【科普】数学家至今仍在追赶拉马努金这位“神启”天才

luyuanhong

【科普】数学家至今仍在追赶拉马努金这位“神启”天才

作者：Jordana Cepelewic 梧桐阅览 2024 年 10 月 22 日 20:02 湖北

拉马努金出生于印度殖民时期的贫困家庭，32 岁去世，他曾拥有一些突如其来的奇妙灵感，这些灵感至今仍在塑造数学领域。这是篇关于拉马努金恒等式的一个介绍。



2011 年 1 月的一个下午，侯赛因·穆尔塔达跳上了桌子，开始跳舞。他并不是一个人：还有一些和他共用办公室的巴黎研究生在那里，但他并不在意。这位数学家意识到，自己终于证实了几个月前在完成博士论文时产生的一个猜测。

他一直在研究一种特殊的点，叫做奇点，这些点是曲线自交或急转的地方。现在，他意外地找到了证明这些奇点有着出乎意料的深层结构的方法。在这个结构中，隐藏着一个世纪前由一位年轻的印度数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金首次写下的神秘数学陈述。这些陈述是他在梦中的神迹。

拉马努金的故事看起来像一个自学天才的神话。他在贫困和教育匮乏的环境中长大，大部分研究都是在印度南部的孤立环境中完成的，几乎买不起食物。1912 年，24 岁的他开始给著名数学家们寄送一系列信件。这些信大多被忽视了，但其中一个收件人——英国数学家 G. H. 哈代——与他通信了一年，并最终说服他来到英国，还为他克服了英殖民时期官僚机构的障碍。

很快，哈代和他的同事们意识到，拉马努金能够感知到其他人无法触及的数学真理——他能进入数学的一个全新世界。（据说，作为数学界巨匠的哈代曾打趣说，他对数学最大的贡献就是发现了拉马努金。）在拉马努金于 1920 年去世之前，他提出了数千个优美且令人惊讶的结论，常常没有证明。他常说这些方程是神明赐予他的。

一百多年过去了，数学家们仍在努力追赶拉马努金这位“神启”天才，因为他的灵感在数学世界的不同领域不断重现。


英国数学家 G. H. 哈代在收到拉马努金的来信并认出他的才华后，安排他到剑桥与自己一起学习和工作。

拉马努金或许最为著名的是提出了分拆恒等式，这些方程描述了将一个整数分解为较小部分的不同方式（例如，7 = 5 + 1 + 1）。在 20 世纪 80 年代，数学家们开始发现这些方程与数学其他领域之间的深刻且出人意料的联系：包括统计力学和相变研究、结理论和弦理论、数论、表示论以及对称性研究。

最近，这些方程出现在穆尔塔达对代数方程定义的曲线和曲面的研究中，这一研究领域被称为代数几何。穆尔塔达及其合作者花了十多年时间试图更好地理解这种联系，并利用它来发现与拉马努金写下的恒等式类似的全新数学恒等式。

“事实证明，这类结果几乎出现在数学的每个分支中。这是件令人惊叹的事情。”澳大利亚昆士兰大学的奥勒·瓦纳尔说，“这不仅仅是一个幸运的巧合。我不想显得迷信，但数学之神似乎在试图告诉我们一些东西。”

新世界

那些认识拉马努金的人都清楚他的数学才能。尽管没有接受过正式训练，他依然表现出卓越的才华；到高中时，他已经精读了大量高级但往往已经过时的教科书，并独立研究不同种类的数值性质和模式。

1904 年，他获得了在库姆巴科南政府文理学院的全额奖学金，这是他成长的小城，位于如今的印度泰米尔纳德邦。然而，他忽视了除数学以外的所有科目，结果在一年内失去了奖学金。之后，他进入了另一所大学，这次是在马德拉斯（现在的金奈），位于北方约 250 公里的省会。但他再次退学了。


在大学退学后，拉马努金离家出走，这促使他的母亲在《印度教徒报》上刊登了一则寻人启事

他独自继续他的研究多年，常常是在健康状况不佳的情况下。在那段时间里，他通过辅导学生数学来维持生计。最终，他在 1912 年获得了马德拉斯港务局的文员工作。他业余时间继续研究数学，并在印度期刊上发表了一些成果。

拉马努金希望他的一些工作能够发表在更享有盛誉、更广泛阅读的出版物上，于是他写信给几位英国数学家，附上了他的发现页面供他们审阅。

“我没有走过大学课程中遵循的传统常规课程。”他写道，“但我正在为自己开辟一条新路。”收信人之一是哈代，他是剑桥大学数论和分析的专家。


拉马努金（Ramanujan）给 G. H. 哈代（Hardy）的第一封信中包含了公式（5）（6）（7），这些奇怪的嵌套分数让哈代感叹

哈代对他所看到的感到震惊。拉马努金识别并解决了一些连分数问题——这些表达式可以写成无限嵌套的分数，例如：



“它们完全击败了我；我以前从未见过任何类似的东西。”哈代后来写道。“它们一定是真的，因为如果它们不是真的，没有人会有想象力去发明它们。”这些未经证明的公式如此引人注目，以至于激发了哈代向拉马努金提供剑桥的研究员职位。1914年，拉马努金抵达英格兰，接下来的五年里，他与哈代一起研究和合作。


L. J. 罗杰斯（L. J. Rogers）在 1894 年证明了一组方程，但当时没有人关注他的工作。二十年后，拉马努金（Ramanujan）独立发现了这些公式，罗杰斯因此而成名。

拉马努金（Ramanujan）最初的任务之一是证明他关于连分数的一个广义命题。为此，他需要先证明另外两个命题。但他做不到，哈代（Hardy）也无法证明，甚至他咨询的所有同事都无能为力。

最终，他们发现并不需要这样做。这些命题早在 20 年前就已由一位鲜为人知的英国数学家 L. J. 罗杰斯（L. J. Rogers）证明了。罗杰斯的写作能力欠佳，当时他的证明发表后没有引起任何关注。（罗杰斯甘于在相对默默无闻中进行研究，弹钢琴、种花园，并在空闲时间从事其他各种活动。）拉马努金在 1917 年发现了这项工作，这对命题后来被称为“罗杰斯-拉马努金恒等式”。

在拉马努金大量的研究成果中，这些命题尤为突出。它们历经数十年，几乎跨越了数学的各个领域。它们像种子一样，被数学家们不断播撒，似乎无论落在哪里都会长成灿烂的新花园。

拉马努金在 1919 年患病并返回印度，次年去世。他的恒等式所揭示的世界，留给了后人去探索。

游戏的乐章

侯赛因·穆尔塔达（Hussein Mourtada）在 20 世纪 80 年代于黎巴嫩的小城巴勒贝克（Baalbek）长大。少年时代，他不喜欢学习，更喜欢玩耍：足球、台球、篮球，还有数学。“数学看起来像个游戏。”他说，“而我喜欢玩游戏。”

在贝鲁特的黎巴嫩大学读本科时，他学习了法律和数学，本想从事法律职业。但很快他发现，尽管他喜欢法律的哲学方面，实际操作却让他不感兴趣。于是他将注意力转向数学，特别是数学界的氛围吸引了他。小时候，老师和同学让他对上学充满期待，尽管他经常在课堂上睡着。作为一名初露头角的数学家，“我觉得这些人很美好。”他说，“他们很诚实。你必须对自己诚实才能成为数学家。否则，这行不通。”


侯赛因·穆尔塔达（Hussein Mourtada）一直在将拉马努金（Ramanujan）的工作带入 21 世纪

侯赛因·穆尔塔达（Hussein Mourtada）为攻读博士学位搬到法国，开始专注于代数几何——即研究代数簇，或被多项式方程切割出的形状。这些方程可以写成变量的和，其指数为整数。例如，一条直线由方程 x + y = 0 切割出，圆由方程 x^2 + y^2 = 1 切割出，数字 8 由方程 x^4 = x^2 - y^2 切割出。虽然直线和圆是完全光滑的，但数字 8 有一个点是它自交的——称为奇点。

当处理可以在纸上绘制的形状时，很容易发现奇点。但高维代数簇要复杂得多，且无法可视化。代数几何学家也在研究它们的奇点。

他们为此开发了各种工具。其中一种可以追溯到数学家约翰·纳什（John Nash），他在 1960 年代开始研究一种叫做弧空间的相关对象。纳什会取一个点或奇点，定义无穷多个短的轨迹——小弧，穿过它。通过观察所有这些短轨迹，纳什可以测试在该点上他的代数簇有多光滑。“如果你想看看它是否光滑，就得抚摸它。”法国巴黎高等理工学院的格列布·波古丁（Gleb Pogudin）说道。

从实际角度看，弧空间提供了一个无穷多的多项式方程集合。“这正是穆尔塔达的专长：理解这些方程的含义。”巴黎朱西埃数学研究所的穆尔塔达同事伯纳德·泰西耶（Bernard Teissier）说，“因为这些方程可能非常复杂，但它们有一种特定的音乐感。支配这些方程性质的结构很多，我认为他是最能倾听这音乐并理解其意义的人。”


拉马努金散落的笔记本中的页面

研究生毕业后不久，穆尔塔达（Mourtada）和另外两位年轻数学家雅恩·舍佩尔斯（Jan Schepers）以及克莱门斯·布鲁舍克（Clemens Bruschek）开始研究与一种非常简单的奇点相关的弧空间。他们将这个空间分解，以便更好地理解，就像考古学家分别检查古代遗址的各个层面一样。

最终，他们陷入了困境，但有些事情一直在困扰着穆尔塔达。他和他的同事们计算了一系列数字，这些数字对应于弧空间前几部分中的多项式数量。这些数字似乎有些熟悉。“我像孩子一样不断重复它们。”他说，“然后突然我想起了拉马努金恒等式。”

无处不在的隐藏模式

罗杰斯-拉马努金恒等式就像一块巨大的切割翡翠：极其复杂而美丽，从不同的角度看显得截然不同。


拉马努金（Ramanujan）在数学界已成为一位名人。2011 年，印度发行了一枚纪念邮票以纪念他；几年后，还拍摄了一部关于他生平的电影。

每个恒等式将一个复杂的无穷和等同于一个复杂的无穷积。因此，这些命题揭示了两种数学函数（加法和乘法）之间奇特的联系，而在这个背景下，它们之间似乎没有太大关系。

其他研究人员很快也看到了其中意想不到的数学奇观。英国数学家珀西·麦克马洪（Percy MacMahon）在 19 世纪末以军人的身份开始了他的职业生涯，但因病使他脱离军队，转向数学。1915 年，他正在撰写第一本关于组合数学的综合教材，这一学科涉及计数方法。他读到了后来被称为罗杰斯-拉马努金恒等式的方程，并意识到等号两侧的函数表面下也与计数有关。

考虑一个整数，例如数字 4 。它可以以有限的方式分解成若干部分：可以写作 4 、3 + 1 、2 + 2 、2 + 1 + 1 或 1 + 1 + 1 + 1 。数学家称数字 4 有五个“划分”。较大的数字则有更多的划分：例如，数字 200 的划分数量接近 4 万亿。划分是如此基本，以至于“人们在思考数学的同时就开始思考它们。”乔治亚南方大学的安德鲁·西尔斯（Andrew Sills）说道。

“这不仅仅是一个巧合。我不想听起来像宗教，但数学之神似乎在试图告诉我们一些事情。”——拉马努金

第一个系统研究划分的数学家是 18 世纪的莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）。他证明了第一个划分恒等式：对于任何整数（例如 4 ），所有部分都是奇数的划分数量（在这种情况下有两个划分：3 + 1 和 1 + 1 + 1 + 1 ）等于所有部分都不重复的划分数量，也就是说其中没有重复（4 和 3 + 1 ）。

麦克马洪（MacMahon）发现这两个罗杰斯-拉马努金恒等式可以以类似的方式进行解释。（由于第一次世界大战而被孤立的德国数学家伊萨伊·舒尔（Issai Schur）独立发现了这些恒等式，并得出了相同的结论。）第一个罗杰斯-拉马努金恒等式的和侧计算的是给定整数的划分数量，其中没有任何重复或连续的部分。（对于数字 4 ，有两个：4 和 3 + 1 。）积侧计算的是所有部分在除以 5 时余数为 1 或 4 的划分数量（4 和 1 + 1 + 1 + 1 ）。对于任何整数，满足这两个条件的划分数量总是相等的。


划分的魔力：划分列出了将一个整数拆分成较小部分的不同方式

罗杰斯-拉马努金恒等式：在 20 世纪初，斯里尼瓦萨·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）在梦中得到了一个奇特的关系。可以用划分的概念来解释它。


问题一：有多少没有重复元素的划分？问题二：把每一个划分元素除以 5 ，余数等于 1 和 4 的划分共有几个？对于任意整数，问题一和问题二的答案总是相同的。

“这是一个非常奇怪的事实，太神秘了。”丹佛大学的沙尚克·卡纳德（Shashank Kanade）说道，“我的意思是，5 是从哪里来的？”

在 20 世纪的大部分时间里，数学家们乐于思考拉马努金所揭示的奇特隐藏现象。例如，在第二次世界大战期间，物理学家弗里曼·戴森（Freeman Dyson）写道，他“通过徘徊在拉马努金的花园中保持理智。”


在 1970 年代和 1980 年代，罗德尼·巴克斯特（Rodney Baxter ，顶部）和詹姆斯·勒波夫斯基（James Lepowsky）发现了罗杰斯-拉马努金恒等式与数学其他领域之间的惊人联系——分别是统计物理和表示理论。

但直到 1970 年代末，他们才揭示了罗杰斯-拉马努金恒等式的其他方面。这一切始于一位名叫罗德尼·巴克斯特（Rodney Baxter）的澳大利亚物理学家，他创建了一个简化的气体模型，以理解相变，即系统行为突然变化的点（比如液态水变成冰的时刻）。在计算他模型中的一些关键数字时，他通过统计力学的视角重新发现了罗杰斯-拉马努金恒等式。

大约在同一时间，罗格斯大学的数学家詹姆斯·勒波夫斯基（James Lepowsky）和罗伯特·威尔逊（Robert Wilson）证明了罗杰斯-拉马努金恒等式在表示理论中也会出现，表示理论是研究特殊对称性的数学分支。他们的结果开辟了一个全新的领域——所谓的顶点算子代数理论，该理论今天在弦理论中被广泛应用，并在群论中最近的一项重大成果——“怪兽月光”猜想的证明中发挥了关键作用。

“你开始看到这些恒等式是自然的。它们是一个更一般的框架的一部分，远比仅仅是划分恒等式要普遍得多。”泰西耶（Teissier）说。

罗杰斯-拉马努金恒等式在各个数学领域浮现的趋势持续到了 1990 年代和 2000 年代。它们出现在数论中，涉及到称为模形式的中心函数研究；出现在概率论中，涉及马尔可夫链的研究；以及在拓扑学中，涉及用于区分和分类结的多项式。每次，这些恒等式都可以利用这些领域的技术重新证明——而每次，数学家们都能够利用这些联系产生新的恒等式，向拉马努金的花园种下越来越多的种子。

魔法数字

2010 年，当穆尔塔达（Mourtada）在思考一种称为“肥点”的简单奇点的弧空间时，他有了某种启示。为了理解这个奇点的更深层结构，他将相应的弧空间——本质上是一个复杂的无穷多多项式方程的系统——分层，并开始计算每一层中的多项式数量。


哈代（Hardy）和拉马努金（Ramanujan）密切合作了多年。他们通过信件交流数学问题，直到拉马努金去世。

他注意到，最终得到的数字并不是随机的。罗杰斯-拉马努金恒等式的和侧——没有相等或连续部分的划分数量——“突然出现在我脑海中。”他说，“我意识到，即使我计算的东西与划分不同，但这实际上正是我所计算的内容。”

他意识到，这很有意义。长期以来，人们已经知道可以将多项式方程与任何划分关联起来。但穆尔塔达的弧空间的每一部分仅包含特定子集的多项式，因此也仅包含特定子集的划分。而穆尔塔达想要计算的，这正是罗杰斯和拉马努金等划分恒等式的范畴。


1976 年，乔治·安德鲁斯（George Andrews）发现了拉马努金的“散落的笔记本”—— 100 页散页，上面记录了拉马努金在去世前一年提出的（未证明的）结果

他、布鲁舍克（Bruschek）和谢佩尔斯（Schepers）证明了他们的弧空间的结构可以用这个恒等式来描述。“这样一个简单的奇点竟然有如此深刻的内在结构，这非常令人惊讶。”谢佩尔斯说，“我们非常兴奋。”兴奋得穆尔塔达甚至在桌子上跳了起来。

布鲁舍克和谢佩尔斯随后很快离开了数学界。但穆尔塔达继续在他们的基础上深入研究。“可以说这是一个初步案例。”泰西耶（Teissier）说。在接下来的十年里，“他使整个事情变得更加概念化……形成了一种完全一般化的描述。”

2015 年，一位名叫普内赫·阿夫沙里朱（Pooneh Afsharijoo）的年轻伊朗数学家来到法国，开始与穆尔塔达的研究生学习。此后，他们一直合作理解许多其他（而且更复杂的）奇点及其弧空间。这使他们发现了大量新的恒等式——以及对最古老恒等式的扩展。

罗杰斯-拉马努金恒等式表明，总是有相同数量的划分满足两个非常不同的条件。阿夫沙里朱，现在是马德里康普顿斯大学的博士后研究员，发现了第三个条件，扩展了拉马努金在 100 多年前写下的原始恒等式的范围。

现在，穆尔塔达和阿夫沙里朱还利用被称为图（graphs）的点和边的网络来表示有关他们的弧空间的信息，使他们能够应用图论中的工具来揭示更多新颖的划分恒等式。阿夫沙里朱说，这一新联系为“隐藏在整数中的魔力”提供了更多证据。

划分与质数

每当罗杰斯-拉马努金恒等式出现在新的地方时，数学家们既感到惊讶又不惊讶。这些恒等式的意外出现提供了新的连接点，进一步证明了数学各个不同领域之间神秘统一的证据。“这种惊讶感并没有消失。所有这些事情仍然看起来不合常理。”宾夕法尼亚州立大学的乔治·安德鲁斯（George Andrews）说。

但在这些恒等式方面，每个人也都期待着意外。“这有点像拉马努金数学的商标。”弗吉尼亚大学的肯·奥诺（Ken Ono）说。

在九月份，奥诺和两位合作者——威廉·克雷格（William Craig）和扬-威廉·范·伊特斯姆（Jan-Willem van Ittersum）——又发布了一个划分恒等式的应用。他们并没有寻找新的源头来衍生这些恒等式，而是将它们用于一个完全不同的目的：检测质数。

他们利用计算划分的函数，构建了一个特殊的公式。当你将任何质数代入这个方程时，它会输出零。当你代入任何其他数字时，它则输出一个正数。通过这种方式，划分恒等式可以为你提供一种从整数中挑选出整个质数集合的方法，奥诺说。“这难道不疯狂吗？”

“划分是关于加法和计数的。”他说，“为什么它们能精确地检测哪些数字是质数，哪些不是，这实际上是乘法做的事情？”

通过利用丰富模形式的数学理论，他和他的同事发现这个公式只是一个更大类别的质数检测函数的一个简单例子——实际上有无数个。

“这让我感到震撼。”奥诺说，“我希望人们会觉得这很美。”这表明了划分与乘法数论之间更深层的关系，数学家们现在希望进一步探索这一点。

在某种程度上，划分不断渗透到数学的每个角落是有道理的。“划分理论是如此基础。”安德鲁斯说，“在几乎每一个数学分支中，计数和加法都在发生。”
尽管如此，这些联系的确切性质仍然很难理清。“这确实是关于正确获得视角的问题。”奥诺说。

“这就是拉马努金工作的伟大之处。”卡纳德（Kanade）说，“他发现的不仅仅是一个恒等式，而是一个没有尽头的冰山的尖端。你只需跟随它。”

“拉马努金是一个能够想象出我这样的人无法想象的事物的人。”穆尔塔达说。但新数学领域的发展“使我们能够找到拉马努金可能仅凭想象就能发现的新划分恒等式。”

“这就是数学如此重要的原因。”他补充道，“它使像我这样的普通人也能发现这些奇迹。”

中文翻译编辑校对：酉木木

梧桐阅览