对称性在积分中的应用

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对称性在积分中的应用

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 08 月 11 日 07:30 陕西

有些对称性在积分中很容易应用，比方说奇偶函数的应用，有些则不容易看出来，比方说下面这个名字巨长的积分——欧拉对数正弦积分。



几乎很难看出这个积分的答案为 0 ，今天这期，我们尝试求解这个问题，为了方便，我们把这个积分记作大写的 I 。



如果我们能证明 I 满足方程 I = 2I 。则可以推导出这个积分的值为 0 ，要做到这一点并不容易，需要你对 sin(x) 、cos(x) 和 log(x) 的行为了解得很深。比方说下面这个三角恒等式。







上面两张函数的图像可能足以让你相信这个等式。你也可以画一个直角三角形来证明这一点，如下图所示。



另一个重要的三角恒等式——二倍角公式是：

             sin(2x) = 2cos(x)sin(x)

接着我们还可以看一下 sin(x) 是如何对称的：



这种对称性导致的一个的结果就是：



如果你不放心，再看一下 log(sin(x)) 的图像就好了。



对数函数的一个关键性质是：



这将非常有用，因为它可以与二倍角公式相结合：



准备了上面的基础知识，我们回到原问题求解欧拉对数正弦积分：



首先我们做一个变量替换：



这给出了一个关于 (π/2-u) 的新积分。接下来，利用我们刚才提到的 sin 和 cos 之间的关系：



到目前为止一切顺利。但我们想计算 I + I 。



这里的难点在于一个积分是关于 u 的，另一个是关于 x 的。接下来的操作可能会让人感觉有点不舒服，但关键是要意识到 x 和 u 是“虚拟变量/哑变量”。它们代表某种东西，在本例中是图形下的区域，所以使用哪个变量名并不重要。所以我们将 du 和 u 改为 dx 和 x 。

接着根据对数的运算规则和 2 倍角公式：



我们快完成了！再做一次变量替换替换



但是，我们还记得 sin(v)是关于 π/2 对称。这意味着以下结论成立：



最终得到：



与我们原始表达式的唯一区别是“虚拟变量”不同。像以前一样，我们可以将 v 改回 x ，将 dv 改回 dx ：



我们完成了！

很明显这种方法又是叫欧拉的人发明的，正因为欧拉对于对称性的敏锐观察，才使得我们有机会处理这类积分，数学中有一类经典的笑话，注意力涣散的人没法学习数学，所有的一切只需注意到，就可以解决，我不知道你怎样看欧拉，但在我心中他绝对是注意力集中的代表，也正因为如此他才可以征服这个正弦积分，也真诚地希望你们能够注意力集中，解决这些对称性问题。好了我们下期见。



围城里的猫