数学家的一封信

luyuanhong

数学家的一封信

原创 数学猫派 数学猫派 2024 年 08 月 21 日 08:27 北京

1775年，数学家法尼阿诺的一封信说到：“给定边长的三角形，每边上取一点，什么时候这三点组成的三角形周长最短，其最短值为多少？”

【命题推广】对于给定边长的三角形，每边上各取一点（可与顶点重合），这三点的两两距离之和（可以不构成三角形）最短为多少？



本命题覆盖了法尼阿诺信中的最短周长的内接三角形，本文对此进行阐述。

01  固定一个点的探索

控制变量法，我们先在一条边上固定一个点 D ：



1）此时联想到光线的反射或者将军饮马；

2）做 D 关于 AB 的对称点和关于 AC 的对称点；

3）连接 D1D2 ；

4）假设与 AB、AC 有交点，其交点为 E、F ；

5）没有两交点的情况见 02 节分析；

6）那么 ΔDEF 就是最短周长三角形；

7）证明如下：

AB 和 AC 边上任意取一点，包括顶点：两点之间线段最短，即 D1D2 距离最短，所以 ΔDEF 周长最短。



02  是否有交点



1）不妨设 ∠A 为 ΔABC 中的最大角；

2）因为对称性：∠DAE=BAD1 ，∠DAF=CAD2 ，所以 ∠D1AD2=2∠A ；

3）所以当 ∠D1AD2≥180° 时，即 ∠A≥90° 时：D1D2 与线段 AB、AC 没有两个交点；

4）即 ∠A 为锐角时，有两交点；

5）即 ΔABC 为锐角三角形时，存在两交点；

6）因此我们将分别讨论锐角 Δ 和非锐角 Δ 。

03  锐角三角形



1）释放 D 点，让其在 BC 上运动，包括顶点；

2）使用对称作法，均可得到最短距离；

3）我们要在这些最短距离集中寻求最短；

4）即在一群将军饮马中，找到最短距离；



5）因为对称性：AD1=AD=AD2 ，所以 ΔAD1D2 为等腰三角形。取 D1D2 中点 G ；∠DAE=BAD1 ，∠DAF=CAD2 ，所以 ∠D1AD2=2∠A ；所以 ∠D1AG=∠A ；所以D1D2=2AD*sinA 。

6）因此 AD 越小，D1D2 也越小；

7）最短的 AD 为边 BC 上的高；

8）所以 D 点为垂足即为所求；

9）根据对等原则，E 和 F 也应该为垂足；

10）证明如下：



因为对称性：∠ADE=∠AD1E=∠AD2E=∠ADF ；又 AD⊥BC ，所以 ∠BDE=∠CDF ；又 ∠BDE=∠BD1E ，所以 ∠CDF=∠BD1E ，因此四边形 BD1FD 共圆，所以∠D1BD=∠DFD2 。

又根据对称性：∠DBE=1/2*∠D1BD ，∠CFD=1/2*∠DFD2 ，所以 ∠DBE=∠CFD ，因此四边形 AFDB 共圆，所以 ∠AFB=∠ADB=90° ，所以 ∠CDF=∠A ，又 ∠BDE=∠CDF ，所以 ∠BDE=∠A ，因此四边形 AEDC 共圆，所以 ∠AEC=∠ADC=90°，因此 E、F 为垂足，证毕！

11）计算这个最短距离：



根据 5）最短距离 L=2h*sinA ；已知 ΔABC 的边长为 a、b、c ；根据海伦公式可得 ΔABC 的面积 S ：S=[p(p-a)(p-b)(p-c)]^1/2 。

又 1/2*a*h=S ，可得：L=4S*sinA/a ；根据正弦定理：a/sinA=2R ，R 为外接圆半径；所以：L=2S/R 。

计算外接圆半径 R ：因为 S=1/2*ab*sinC ，根据正弦定理：c/sinC=2R ，可得：sinC=c/(2R) ，因此 S=abc/(4R) ，R=abc/(4S) 。

代入上式可得最短距离：L=8S^2/(abc) 。

04  非锐角三角形



1）不妨设 ∠A≥90° ；

2）在 BC 线段内，固定 D 点（可与 B、C 重合）；

3）让 E、F 两点分别在线段 AB、AC 上移动；

4）存在如下情况：

  4.1）E 和 F 都运动到 A 点：此时的三点距离和：L=2AD ；

  4.2）E 运动到 B 点，F 运动到 C 点：此时的三点距离和：L=2BC ；

  4.3）E 和 F 都运动到线段内，不与顶点重合：此时的三点距离和：L=DE+EF+DF ；

5）证明：AD＜BC 。∠ADB 与 ∠ADC 中必有一个角 ≥90° ，所以 AB 和 AC 中必有一边大于 AD ，又 BC＞AB ，BC＞AC ，所以 AD＜BC ，证毕。

6）证明：2AD＜DE+EF+DF 。



作 D 点关于 AB 对称点 D1 ，关于 AC 对称点 D2 ，∠D1AD2=2∠A ，所以 ∠D1AD2≥180°。

线段 D1D2 在 ΔABC 外部（∠A=90° 时，过 A 点），延长 D1A 与 D2F 交于 G 。

D1E+EF+FG＞D1G=D1A+AG ，AG+D2G＞AD2 ，两式相加：D1E+EF+FD2＞AD1+AD2=2AD ，即 2AD＜DE+EF+DF ，证毕。

7）综上可得：三点距离和最小值=2AD ；

8）当 AD⊥BC 时，AD 最小；

9）因此三点距离和最小值为高的 2 倍；

10）三条高里面，最长边上的高最小；

11）所以三点距离和最小值：L=2h=4S/a 。

05  结论



1）如果为锐角三角形：

    三点距离和的最小值为垂足三角形的周长，L=8S^2/(abc)；

2）如果为非锐角三角形：

    三点距离和的最小值为最长边上高的 2 倍，L=4S/a ，其中 a 为最长边的边长。

3）法尼阿诺信中的三角形必须是锐角三角形，否则，就不存在周长最小的内接三角形。

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