[通俗易懂] 用最简单的文字阐述数学的七大千禧难题

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[通俗易懂] 用最简单的文字阐述数学的七大千禧难题

原创 咸鱼不翻身呀 JIAFEIMAO 的摆烂日常 2024 年 08 月 18 日 08：39 贵州

引言

数学的七大千禧难题是由克雷数学研究所于 2000 年提出的七个重要的未解数学问题。每一个问题的解决都有可能极大推动数学及其他学科的发展。为了解决这些问题，克雷数学研究所为每个问题设立了 100 万美元的奖金。这些问题涵盖了数学的不同领域，包括理论计算机科学、几何、拓扑学、数论、物理学等。下面，我们来简单介绍这些难题，用最通俗的语言逐一解释每个问题。

1. NP 完全问题

1.1 背景：

在计算机科学中，我们遇到很多问题，它们的复杂性各不相同。为此，计算机科学家将这些问题分类。例如，P 类问题是指那些可以在多项式时间内解决的问题，也就是能够在合理的时间内被计算机高效解决的问题。常见的 P 类问题包括排序、查找等。

另一类问题是 NP 类问题，它们的特点是解的验证过程可以在多项式时间内完成。也就是说，虽然找到解可能很难，但一旦得到了一个解，验证它是否正确是很快的。NP类问题的典型特征是难以求解，但容易验证。

1.2 问题的定义：

“NP 完全问题”是 NP 类问题中最难的一类。如果一个 NP 完全问题能被在多项式时间内解决，那么所有 NP 类问题都可以在多项式时间内解决。NP 完全问题的核心问题是：P = NP 吗？

也就是说，是否所有可以快速验证解的NP类问题，也可以在多项式时间内快速找到解？

如果 P=NP 成立，那么我们目前认为的一些非常困难的问题（如密码学、图像识别、优化问题等）将变得可以高效解决。这对于计算机科学的各个领域将产生革命性的影响。然而，目前我们仍然不知道 P 是否等于 NP ，绝大多数科学家怀疑 P≠NP 。

可以换个角度思考，想象你在解一个复杂的拼图。找到拼图的正确组合可能非常困难（相当于求解问题），但如果有人给你看一个拼好的拼图，你可以很快判断它是否正确（相当于验证解）。P=NP 问题问的是：如果验证拼图正确性很快，那么是否找到正确拼图的过程也能同样快？

又或者，想象你在一个大型图书馆里寻找一本特定的书。找到这本书可能需要花费很长时间，但一旦你找到了，你可以通过书名快速确认这是不是你要找的书。P=NP 问题问的就是：如果验证书是否正确可以很快完成，是否找到书的过程也能像验证一样快？

1.3 SAT 问题：

SAT 问题（可满足性问题，Satisfiability Problem）是第一个被证明为 NP 完全的问题。SAT 问题的形式定义如下：给定一个布尔公式 ，它由一组布尔变量和逻辑运算（如 AND、OR、NOT）组成，问是否存在一组变量的赋值使得公式为真。这就是典型的可满足性问题。

例如，考虑下面的布尔公式：



我们的问题是：是否存在一种对布尔变量 A、B、C 的赋值，使得公式 φ 为真？在这个例子中，令 A=False、B=True、C=true ，可以满足这个公式，因此这个问题的答案是“真”。

SAT 问题之所以重要，是因为它是第一个被证明为 NP 完全的问题。这意味着，如果我们能够在多项式时间内解决 SAT 问题，那么所有 NP 类问题也可以在多项式时间内解决。

SAT 问题的特殊性在于，它是所有 NP 类问题的代表。如果我们找到一个能在多项式时间内解决 SAT 问题的算法，就意味着所有 NP 类问题都可以被快速解决。因此，SAT问题是 NP 完全问题的一个典型例子。

然而，目前尚无证据表明我们可以在多项式时间内解决 SAT 问题。相反，已有的解法通常需要尝试所有可能的赋值，这使得求解时间在变量数目较大时呈指数增长。

1.4 小结

所以，尽管我们知道很多 NP 类问题的解非常难找到，但至今仍没有严谨的证明表明这些问题的解一定无法在多项式时间内找到。这就是 P 与 NP 问题的核心挑战。假如 P=NP 成立，那么大量复杂的问题将变得易解；如果 P≠NP ，那么这些问题将保持复杂性，无法在合理时间内得到解决。这就是当前计算机科学中的一个重大未解之谜。

2. 霍奇猜想

2.1 背景：

霍奇猜想是数学中代数几何领域的一个核心问题。代数几何研究的是由多项式方程所定义的几何图形，而这些几何图形的内部结构和性质则通过一种叫做拓扑的数学分支来理解。拓扑学关心的是几何形状在连续变形下保持不变的性质，例如一个圆和一个椭圆在拓扑学上是“相同”的，因为它们可以通过拉伸或压缩互相变换，而不需要撕裂或粘合。

在代数几何中，几何对象（如曲线、曲面）通常由多项式方程来描述，而这些对象的拓扑性质（如它们的形状、孔洞的数量等）则通过代数拓扑来理解。霍奇猜想正是试图在这两个领域之间建立一种桥梁。

2.2 问题定义：

霍奇猜想的核心问题是：在代数几何中，有一种称为“霍奇类”（Hodge classes）的对象，它们是几何体中某些拓扑性质的代数表达。那么，霍奇猜想问的是：这些霍奇类是否都可以通过称为“代数周期”（algebraic cycles）的代数对象来表示？

更具体地说，霍奇猜想关注的是，在某些复杂的几何结构中，是否可以通过一些简单的代数方程来完全描述它们的拓扑特性。换句话说，霍奇猜想希望确认，几何对象的某些拓扑特征是否总能通过代数方程来表示。

又或者，可以这么思考，想象你正在尝试描述一个复杂的三维形状。这个形状可能有很多孔洞、弯曲和凹陷等复杂特征。霍奇猜想想知道，是否可以通过一些相对简单的代数方程来完全描述这个形状的所有关键特征。

举个例子，假设你有一个非常复杂的雕塑，它的表面有许多细致的花纹和结构。霍奇猜想就像是在问：是否可以用一个简单的数学公式来描述这个雕塑的所有细节？或者换句话说，这些复杂的几何形状的“精华”是否都可以通过简单的数学表达式来捕捉？是吧！

2.3 小结：

霍奇猜想的难点在于它的普遍性。虽然在许多特定情况下，霍奇猜想已经被证明是成立的，例如对于某些简单的几何对象（如代数曲线和代数曲面）或者某些特殊类型的代数多样体，已经成功地证明了这些几何对象的霍奇类确实可以由代数周期来表示。

具体来看，对于维度较低的代数多样体（如代数曲线和代数曲面），霍奇猜想已经被证明成立。这意味着对于这些低维几何体，它们的拓扑结构确实可以通过代数周期来完整表示。更进一步的研究表明，霍奇猜想在某些高维的特殊代数多样体（如 K3 曲面、Abel 簇）中也成立。

然而，当几何对象的维度和复杂性增加时，问题变得更加困难。对于更一般的代数多样体，霍奇猜想的正确性仍然没有被证明。

实际上，霍奇猜想是代数几何和拓扑学之间的一个桥梁，试图确认复杂几何形状的某些拓扑特征是否可以用简单的代数方程来描述。

3. 庞加莱猜想

3.1 背景：

庞加莱猜想属于拓扑学，研究的是形状和空间的基本性质。拓扑学中的一个重要问题是，如果一个三维空间没有洞，它是否可以通过不断拉伸和扭曲变成一个球形空间？

3.2 问题定义：

其核心问题是：在三维空间中，任何闭合的、无洞的空间都是三维球体吗？ 换句话说，如果一个三维形状的每一条闭合曲线都可以缩到一个点上，那么这个形状是否一定是一个球体？

你可以把庞加莱猜想想象成是在问：如果一个三维形状像一个橡皮筋一样没有洞，并且可以在不打破的情况下被拉成一个球，那么它最初就是一个球形吗？

3.3 说明：

尽管这一猜想在四维及以上维度上早已被解决，三维的情况直到 2003 年才由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman）证明。这是目前七大难题中唯一被解决的问题，至于证明的大致思路，这里进行简单的解释：

再简单重复一遍基本问题：“如果一个三维形状没有边界并且任何闭合的环都能缩成一点，那么它一定是一个三维球体吗？”想象拿着一个橡皮筋，套在不同形状的表面上。如果你把橡皮筋放在一个球面上，不论它绕着球表面如何弯曲，你总是可以通过不断收紧橡皮筋，使它最终缩成一个点。三维庞加莱猜想问的是：如果这种缩小橡皮筋的行为在某个三维形状上总是可以做到，那个形状就一定是个球吗？

在二维空间中（如平面或球面），这个问题已经很容易理解并且被解决了：是的，如果一个二维形状没有洞且橡皮筋总能缩成一点，那么这个形状必定是一个球面。然而，在三维空间中，这个问题变得复杂得多。

佩雷尔曼的突破性工作依赖于一种叫做 Ricci 流的方法。Ricci 流的作用类似于一个加热过程，类似一块形状复杂的黏土，随着你给它“加热”，它会逐渐变得平滑，就像一个打结的面团慢慢拉直、变圆。

佩雷尔曼通过研究这个加热过程，发现无论开始时形状多么复杂，经过这种流动和“加热”，最终所有的复杂部分都可以被整理出来。关键是，他找到了如何处理在这个流动过程中出现的那些特别复杂的部分（称为奇点）。这些奇点就像面团里的硬块，通常很难处理，但聪明人总有办法，把这些硬块有效地“软化”或“移除”。

最终，他就证明了：如果一个三维形状满足庞加莱猜想的条件——即它没有边界且任何环都可以缩成一点，那么通过 Ricci 流的加热过程，这个形状最终会变成一个标准的三维球体。换句话说，任何符合这些条件的三维形状必定是球体，从而解决了庞加莱猜想。

4. 黎曼猜想

4.1 背景：

黎曼猜想与素数的分布有关。素数是那些只能被1和自己整除的数字，黎曼猜想试图理解这些素数的分布规律。它与复变函数——特别是黎曼ζ函数——的零点有关。

4.2 问题定义：

其核心问题是：黎曼 ζ 函数的所有非平凡零点是否都位于复平面上实部为 1/2 的直线上？ 这一猜想的成立与否会极大影响我们对素数分布的理解。

可以理解为一个非常高精度的预测素数分布的公式。假设黎曼猜想成立，我们将对素数在数字中的分布有极为深入的了解；如果不成立，素数的分布可能比我们想象的更加复杂。

4.3 说明：

黎曼猜想提出已经超过 150 年，但至今仍未被证明或反驳。

5. 杨-米尔斯存在性和质量缺口

5.1 背景：

杨-米尔斯理论源自物理学，是对粒子物理学中标准模型的数学描述。这个理论试图解释基本粒子的相互作用。量子场论是杨-米尔斯理论的基础，然而，这一理论的数学严谨性仍然存在疑问。

5.2 问题定义：

杨-米尔斯存在性和质量缺口的核心问题是：杨-米尔斯理论中是否存在质量缺口？ 也就是说，是否可以证明这一理论中所有的粒子都具有质量缺口（即粒子都具有质量，并且不存在“质量为零”的粒子）？

在物理学中，质量缺口意味着粒子不会突然变成质量为零的状态。杨-米尔斯理论的数学严格性和物理一致性是当前物理学中面临的一个重要问题。

5.3 说明：

尽管通过实验已经确认了杨-米尔斯理论的有效性，但目前还没有严格的数学证明来解释质量缺口的存在。

6. 纳维-斯托克斯方程

6.1 背景：

Navier-Stokes Equations 是描述流体（如水、空气等）运动的基本方程，是由 Claude-Louis Navier 和 George Gabriel Stokes 分别在 19 世纪建立的，方程结合了牛顿第二定律（力等于质量乘以加速度）和流体力学的基础定律。

6.2 方程定义：

纳维-斯托克斯方程的基本形式是描述流体在时间和空间中如何运动的偏微分方程组。对于不可压缩流体（即流体的密度在流动过程中保持不变），在三维空间中的纳维-斯托克斯方程可以写为：



6.3 问题定义：

纳维-斯托克斯方程的核心问题可以归结为一个数学上的挑战：在三维空间中，是否总是存在光滑的解？ 这意味着，我们希望知道：无论流体的初始状态或所受的外力如何，纳维-斯托克斯方程的解是否总是存在且光滑，即没有突然的奇异性或不连续性。

更具体地说，流体的运动可能会在某些情况下变得非常复杂，形成如漩涡、湍流等现象。在这些情况下，解是否可能“爆发”出无穷大的速度或压力值？如果发生这种情况，解就不再光滑，也不再适用于预测流体的行为。

其实，可以将这个问题与现实中的水流进行比较。想象一下你正在观察一条平静的小河，水流缓慢而有序。在这种情况下，你可以轻松预测水的流动方式。但是，如果你在观察一条湍急的河流，水流突然变得非常混乱，形成了许多漩涡和波浪，你可能会发现很难预测水流的方向或速度。

纳维-斯托克斯方程试图精确描述这两种情况的水流。问题在于，当流体变得非常混乱时（比如形成强烈的漩涡或湍流），方程的解是否仍然有效？换句话说，是否可能存在某种情况，使得方程的解变得非常不稳定或“爆炸”，从而无法继续描述流体的行为？

6.4 小结：

尽管在许多实际情况下，Navier-Stokes Equations 已经被成功应用，并且可以很好地描述流体的行为，但在某些极端条件下，解的存在性和光滑性仍然是一个未解的问题。到目前为止，还没有人能够证明，在所有情况下，纳维-斯托克斯方程的解是否总是存在并且光滑。这就是为什么这个问题被列为克雷数学研究所提出的“千禧年问题”之一，解决这个问题的人将获得百万美元的奖励。

解决这一问题不仅对数学理论有重大意义，还将极大地推动工程、物理、气象等领域的发展，因为这将帮助我们更好地理解和预测复杂的流体现象。

7. BSD 猜想（Birch 和 Swinnerton-Dyer 猜想）

7.1 背景：

BSD 猜想与数论中的椭圆曲线有关。椭圆曲线是一个特定的代数方程，它在许多数学和加密学中起到了关键作用。BSD 猜想涉及到一个名为“椭圆曲线的有理点”的问题。

7.2 问题定义：

其问题是：椭圆曲线的有理点的数量与它的 L 函数的零点在 1 处的行为有关联吗？ 这一猜想尝试通过 L 函数的分析性质来描述椭圆曲线上的有理点的分布。

你可以把 BSD 猜想想象成是在问：椭圆曲线的某种特定行为（L 函数的零点）是否能够告诉我们它有多少“特殊点”（有理点）？

7.3 说明：

尽管 BSD 猜想在某些情况下得到了部分验证，但在广泛的一般性情况下，它仍未被证明或反驳。

咸鱼不翻身呀