黄金时代的群山之巅

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黄金时代的群山之巅

原创 蔡驰南 蔡爸谈数学 2024 年 08 月 22 日 12:33 浙江

19 世纪是数学的黄金时代，这一百年里新增的数学成果超过了之前所有时代的总和。

如果将这个时代的数学家比作群山，那群山之巅无疑要数卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss，1777年4月30日—1855年2月23日），一位基本靠自学成才的天选之子。自他之后，数学的中心开始由法国向德国倾斜。



可以说数学上的惊人之举贯穿了他的一生。

高斯出生于德国布伦瑞克的一个贫寒之家，他对数字很敏锐，仅仅通过自己的观察就学会了计算，三岁时已能纠正父亲账目上的错误。


德国布伦瑞克

高斯 10 岁时，老师在课堂上出了一道题，让学生计算从 1 加到 100 ，还没等老师坐下，小高斯就心算出了答案。在没有任何人指导过的情况下，他自己摸索出了等差数列快速求和的方法。

从此，他的老师比特纳和助手巴特尔斯意识到了这个孩子天赋异禀，很快就让布伦瑞克-吕讷堡公爵（卡尔·威廉·斐迪南，布伦瑞克-吕讷堡公爵，布伦瑞克-沃尔芬比特尔-贝芬亲王，Charles II William Ferdinand, Duke of Brunswick-Lüneburg, Prince of Brunswick-Wolfenbuettel-Bevern）注意到了高斯的才能。


布伦瑞克-吕讷堡公爵

这位具备学识教养且仁厚开明的公爵见了高斯，十分欣赏，从此开始资助高斯。高斯顺利完成了在本地卡罗琳学院的学习后，被哥廷根大学录取（1795 年）。

然而进了大学的高斯困惑于，自己究竟是学习语言还是学习数学。


哥廷根大学

距他 19 岁生日还有一个月时（1796 年 3 月 30 日），高斯终于不再迷茫。他在那一天解决了一道困扰数学家近两千年的难题：用尺规画出正十七边形，并证明了用尺规能还画出哪些正多边形。



从此，高斯选择了数学，这是人类之幸。

之后他开始记日记，以纪念这次重大发现，而他的日记一直持续了 18 年。仅仅这一年（1796年），他的数学日记（Mathematisches Tagebuch）里就有许多惊人的发现：

3 月 30 日，构造正 17 边形的方法；

4 月 8 日，二次互反律的第一个证明；

5 月 13 日，猜测素数分布的规律即素数定理；

7 月 10 日，提出任何自然数是最多三个三角形数的和，“ΕΥΡΗΚΑ！num =Δ+Δ+Δ”。

还在读大学的高斯开始撰写数论著作。

在 21 岁时（1798 年）他完成了巨著《算数研究》。这一年，高斯博士毕业，再次回到了家乡布伦瑞克。

在公爵的资助下，3 年后（1801 年）该书出版。



在书中，高斯建立了同余的概念和符号；对 18 世纪数论成就进行了回顾；提出了“黄金定理”二次互反律的证明（两年前勒让德的证明存在漏洞）；他在全书最后，讨论了分圆多项式和尺规作图问题，原来当年的几何难题归根结底是一个数论问题。

拉格朗日看后，写信给年轻的高斯说：“你的《算数研究》一书，已使你跻身于第一流数学家之列了。”然而，这本书真正受到重视，已是二十余年之后。
回到家乡，没有找到教职工作的高斯，不愿一直接受公爵的资助。于是放弃了纯数学研究，选择成为专业的天文学家。



最早让高斯声名大振的是天文学，而非数论。

1801 年，天文学家（皮亚齐）发现了新的小行星谷神星，但是几周之后，这个小天体被跟丢了。高斯借助最小二乘法，设计了“高斯法”，仅凭三次观测，就计算出了星体的椭圆轨道（现在仍然用于最终未卫星）。天文学家按高斯的预测去寻找，果然再次发现了谷神星。



24 岁的高斯一战成名，俄国获悉后，曾一度想邀请高斯去圣彼得堡接替去世的欧拉。

德国意识到了高斯的重要性，在各方人士努力之下，哥廷根新建了一座天文台，邀请高斯担任天文台台长（1807年）。高斯在那里出版了《天体运动论》。


哥廷根天文台

大约 15 年之后，他开始负责汉诺威全境的勘测，历经多年，他不但完成这项艰巨的任务，还凭借非凡的智慧洞悉了球面几何的本质，并创造性地提出了高斯曲率，一个影响到广义相对论和宇宙形状的数学概念，高斯称之为“绝妙定理”。



他因此出版了著作《曲面的一般研究》（1827 年），标志着新的数学分支——微分几何的创立。



高斯在辞去天文台的工作后，又投身电磁学的研究。他与韦伯合作，创造了世界上第一个电话电报系统（1833）和第一张地球磁场图（1840）。


高斯与韦伯

高斯不经意间的一个发现，可能就为后世研究的出发点。

他将复数以复平面上点的形式进行呈现，这种可视化让虚数开始被普遍接受，现在的复平面也被称为高斯平面。



他在处理了足够多的天文数据后，得到了具有概率性质的测量结果，提出了正态分布（高斯分布），这也是概率论中最常见的一种分布。



高斯是一位完美主义者，如他自己一直信奉的格言“少而精”，未经过深思熟虑，从不轻易示人。正因如此，他有很多重要的发现，一生都未发表。

笔记显示，他对非欧几何和椭圆函数论都有深刻认识。



19 世纪上半叶，高斯未发表的内容，成为悬在数学界头顶上的“达摩克里斯之剑”。数学家们深怕自己毕生研究的成果，高斯在几十年前就已经得到了结论。

高斯是一位生在黄金时代的天才，他的成就涉及数学的各个方面，甚至还开辟出了很多新的分支，深刻影响了人类上百年的历史。

身处群山之巅的高斯却谦虚地说道：“假如别人和我一样深刻而持续地思考数学真理，他们也会作出同样的发现。”

数学王子高斯这样的精彩故事，在北京大学出版社的《数学史》一书中，都有完好记载。该书以数学主题和人物为章节，确保了可读性与专业性的统一，初版至今超过五十年，根据数学的发展几经修订，装帧精美，是一部值得收藏的经典之作。

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