数学家柯西：那个“拯救”了微积分的男人

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数学家柯西：那个“拯救”了微积分的男人

原创 关注全球科研的 Chaspark 茶思屋 2024-05-23 19:45 北京

1857 年 5 月 23 日，数学家柯西（Augustin-Louis Cauchy）因支气管疾病于法国索镇去世，享年 67 岁。临终之际，他留下了一句遗言：“人总是要死的，但他们的业绩永存。” （Men pass away but their deeds abide. ）

作为刻在埃菲尔铁塔上的 72 个名字之一，这位伟大的数学家走过了跌宕起伏的一生，留下了 27 卷柯西全集、800 多篇著作，以及柯西不等式、柯西函数方程、柯西极限存在准则、柯西中值定理等几十个以他名字命名的公式和定理。尤其是他在数学分析、微积分理论和复变函数等方面做出的贡献，对于现代数学的发展具有深远的影响。



大革命阴影下的童年

柯西出生于 1789 年。也是那一年，轰轰烈烈的法国大革命爆发了。他在巴黎警察局担任要职的父亲 Louis Francois Cauchy ，因其上司被送上断头台，出于恐惧而选择带着家人逃往乡下。


1789 年 7 月 14 日，攻占巴士底狱

家庭遭受巨大变故，柯西从小只能在家里学习，由他的父亲教他拉丁语、文学和科学。直到 1800 年，父亲重新被新政权任命，柯西才结束了颠沛流离的生活，并于 1802 年进入当时巴黎最好的中学——先贤祠中央学校学习。

1805 年，柯西以第二名的佳绩考入巴黎综合理工学院。此时，法国正值拿破仑执政，巴黎云集了一大批学者、教授。柯西的老师不乏拉克鲁瓦（Sylvestre-Francois Lacroix）、阿歇特（Jean-Nicolas-Pierre Hachette）、安培（André-Marie Ampère）这样的大数学家，为他在几何、微积分、力学方面打下了坚实的基础。

虽然柯西从小就对数学感兴趣，但是作为家中长子的他，更需要一份稳定的工作，所以他立志想当工程师。

斜杠工程师破解费马多边形数定理

1810 年，从桥梁与道路学校毕业的柯西被派往瑟堡军港，为拿破仑修建面向英格兰的军事基地。业余时间便用来钻研数学，并熟读了拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的《解析函数论》和拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）的《天体力学》等著作。值得一提的是，这两位声名斐然的数学家也是柯西的“伯乐”，一直引导着他的数学之路。


拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，左图）、拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）从小就发现了柯西的数学天赋

一年后，柯西向法兰西学院提交了第一篇关于正多面体的论文。第二年，又接着向巴黎综合理工学院投稿了《论多边形和多面体》。这让他在法国数学界开始小有名气，并被巴黎哲学学会（SPP）吸收为会员。

1813 年，由于拿破仑在战场上的接连失利，瑟堡军港的工程逐渐停滞。在工程师岗上积劳成疾的柯西也打算转行了。数学是他唯一且必须的归属。

同年，柯西证明了费马多边形数定理的一般情况，获得了法国科学院数学大奖，引发轰动。

该定理指出，每一个正整数可以表示为最多 n 个 n 边形数之和。也就是说，每一个正整数都可以表示为不超过 3 个三角形数之和、不超过 4 个的平方数之和、不超过 5 个的五边形数之和，依此类推。

例如，数字 17 可以有以下表示：

17=10+6+1（三角形数）

17=16+1（平方数）

17=12+5（五边形数）


三角形数


四边形数（平方数）


五边形数

1638 年，法国数学家费马（Pierre de Fermat）在未完成证明的情况下提出了该定理。拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在 1770 年证明了它的平方数情况，高斯（Carl Friedrich Gauss）又在 1796 年证明了三角形数的情况。直到 1813 年，柯西一锤定音，给出了完整证明。

1816 年，柯西又以波传播理论获得法国科学院大奖，年仅 27 岁就荣膺科学院院士席位。

“顺手拈来”柯西不等式

1817 年至 1821 年，柯西开始将更多的精力转移教学工作上，先后在巴黎综合理工学院、法兰西学院教授分析学和力学。此间，他与 Aloise de Bure 结婚，分别于 1819 年和 1823 年迎来了两个女儿。

柯西于 1821 年出版著作《代数分析教程》，其中在进行“流数”问题的研究中，以书末注记的方式给出了柯西不等式的简单形式，即二维代数形式，以及特殊情况的证明。



接着，乌克兰数学家布尼亚科夫斯基（Viktor Yakovlerich Bunyakovsky）在 1859 年的论文中，给出了柯西不等式的积分形式。1888 年，德国数学家施瓦茨（Karl Herman Amandus Schwarz）则进一步给出了柯西不等式积分形式的严格证明。



柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，对高等数学提升与研究有着非常重要的地位。它是一个在众多背景下都有应用的不等式，例如线性代数，数学分析，概率论，向量代数以及其他许多领域。

向微积分出手，拯救第二次数学危机

在牛顿（Isaac Newton）与莱布尼兹（Gottfried Leibniz）发明微积分的通用方法后，许多数学家采用这种方法解决了多领域的数学难题，大大加强了学界对微积分的信心。


牛顿（Isaac Newton ，左图）与莱布尼兹（Gottfried Leibniz）被认为相互独立地发明了微积分学

但随着微积分的大范围应用，其基础问题也越来越严重。牛顿（Isaac Newton）与莱布尼兹（Gottfried Leibniz）在发展微积分学时使用的无穷小量是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。

柯西意识到，分析的核心问题在于极限的概念。1821 年，柯西提出了极限定义：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，就称该值为所有其他值的极限。”

在极限定义的基础之上，柯西又建立了对无穷小量、无穷大量、连续、导数、微分、积分等概念的严格定义。比如“无穷小量是以零为极限的变量”，由此就把无穷小量纳入了函数的范畴，解决了困扰数学家 2000 多年的问题。通过对“无穷小”概念的严格定义，使微积分有了坚实的基础。同时，他还坚持在计算积分前，首先要证明连续函数的积分是存在的，让分析从依赖直观转变为严格化产物。


柯西的微积分原理分析

虽然柯西的分析仍有缺陷，不过经过德国数学家魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）的改进，发展成为柯西极限存在准则。可以说，柯西对微积分分析的贡献是决定性的，让微积分学得以继续发展壮大，从数学扩展到科学、商学和工程学领域应用。

流亡与回归：数学大师的陨落

1830 年 7 月，法国爆发七月革命，查理十世逃亡，巴黎陷入骚乱。柯西因为他的保守立场和教权主义，和当年父亲一样选择了逃离，度过了 8 年流亡生涯。


《自由领导人民》是法国浪漫主义画家 Eugène Delacroix 为纪念 1830 年法国七月革命的作品

1838 年底，柯西返回巴黎，却很难再获得教职。直到 1849 年，才被恢复为法国科学院的数学、天文学教授职位。虽然在流亡过程中，他也坚持发表论文，但是难以再续 1830 年之前辉煌。

回溯柯西的一生，伴随着 18 世纪末 19 世纪初法国政局的动荡起起伏伏。虽然年少时就已声名鹊起，但中年阶段又经历背井离乡，动荡的生活、时代的厄运限制了他的才华发展。我们为他惋惜的同时，也铭记他在数学、物理方面的贡献。他以无与伦比的创造力，“拯救”了微积分，让现代数学继续发扬光大。

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