原来，e 和 π 还有这种关系，它们还有一个不为人知的特殊身份！

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原来，e 和 π 还有这种关系，它们还有一个不为人知的特殊身份！

原创 Masir123 科学羊 2024-01-10 07:35 广东

大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 2 季第 6 篇。

今天我们来聊聊方程，

方程是什么？

你可能第一时间想到的就是一大堆公式然后用大括号括起来，比如我们中学学的二元一次方程组，求解等等。

那时候就觉得求个解已经很复杂了！

后来大学之后慢慢才领悟到，原来方程就是一个工具！是一个能把原来自然语言描绘成数学问题的工具。

而中学时代就只是死记硬背，一点都没考虑到数学底层的问题，所以这里我也忽悠我们千万不要太依赖课本，要走出来看看这个概念本身的含义，等你领悟了，真的会有不一样的成绩。



当然，解方程的目的就是求解未知变量！比如经典的鸡兔同笼问题。

在一个装有鸡兔的笼子中，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚，请问鸡和兔子各有几只？

如果没有方程的话，你手指头算一天都不会有一个正确答案！

而有了方程之后。



就变得迎刃而解！

当然，方程是有了，但后来随着科技的发展，我们又发现了很多无法用方程一次能解决的问题。这时候就出现了一元二次甚至一元三次方程等。不过对于一元三次方程在数学史上还有一段著名的公案，我们以后再讲。

回到方程，本篇我们先进阶到要给高度，我们不得不提到一般五次方程，如



而最后解决这个问题的人就是今天的主角——法国数学家夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）

01 夏尔·埃尔米特的数学功绩

法国数学家夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）的主要数学功绩包括：

1. 埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）：这是一类在概率论、物理学和数值分析中广泛应用的多项式。它们在量子力学和热力学中尤为重要，特别是在描述谐振子的解中。

2. 埃尔米特不等式（Hermite's Inequality）：这是一种数学不等式，与概率论和统计学中的一些问题相关。

3. 超越数的研究：埃尔米特证明了e（自然对数的底数）是一个超越数，即它不是任何有理数系数多项式的根。这是超越数理论的一个重要里程碑。

4. 埃尔米特矩阵（Hermite Matrix）：这是一类特殊的复矩阵，其共轭转置等于其本身。

5. 代数数论的贡献：他在代数数论方面也有重要贡献，特别是在关于数域的自守函数和椭圆函数方面。

埃尔米特的工作对数学的许多领域产生了深远影响，特别是在分析、代数和数论方面。

他的研究不仅推动了数学理论的发展，也为物理学和工程学等其他科学领域提供了重要工具。

不过今天我们重点谈谈超越数这个概念。

什么是超越数？

在数学中，超越数是指不能作为任何非零有理数系数多项式的根的数。换句话说，如果没有任何形式为



（其中  是有理数，且不全为零）的多项式可以使得某个数 x 满足这个等式，那么这个数 x 就被称为超越数。

超越数与代数数相对立，代数数是可以成为某个非零有理数系数多项式的根的数。因此，所有的数要么是代数数，要么是超越数，两者是互斥的。

说了这么多，能不能给大家看个例子就懂啦。

我们身边就有 2 个非常常见的超越数。

最著名的超越数包括 π（圆周率）和 e（自然对数的底数）。不过，要证明一个数是超越数通常是非常困难的。例如，证明 π 和 e 是超越数的过程涉及复杂的数学分析和数论技巧。

超越数理论是数论和代数的一个重要分支，对理解数的本质有着深远的影响。超越数的概念在理论数学中极为重要，尽管在实际应用中可能不如代数数常见。

e 是一个无理数，其值大约等于 2.718281828459045… 这个数是无限不循环的，不能用分数精确表示。

e 可以通过多种方式计算，最常见的方法之一是利用级数：



或者使用无穷级数展开：



好，篇幅原因先到这里，以后再细谈关于 e 更深奥的东西。

对了，补充下，后来是林德曼解决了 π 的问题…

02 夏尔·埃尔米特的生平


埃尔米特

埃尔米特，1822 年 12 月 24 日生于法国洛林的迪约兹，正好，这是一个数学创新高涨的时期，他将创造性才华与对前人工作的深刻理解完美结合，成为了时代的杰出代表。

那时，数学界正需一位能将高斯的数学创造、阿贝尔和雅可比在椭圆函数方面的发现、雅可比在阿贝尔函数上的进步，以及布尔、凯莱和西尔维斯特等英国数学家在代数不变量理论上的迅速发展融为一体的天才。

埃尔米特的出生几乎赶上了法国大革命的尾声，这场事件在他出生前四分之一个世纪左右结束。

家族因公社而遭受重创，祖父家道中落，最终狱中身亡；祖父的兄弟更是走上了断头台。

他的父亲因年幼幸免于难。如果说埃尔米特的数学天赋有遗传的因素，那很可能是他父亲的影响。

父亲曾学习工程，但因不合兴趣而弃之。先后尝试制盐业和布商，最终在布商业安定下来，与雇主的女儿马德莱娜·拉勒芒结婚。

马德莱娜是个强势而有商业头脑的女性，家中大事她作主，使家族达到了稳固的中产地位。

在七个孩子中，夏尔排行第六，天生右腿残疾，这种不幸或许反而成了他的幸运，使他无法从事任何军事相关的职业。他的残疾并未影响到他始终如一的和善性格。

在父母的熏陶下，埃尔米特接受了启蒙教育。

六岁那年，随家族从迪约兹迁至南锡。随着家庭生意的蓬勃发展，父母忙于商务，埃尔米特被送往南锡的公立学校寄宿。

父母希望他接受更好的教育，于是将他送往巴黎，先在亨利四世中学短暂学习，后来 18 岁又转入路易大帝学院学习，为进入综合工科学校做准备。

埃尔米特在路易大帝学院的经历与其不驯的前辈伽罗瓦颇有相似之处。

他不喜欢修辞，对初等数学不甚关心，但物理课却深深吸引了他。幸运的是，他未像伽罗瓦那样遭遇不幸，成为了一位优秀的古典学者，擅长写作。那些反感考试的人可能会对埃尔米特的故事产生共鸣。

他的教师里夏尔曾试图拯救伽罗瓦却未果。埃尔米特在圣-热纳维埃夫图书馆自学，掌握了拉格朗日的论文和高斯的《算术研究》。

他的考试成绩只是中等，但这并未妨碍他在数学上的成就。

埃尔米特在路易大帝学院的两篇论文，一篇关于圆锥曲线的解析几何，另一篇则是关于五次方程代数解的探讨，后者展现了他作为数学家的才华。

他的数学成就与初等数学的困难形成了鲜明对比，但这也表明，深入领悟现代数学并不需要掌握所有经典数学内容。

在综合工科学校的一年中，他未投入精力于自己不喜欢的画法几何，而是专注于阿贝尔函数的研究，并结识了数学家刘维尔。


约瑟夫·刘维尔

当刘维尔首次目睹埃尔米特的才华，他立即意识到了这位年轻人的天赋。

提起刘维尔，不得不联想到他曾激发了苏格兰物理学家威廉·汤姆森，即后来的开尔文勋爵，对数学家的定义做出了非常精彩的描述。

开尔文曾向学生们提问：“你们知道数学家是怎样的人吗？”



他在黑板上写下了一个复杂的公式（如上），然后指着那个公式对学生说：“数学家就是那种认为这个公式就像‘2+2=4’一样显而易见的人。”

刘维尔就是这样的数学家。

埃尔米特在阿贝尔函数领域的突破性工作，就像开尔文例子中的公式那样，远远超出了‘2+2=4’的简单。

刘维尔记得勒让德对年轻、不知名的雅可比所展示的热情欢迎，他猜想雅可比也会对初露锋芒的埃尔米特表示同样的慷慨。

他的猜想是正确的。

埃尔米特在 1843 年 1 月给雅可比写的信令人惊叹。他在信中提到了他从雅可比关于阿贝尔函数的论文中得到的启发，提出了一个关于函数自变量分离的定理，与雅可比的研究颇为相似。

他谦虚地请求雅可比审阅他的工作，并期待雅可比的宽容与指导。

简单回顾一下他们讨论的问题：三角函数是单变量、单周期的函数，而阿贝尔和雅可比通过反转椭圆积分发现了单变量双周期的函数。

雅可比进一步发现了双变量四周期的函数。埃尔米特则致力于解决双变量四周期函数的类似问题，最终得出了一个可以用根式求解的方程。

埃尔米特的残疾使他无法继续在综合工科学校学习，他将目光转向了教学职业，希望在那里能继续他对数学的热爱。

但无情的规章制度几乎阻碍了他的职业发展。他持续进行着自己的研究，直到 24 岁时不得不放下手头的重要发现，去准备他的第一个学位考试。

多亏了两位有影响力的数学家斯图谟和贝特朗的帮助，他才幸运地通过了考试。

讽刺的是，埃尔米特第一次学术上的成功竟是在那所几乎拒绝他入学的综合工科学校被任命为入学考试委员。后来，他在同一所学校被任命为主考官，终于获得了一个安全的职位。但他为此牺牲了他最具创造力的五年时间。

埃尔米特最终成为了一名伟大的数学家，他的生活相对平静。他曾在法兰西学院任职，34 岁时被选为科学院院士。

直到 47 岁，他才在巴黎师范学校获得教授职位，并在 1870 年成为巴黎大学的教授，直至退休。

他在这一职位上培养了一代法国数学家，包括埃米尔·皮卡尔、加斯东·达布、保罗·阿佩尔、埃米尔·博雷尔和保罗·潘勒韦以及庞加莱。

他的影响力远超法国，他的经典著作也教育了全球的数学家埃尔米特以对学生的尊重而著称，不强迫他们追随自己的思路，反而鼓励他们自由探索。

他与欧洲各地的数学家保持广泛的学术通信，总是以温和、鼓励和赞赏的口吻与他们交流。

他在 19 世纪后半期的许多数学家都把他们获得公众认可归功于埃尔米特最初的支持。雅可比也是出了名的慷慨，但他有时会显得讽刺。

然而，当年轻的埃尔米特带着他在阿贝尔函数上的伟大成就找到雅可比时，雅可比表示了极大的慷慨。

雅可比的鼓励下，埃尔米特不仅与他分享了在阿贝尔函数方面的发现，还给他写了四封关于数论的长信。这些信件展示了埃尔米特的广泛兴趣和大胆的创新方法，确立了他作为历史上一位天才数学家的地位。

埃尔米特对数的态度带有一种神秘主义，他相信数有超越人类理解的存在。

他认为数学家偶尔能够洞察掌管这些数存在的超凡和谐。这种对数学超然存在的信念，在今天的许多数学家看来可能过时，但埃尔米特坚信其中蕴含的深远意义。

埃尔米特在代数不变量理论方面的发明非常专业，他在多个领域的成就非常惊人。他在五次方程和超越数方面的发现尤为突出。

他的研究不仅在数学领域有深远的影响，甚至在物理学中也发挥了重要作用，尤其是在量子理论方面。

埃尔米特在终身致力于数学研究的同时，也成为了一个虔诚的天主教徒，他的宗教信仰与他的数学追求并行不悖。

总结：

乱世出英雄，乱数出大师～！

好，今天就先这样啦～

祝幸福～

参考文献：

[1]. 《数学大师》

[2]. 《数学通识讲义》

科学羊 2024/01/10