【科普】最危险的数学猜想，被很多前辈警告要远离

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【科普】最危险的数学猜想，被很多前辈警告要远离

原创 酉木木 梧桐阅览 2024 年 10 月 14 日 08:00 哈萨克斯坦

数学家们将科拉茨猜想视为一个复杂难解的问题，并相互警告要远离它。但如今，陶哲轩在这个领域的进展超过了近百年来的任何人。你只需要知道“乘以 3 加 1 ”和“除以 2 ”，就立刻可以玩这个数学游戏。

取任意一个数字。如果它是偶数，就将它减半。如果是奇数，就将它乘以 3 再加 1 。重复这个过程。所有的起始数字都能最终得到 1 吗？

经验丰富的数学家们警告初学者远离科拉茨猜想。他们说，这是一种诱人的旋律：一旦陷入其中，你可能再也无法进行有意义的数学工作。

科拉茨猜想可能是数学中最简单的未解问题，这正是它如此危险诱人的原因。

“这是一个非常危险的问题。人们会对此产生痴迷，而它确实几乎不可能证明。”密歇根大学的数学家以及科拉茨猜想专家杰弗里·拉加里亚斯说道。

2019 年早些时候，世界顶尖的数学家之一陶哲轩敢于面对这个问题，并取得了几十年来关于科拉茨猜想的最重要成果之一。

2019 年 9 月 8 日，特伦斯·陶（陶哲轩）发布了一项证明，显示至少在某种程度上，科拉茨猜想对“几乎”所有数字都是“几乎”成立的。虽然陶的结果并不是对该猜想的完整证明，但这是一个在这个不容易揭示秘密的问题上的重大进展。



“我并没有期待能完全解决这个问题。”加州大学洛杉矶分校的数学家陶说。“但我所做的超出了我的预期。”

科拉茨难题

洛塔尔·科拉茨可能在 1930 年代提出了这个同名猜想。这个问题听起来像一个聚会把戏。选择一个数字，任意一个数字。如果它是奇数，将其乘以 3 并加 1 ；如果是偶数，则将其除以 2 。现在你得到了一个新数字。对这个新数字应用相同的规则。该猜想是关于当你不断重复这个过程时会发生什么。

直觉可能会暗示，起始数字会影响最终结果。也许某些数字最终会降到 1 ；也许其他数字则会不断增大到无穷大。

但科拉茨预测情况并非如此。他猜想，如果你从一个正整数开始并长时间运行这个过程，所有起始值都会最终达到 1 。一旦你到达 1 ，科拉茨猜想的规则就会将你限制在一个循环中：1, 4, 2, 1, 4, 2, 1，循环往复，永不停歇。

多年来，许多问题解决者被科拉茨猜想的简洁性所吸引，或者也被称为“3N + 1问题”。数学家们已经测试了数千亿个例子（这是 18 个零），但没有发现科拉茨预测的任何单一例外。你甚至可以通过许多在线“科拉茨计算器”自己尝试几个例子。互联网上充斥着毫无根据的业余证明，声称以某种方式解决了这个问题。

“你只需要知道乘以 3 和除以 2 ，就可以立即开始玩这个问题。尝试它非常诱人。”格里内尔学院的数学家马克·钱伯兰（Marc Chamberland）说，他制作了一部关于这个问题的热门 YouTube 视频，名为《最简单的不可能问题》。

但真正的证明是罕见的。

在 1970 年代，数学家们显示几乎所有的科拉茨序列——你在重复这个过程时得到的数字列表——最终都会到达一个比起始数字更小的数字。这是弱证据，但无论如何，表明几乎所有的科拉茨序列趋向于 1 。从 1994 年到陶 2019 年的结果，伊万·科雷茨（Ivan Korec）保持着证明这些数字到底能变得多小的记录。其他结果也同样在这个问题上进行了一些探讨，但未能接近解决核心问题。

“我们对科拉茨问题的理解实际上非常有限，因此在这个问题上没有太多重要的工作。”斯坦福大学的数学家坎南·桑达拉贾（Kannan Soundararajan）说，他曾在该猜想上进行过研究。

这些努力的无果让许多数学家得出结论，认为该猜想超出了当前理解的范围——他们在研究时间上更适合把精力放在其他地方。

“科拉茨问题是一个著名的困难问题——以至于数学家们往往在讨论它时会加上警告，提醒大家不要浪费时间研究这个问题。”南卡罗来纳大学的约书亚·库珀（Joshua Cooper）在一封电子邮件中表示。

一个意外的提示

拉加里亚斯（Lagarias）在至少 40 年前作为学生首次对该猜想产生了兴趣。几十年来，他一直充当科拉茨所有事物的非正式管理员。他积累了与该问题相关的论文库，并在 2010 年将其中一些论文出版为一本名为《终极挑战：3N + 1 问题》的书。

“现在我对这个问题知道得更多了，我会说它仍然是不可能的。”拉加里亚斯说。

陶（Tao）通常不会在不可能的问题上花费时间。2006 年，他获得了数学界最高荣誉——菲尔兹奖，广泛被认为是他这一代最顶尖的数学家之一。他习惯于解决问题，而不是追逐虚幻的梦想。

“作为数学家，这实际上是一种职业危险。”他说，“你可能会对那些超出任何人能力范围的大名鼎鼎的问题产生执念，浪费大量时间。”

但陶并没有完全抵制自己领域内的巨大诱惑。每年，他都会花一两天时间尝试解决一个著名的未解数学问题。在过去的几年中，他曾试图解决科拉茨猜想，但都没有成功。

然后在今年八月，一位匿名读者在陶的博客上留下了一条评论。评论者建议尝试解决“几乎所有”数字的科拉茨猜想，而不是试图完全解决它。

“我没有回复，但这确实让我再次思考这个问题。”陶说。

他意识到，科拉茨猜想在某种程度上与他职业生涯中一些重要成果所涉及的方程——称为偏微分方程（PDE）——有相似之处。

输入与输出

偏微分方程，或 PDE ，可以用来模拟宇宙中许多最基本的物理过程，例如流体的演变或重力在时空中的波动。它们关注在初始扰动后系统的未来状态——例如，在你向池塘投下一块石头五秒后池塘的状态——如何依赖于两个或多个因素的影响，比如水的粘度和速度。

复杂的 PDE 似乎与像科拉茨猜想这样简单的算术问题没有什么关系。

但陶意识到它们之间有某种相似性。在 PDE 中，你输入一些值，得到其他值，然后重复这个过程——所有这一切都是为了理解系统的未来状态。对于任何给定的PDE，数学家们想知道某些初始值是否最终导致无穷大的输出，或者一个方程是否总是产生有限的值，无论你的初始值是什么。

对陶来说，这一目标与调查无论输入什么数字，最终是否总是得到相同的数字 1 ，有着相似的性质。因此，他意识到研究偏微分方程（PDE）的方法可以应用于科拉茨猜想。

一个特别有用的技术是以统计的方式研究少量起始值的长期行为（例如，池塘中水的少量初始状态），并从中推测出所有可能的池塘初始状态的长期行为。

在科拉茨猜想的背景下，想象从一个大样本的数字开始。你的目标是研究在应用科拉茨过程时这些数字的表现。如果样本中接近 100% 的数字最终都恰好为 1 或非常接近 1 ，你可能会得出几乎所有数字都表现相同的结论。

但要使这一结论有效，你必须非常小心地构建样本。这个挑战类似于在总统民调中生成选民样本。为了准确地从民调推断出整体人口，你需要根据正确的比例对样本进行加权，比如按共和党人和民主党人、女性和男性等的比例。

数字有自己独特的“人口统计”特征。当然，有奇数和偶数，还有 3 的倍数，以及在更细微的方式上相互区别的数字。当你构建数字样本时，可以有意识地选择某种类型的数字而非其他类型——你选择的加权越好，你就能越准确地得出关于数字整体的结论。

权衡选择

陶的挑战远不止于如何创建一个具有适当权重的初始数字样本。在科拉茨过程的每一步中，你所使用的数字都会发生变化。一个显而易见的变化是，样本中的几乎所有数字都会变小。

另一个也许不那么明显的变化是，数字可能几次迭代后聚集在一起。例如，你可能从 1 到 100 万这样一个均匀分布的数字开始。但经过五次科拉茨迭代后，数字很可能集中在数轴上的几个小区间内。换句话说，你可能开始时有一个良好的样本，但经过五步后，它却变得完全失衡。

“通常人们会期望迭代后的分布与最初的分布具有相同的特征。”陶在一封邮件中说。

陶的关键见解在于找出如何选择一个在整个科拉茨过程中大致保持原始权重的数字样本。

例如，陶的初始样本经过加权，使其不包含任何 3 的倍数，因为科拉茨过程很快就会筛除 3 的倍数。陶提出的一些其他权重则更为复杂。他将初始样本中的数字对被 3 除后余数为 1 的数字加权，而对被 3 除后余数为 2 的数字则进行减权。

结果是，陶所开始的样本在科拉茨过程进行时仍保持其特征。

“他找到了一种方法来进一步延续这个过程，因此在经过一定步数后你仍然清楚发生了什么。”桑达拉亚说。“当我第一次看到这篇论文时，我非常兴奋，觉得这非常引人注目。”

陶使用这种加权技术证明，几乎所有的科拉茨起始值—— 99% 或更多——最终都会达到一个非常接近 1 的值。这使他得出结论，比如说 99.99% 大于 1 千万亿的起始值最终会达到一个低于 200 的值。

这可以说是在该猜想漫长历史中最强有力的结果。

“这是我们对这个问题现状认知的一大进步。”拉加里亚斯说。“这无疑是在很长一段时间内的最好结果。”

陶的方法几乎肯定无法完全证明科拉茨猜想。原因在于，他的起始样本在每一步过程中仍会略有偏差。只要样本中仍包含许多与 1 相距较远的不同值，这种偏差就很小。但随着科拉茨过程的进行，样本中的数字逐渐接近 1 ，这种小的偏差效应变得越来越明显——就像在大型民意调查中，稍微的计算错误影响不大，但当样本规模较小时却会产生过大的影响。

对完整猜想的任何证明都可能依赖于不同的方法。因此，陶的工作既是一个胜利，也是对对科拉茨猜想感兴趣者的警告：就在你认为你可能把问题逼入绝境时，它却悄然溜走。

“你可以尽可能接近科拉茨猜想，但它仍然是遥不可及的。”陶说道。

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