在双曲几何诞生之前

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在双曲几何诞生之前

原创 李明 未来数学家 2024 年 10 月 12 日 15:37 河南

由高斯、罗巴切夫斯基和约翰·波尔约开创的非欧几里得几何叫做双曲几何，它保留了欧几里得《几何原本》中的前四条公设，但是第五条也是最后一条公设不再成立，取而代之的是“过直线外一点有无穷多条直线与该直线平行”。数学家们后来陆续建立了一些满足这五条公设的双曲几何模型，例如双曲面模型，表明欧几里得几何中的第五条公设不可能由其他四条公设推导出来。

这个结论来之不易，在双曲几何诞生之前数学家们经历了长达两千年的困扰。欧几里得的公设采用的是亚里斯多德的定义，特指几何中的公理，它的正确性不一定是显而易见的。第五公设就是如此，它的表述是“如果一条直线与两条直线相交得到的两个同旁内角和小于两个直角和，那么这两条直线在该旁无限延伸时必相交于一点”，这个无限延伸的结果给后世的数学家们带来了疑惑。他们试图用前四条简单明了的公设证明第五公设，两千年的努力留下的是一个又一个错误的证明，以及和它等价的一些命题。在这些等价命题中有两个为人熟知，一个是“三角形的内角和等于 180 度”，另一个是“过直线外一点有且仅有一条直线和该直线平行”，因此第五公设也叫做平行公设。虽然没能证明第五公设，但是接受它也没有产生错误的结果，并且建立在公理和公设基础上的欧几里得几何已经成为数学推演和描述物理世界的基础工具，这种状况使得法国数学家达朗贝尔在 1767 年称第五公设问题是“初等几何的丑闻”。

达朗贝尔没有注意到在已有的错误证明中有一个已经透漏出一丝曙光，它来自一位不出名的意大利数学家萨凯里。萨凯里在 1733 年出版的著作中使用反证法证明平行公设——假设它不成立然后从前四条公设出发推出矛盾。他构造出两个底角是直角且两个侧边相等的四边形，在证明了两个顶角相等后将它们分成钝角、直角和锐角三种情形。他在直线可以无限延伸的条件下证明了直角情形可以推出平行公设，接着对钝角情形使用反证法得到矛盾，但是在用反证法推导锐角情形时在证明了 20 多个定理后也没有产生矛盾，然而他认为这些结果“违背直线的基本特征”，因此断言锐角情形也产生矛盾。萨凯里相信自己已经彻底证明了平行公设，给著作起名为《欧几里得无懈可击》。他在把书送去出版后不久就去世了，永远不会知道自己不仅没有彻底解决，还打开了通向非欧几里得几何的大门——没有推出矛盾的锐角情形隐含着双曲几何，那 20 多个定理就是双曲几何中的定理，所以在 1868 年建立双曲几何模型的贝尔特拉米称“萨凯里是匈牙利人波尔约和俄国人罗巴切夫斯基在意大利的先驱”。

萨凯里的书在他死后的 30 年间很少有人问津，直到 1763 年德国哥廷根大学一位名叫克吕格尔的学生在数学教授卡斯特纳指导下写一篇关于平行公设的论文，在搜集为证明平行公设所做的主要尝试时发现了萨凯里的工作。他在仔细研究萨凯里的证明后得出一个新认识：萨凯里的结果只是与经验相矛盾，而不是与公理。

克吕格尔没有继续探究下去，但是他的论文引起了一个人的注意，他就是柏林科学院的兰伯特。兰伯特曾在 1756 年访问哥廷根，结识了卡斯特纳，并被选为哥廷根学会的成员，后来在欧拉邀请下加入柏林科学院。他在 1765 年看到克吕格尔的论文后开始研究平行公设，用的是与萨凯里相似的四边形方法，只不过他的四边形有三个角已知是直角。兰伯特同样发现锐角情形很难推出矛盾，接受了这个事实。他还发现钝角情形虽然在平面上不成立但是在实球面上成立，还得到了实球面上三角形内角和与面积的关系式，因此推断锐角情形在虚球面上成立，并用虚数半径代替实半径得到虚球面上三角形面积正比于 π 与三角形内角和的差。这个结果揭示出了双曲几何中三角形面积与内角和的关系，但在当时没有引起注意，兰伯特也没有提出一个新的几何学。他在 1766 年完成《平行线论》的书稿后离开了平行公设问题，这本书在他死后的 1786 年由约翰·伯努利三世整理出版。他还在 1768 年以圆为参照发现了双曲函数，由于失去了在平行公设问题上的热情，没有再向前一步把双曲函数应用到虚球面上。

事实上实球面上也存在一种非欧几何，球面上的“直线”是过球心的平面与球面相交得到的大圆，因此是有限长的。由于任意两个大圆必相交，所以实球面上过一个大圆外一点没有和该大圆平行的大圆，不满足平行公设。但是实球面也不满足欧几里得的第一条公设“连接两个点只能画一条直线”，因为实球面上连接一条直径两个端点的大圆有无数条，所以实球面不是从平行公设问题引出的非欧几何，它在后来引起了高斯的学生黎曼的注意。

在兰伯特的书沉寂了 30 年后，一位德国法律教授、业余数学家施魏卡特注意到了他和萨凯里的工作，开始考虑平行公设不成立时的情形。他在 1818 年的 12 月写了一篇概要通过既是同事也是高斯弟子的盖林交给高斯，声称“有一个双重几何，一重是狭义的欧几里得几何，另一重是描述巨大星空的几何”，并且“可以严格证明星空几何中三角形的内角和小于 180 度，且随着三角形面积的增加而减小”。这个内角和的结论虽然没有超越兰伯特的发现，但他提出了一个新的几何，并且意识到欧几里得几何不是唯一描述宇宙的几何。高斯收到信时已经在考虑非欧几里得几何，是第一个使用“非欧几里得几何”这个术语的人。他在给盖林的回信中称赞了施魏卡特的工作，还阐述了自己的观点。施魏卡特在数学上的兴趣影响了学法律的外甥陶里努斯，后者也开始研究平行公设问题。他在 1826 年出版的著作中不仅使用与兰伯特相似的方法用虚半径代替实球面半径，更进一步用双曲函数代替三角函数得到虚球面上三角形的双曲三角公式，并把虚球面上的几何叫做对数-球面几何。陶里努斯写信给高斯交流非欧几里得几何的工作，但是高斯告诉他不要公开交流的内容，据说陶里努斯因此烧掉了已出版尚未卖完的著作。

当高斯在 1795 年进入哥廷根大学学习时，已经 76 岁的卡斯特纳仍然在教数学课，他对平行公设问题念念不忘并影响了高斯。高斯与从匈牙利过来学习的法卡斯·波尔约成为好朋友，两人一起讨论过平行公设问题。法卡斯·波尔约在平行公设上的兴趣影响了儿子约翰·波尔约。卡斯特纳还有一个学生叫巴尔特斯。巴尔特斯十四岁时在布伦瑞克附近的一个小学做助手，班里有一个学生就是高斯，他后来与高斯成为朋友。巴尔特斯在哥廷根大学完成学业后辗转多地在 1808 年来到千里之外的俄罗斯喀山联邦大学任教，在他的课堂上有一个学生名叫罗巴切夫斯基。

修改于 2024 年 10 月 23 日

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