论成为重要数学学科和其他学科之间的基本桥梁至关重要。

例如，伽罗瓦理论引入了有限域的抽象代数概念。事实证明，有限域已经成为从算法定义到公共密码学、断层扫描和构建良好计算机网络等诸多一切事物的核心。伽罗瓦理论的这些基本、普遍和持久的品质就是它被 1994 年菲尔兹奖得主 Efim Zelmanov（埃菲·杰曼诺夫，1955 -）在 2024 年林道诺贝尔奖得主大会上的海德堡演讲期间）这样描述它为“数学美的黄金标准”的原因。


Efim Zelmanov（埃菲·杰曼诺夫，1955 -）在 2024 年林道诺贝尔奖得主大会  图源：LINO / Christian Flemming

向不同的受众展示伽罗瓦理论如何渗透到现代纯数学绝非易事。吴宝珠从 20 世纪拓扑学的进展开始。“环面是拓扑中第一个重要的对象，与之相关的是‘基本群’（fundamental group），”他解释道，其中基本群是指与记录其基本形状或孔洞信息的拓扑空间相关的群。

在环面示例中，如果你在环面表面纵向绘制一个环（下图蓝色），并在环面内部的子午线（经线）上绘制另一个环（下图红色），则两者之间无法连续变形，因此它们是不同的。结果，仅使用这两种类型的环就可以构建形成环面的空间。这可以表示为环面的基本群 Z^2 。


图源：HLFF

“这似乎与伽罗瓦理论没有太大关系，但确实如此，”吴宝珠解释道。“‘覆盖理论’（covering theory）。”1960年代，亚历山大·格罗腾迪克（Alexander Grothendieck ，1928 - 2014 ，1966 年菲尔兹奖得主）将所有这些结合在一起，将数论中的伽罗瓦群与拓扑学中的基本群联系起来。

尽管细节留给感兴趣的读者，但覆盖本质上是拓扑空间之间的映射，其作用就像基（础）空间的多个副本到其自身的投影。因此，环面的平凡覆盖空间可以像一个螺旋楼梯一样勾画出来，楼梯的末端是一个甜甜圈，即基（础）空间。在一定的限制和条件下，给定基空间的基本群类似于伽罗瓦群。由此，拓扑空间和域之间的联系和相似性很容易暴露出来，为这两个学科提供新的见解。


图源：HLFF

然后，吴宝珠快进到今天。他说算术几何中一些最大的问题与伽罗瓦理论有关。例如：“如何表征上同调（cohomology ，一系列阿贝尔群，通常与拓扑空间相关）代数簇中出现的伽罗瓦表示，”他问道。“我们通过这些伽罗瓦表示来研究代数簇，但我们需要知道这些伽罗瓦表示的性质。”

尽管他提到过去 20 年在这个问题上取得了重大进展（包括他本人在内），但它仍然可能占据数学家未来 50 到 100 年的时间。实际上，吴宝珠的结论是，伽罗瓦的思想在他和所有受众去世后很长一段时间内仍然具有现实意义。

实现预言

在 1832 年 5 月 30 日那场结束他生命的决斗的前一天晚上，伽罗瓦疯狂地写下了 60 页的数学笔记。这些笔记经常被浪漫地认为是群论诞生的原因，尽管事实证明，这方面肯定是他前期完成的工作。然而，它们确实包含了一个预言性的后记：“我希望，以后会有一些人充分利用它来破译这一切混乱。”

如果伽罗瓦能够听到吴宝珠解释他的原创思想和数学进步如何继续影响和塑造 21 世纪的数学，毫无疑问，他会感到满意，因为他的希望已经完全超出了预期。

参考资料

https://scilogs.spektrum.de/hlf/galois-enduring-legacy/

https://youtu.be/oHaibdbxOU0

原创 海德堡桂冠论坛 zzllrr 小乐 2024 年 10 月 31 日 22:14 江苏