柯尔莫哥洛夫的公理化概率论

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柯尔莫哥洛夫的公理化概率论

原创 尚大海 尚万只老虎 2024-04-19 13:09 广东



苏联数学家安德烈·柯尔莫哥洛夫（Andrei Kolmogorov，1903-1987）开创了现代数学的一系列重要分支。他是现代概率论的开拓者之一，建立了在测度论基础上的概率论公理化系统，发展了马尔可夫过程的理论，奠定了近代概率论和随机过程论的基础；在动力系统中开创了关于哈密顿系统的微扰理论与K系统遍历理论；在信息论方面开创了研究函数特性的信息论方法和信息算法理论；在拓扑学中引入了上边缘算子的概念；在关于湍流内部结构的研究中，提出占主导地位的统计理论。此外，他在三角级数收敛性、测度论、积分概念推广和集合上的一般算子理论等诸多方面都取得了重要成果。

对柯尔莫哥洛夫而言，不存在任何权威，只存在真理。他简直就是天才创造者，不断迸发出新思想，其最为人称道的是对概率论公理化所作出的贡献，这项工作让他有了“概率论中的欧几里得”的美誉，他也为此感到骄傲：

“概率论作为数学学科，可以而且应该从公理开始建设，和几何、代数的路一样。”


青年时代的柯尔莫哥洛夫

测度论的诞生给概率论的公理化带来了勃勃生机，度量函数论的观念导致概率论公理化系统的形成。在伯恩斯坦和其他数学家的研究基础上，柯尔莫哥洛夫自 20 世纪 20 年代中期开始研穷概率论公理化系统。1929 年他在论文 “—般测度论和概率论的计算” (General measure theory and calculation of probabilities) 中精确地叙述了概率论的公理化方法，但因以俄文发表而没有引起国外数学界的很大反响。1933 年柯尔莫哥洛夫将文章扩展成书，并以德文出版了 《概率论基础》（Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung），这是概率论划时代的宏著，也是前辈们思想的集大成者，为概率论的后续发展提供源头活水，成为许多数学家的入门圣经和工作的标准参考。

柯尔莫哥洛夫所提出的概率论公理化体系，主要根植于集合论、测度论与实变函数论。勒贝格（H. Lebesue, 1875～1941）为发展积分理论而使得直线上的集合也有“长度”，即满足可列可加性的测度。而柯尔莫哥洛夫认为概率是对“事件集”的一种量度，将概率看做抽象的事件空间中事件集上的可列可加测度。他运用娴熟的实变函数理论，建立了集合测度与事件概率的类比、积分与数学期望的类比、函数的正交性与随机变量独立性的类比等，这种广泛的类比赋予概率论以演绎数学的特征，许多在直线上的积分定理都可移植到概率空间。部分对应关系如下：



概率论与一般测度论相比具有若干特征：概率值非负且不大于 1（非负性），必然事件 U 具有最大概率值 1（规范性），而不可能事件的概率为 0 。从形式观点来看，全部概率数学理论可以构成以“整个空间 U 的测度为 1 ”这一假定特殊化了的测度论，即归一化测度论。

柯尔莫哥洛夫以 5 条公理为基础，构建出整个概率论理论体系。

（1） 概率论的基点是概率空间 ( Ω , A , P ) ，Ω 是由基本事件 ω 组成的集合，A 是 Ω 中集合的 σ 代数，P 是对所有可测事件 A 定义的概率测度。

（2） ( Ω , A , P ) 上的随机变量对应于现实世界观测的函数。假设 { x(t,·) , t∈I } 是概率空间上的随机过程，状态空间为 Ω' 过程的 n 个随机变量的集合，其上有一个 Ω'n 上的概率分布。且若 1＜m＜n ，有 x(t1 ,·),…,x(tm ,·) 在 Ω'm 上的联合分布，该分布是由 x(t1,·),…,x(tn,·) 在 Ω'n 上的 n 维分布所导出的 m 维分布。

（3） 给定任意指标集 I 、适度受限制的可测空间 (Ω', A') ，以及对所有正整数 n≥1 ，以 I 的有限子集为指标，给定 Ω'n 上的一个相容分布集，一定存在概率空间及定义在其上的以 Ω' 为状态空间的随机过程，具有所指定的联合随机变量分布。

（4） 可积的数值随机变量的期望就是其对给定的概率测度积分。

（5） 对有严格正概率的事件 B ，事件（可测集）A 的条件概率是 P(AB)/P(B) 。由此，对于固定 B 可得到新概率，还可用这些新条件概率来计算随机变量关于给定 B 的条件期望。更一般的，给定任意一族随机变量，关于其给定值的条件概率与期望，必然是满足这些条件随机变量的值函数。

简言之，概率空间需要规定：随机事件取自于怎样的空间；如何分配不同随机事件的发生概率，即定义概率测度。如探讨赌博问题，随机事件就是赌博可能的一切结果；而天气问题，随机事件就是可能出现的天气状况。故对不同的问题，“概率空间”是不一样的。同时，要预先给定一个概率测度来刻画所讨论的问题，就是预先给定随机事件发生的可能性。如赌博问题，庄家只有两种结果：输和赢。也许在中国澳门的赌局中，输赢的概率分别都是 1/2 ，在拉斯维加斯的赌局中，输赢的概率则是 2/3 和 1/3 。因而可以说，中国澳门和拉斯维加斯所指定的概率测度是不一样的。

公理化概率论犹如在几何学中对点的定义，即把点作为一个实在的物体经过四面八方无数次切削（每次切削均使得直径缩小一半）最后所剩余的东西。在柯尔莫哥洛夫公理化体系中，随机变量是定义在基本事件集合上的可测函数，随机变量的运算法则成为可测函数规则的自然推论。同时在邻近数学领域的问题中，概率方法不仅可以 “触类旁通”式的加以袭用，而且可以形式完整地移植于新领域。

以数学美的标准来评价，柯尔莫哥洛夫的概率论公理化体系充分显示了数学的简洁美与统一美，不仅给出无限随机试验序列和一般随机过程的逻辑基础，而且也为应用于统计学提供了很大方便。

柯尔莫哥洛夫的公理化体系逐渐获得数学家的认可。日本数学家，“现代随机分析之父”伊藤清 （Ito Kiyosi）写道：

“读了柯尔莫哥洛夫的《概率论的基本概念》后，我坚信概率论可以用测度论的语言，像其他数学领域一样严格地发展开来。”

Kac 追忆他的数学生涯以及与雨果·斯坦因豪斯（Hugo Steinhaus）的合作时写道：

“我们投身概率论研究时，它刚刚从一个世纪的被忽视中兴起，并逐渐被人们接受为纯数学的一个受人尊敬的分支。之所以出现这种转变，是因为伟大的苏联数学家柯尔莫哥洛夫在 1933 年出版了奠定概率论基础的书。”



亚历山德罗夫和辛钦撰写的献给柯尔莫哥洛夫 50 岁生辰的文章中，评价了他的工作：“在过去几十年里，人们很难找到可以比肩柯尔莫哥洛夫这项研究的工作，其对科学及其应用的进一步发展产生了根本意义。它开启的概率论的一个广博分支现已发展起来：即随机过程，它在研究和应用规模上已能与概率论分庭抗礼。柯尔莫哥洛夫的微分方程将马尔可夫过程纳为特殊情形，且数学上是完全严格的。之前物理学家在各种场景推导和使用的所有这些方程（Smoluchowski 方程，Chapman 方程，Fokker-Planck 方程等）都缺乏严格的证明；柯尔莫哥洛夫提供了充分性的判据并阐明了使用条件。柯尔莫哥洛夫方程吸引了世界范围内理论家的广泛研究。该方程对理论的进一步发展和各种各样应用问题的数学发展至关重要。”

除了辉煌的数学成就之外，柯尔莫哥洛夫还是一名优秀的教育家，培养了大批年轻数学家。他认为教师应该：

（1）讲课高明，能用科学领域的实例来吸引学生。

（2）思路清晰，以深入浅出的解释和渊博的知识来启发学生。

（3）对症下药，清楚了解不同学生的不同能力，适当安排学习强度，以增强学生的学习信心。


柯尔莫哥洛夫与他创办的学校学生一起

在长达半个多世纪的学术生涯中，柯尔莫哥洛夫不断提出新问题、构建新思想、创造新方法，在世界数学舞台上保持着历久不衰的生命力，这部分得益于他健康的体魄。

他酷爱体育锻炼，被人称作"户外数学家"。他和同为数学家的至交好友亚历山德罗夫（Alexandrov, 1896-1982）每周有四天时间在科马洛夫卡度过（另外三天则住在城里的学校公寓里）。其中有一整天是体育锻炼的时间：滑雪、划船、徒步行走（平均路程长达 30 公里）。在晴朗的三月天，他们常常穿着滑雪鞋和短裤，连续四小时在外锻炼。平日里，早晨的锻炼是不间断的，冬天还要再跑 10 公里。当河冰融化的时候，他们还喜欢下水游泳。在柯尔莫哥洛夫 70 岁生日庆祝会期间，组织了一次滑雪旅行，柯尔莫哥洛夫穿着短裤，光着膀子，老当益壮，把别的参加者都甩在了后面！



他的许多奇妙而关键的思想往往是在林间漫步、湖中畅游、山坡滑雪的时候诞生的。1962 年访问印度时，他甚至建议印度所有的大学和研究所都建在海岸线上，以便师生在讨论数学前可以先游泳。

晚年，柯尔莫哥洛夫提出研究确定性现象的复杂性和偶然性现象的统计确定性的宏伟目标，其基本思想是：有序王国和偶然性王国之间事实上并没有一条真正边界，数学世界原则上是一个不可分割的整体。

像其他公理化的数学分支一样，概率论一旦完成公理化，就允许各种具体的解释。概率论的公理化将概率论从频率解释抽象出来，同时又从形式系统再回到现实世界。在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。

当然，概率论公理化体系的构造并没有解决所有原则问题。关于随机性本质这个基本问题仍未解决。随机性与确定性的界限在何处，是否存在？这个哲学性的问题始终值得关注。柯尔莫哥洛夫为此付出了许多努力，试图从复杂性、信息和其他概念等方面来解决这个问题。

另外，并不是所有数学家都认可柯尔莫哥洛夫的概率论公理化体系，现今对于“概率的含义到底是什么”仍然是一个存在争论的焦点。

事实上，柯尔莫哥洛夫的高度抽象理论体系，并没有给出其概率测度与具体随机过程间关系的线索，仍然需要人们通过观测和测量来理解这些问题。也就是说，它只是告诉我们如何应用概率论，但未告诉我们如何获取更多的概率信息。

由于柯尔莫哥洛夫关于概率论的数学阐述与现实世界的关系并不明显，只要概率论公理能够成立，就可引用这些公理得出推论，即使所研究的事物与随机性并没有明显的联系。这就导致两种完全对立的概率论并存于世：一是完全不管“可能性”的公理化概率论；二是研究事件发生可能性大小的概率论。


柯尔莫哥洛夫对绘画、音乐、雕塑、建筑等艺术有浓厚兴趣

柯尔莫哥洛夫于 1987 年去世，享年 84 岁。他一生经历过俄国革命、两次世界大战和冷战，而在学术上他几乎触及了数学的一切。他在描述并应用“不可能”的成功，使概率论真正成为“可能”，由此为无数科学与工程应用开辟了新的天地。

对于柯尔莫哥洛夫来说，他的思想既没有消除不确定性，也没有肯定我们世界根本上的不确定。他只是提供了一套严谨的语言来讨论那些无法确定的事情。他曾经说过，“绝对随机”并不比“绝对必然”更有意义，我们无法对不可知的事物获得确切的认知。

但要感谢安德烈·柯尔莫哥洛夫，我们可解释自己何时以及因何不知道。



主要参考资料：徐传胜《从博弈问题到方法论学科——概率论发展史研究》，做了一些修改和补充，并添加图片，供学习和参考。

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