他，数论杰出的贡献者，同时还参与了费马大定理的证明！

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他，数论杰出的贡献者，同时还参与了费马大定理的证明！

原创 Masir123 科学羊 2024-01-14 08:20 发表于广东

大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 2 季第 11 篇。

数论，这个数学的核心领域，孕育了无数深奥的问题和强大的方法，它的丰富源泉似乎比数学的其他学科更为深邃。

然而，数论常被误解为数学进展中的旁观者，对几何学和分析学这些较为“炫目”的成就持冷静态度，尤其是在物理科学领域。

回顾过去 2000 年，我们发现，仅有少数伟大的数学家在这门被称为“纯数”的科学上投入了认真的努力。

01 数论

那么什么是数论？


数论是数学的一个分支，专注于研究整数及其性质。

整数是我们日常生活中常见的数字，比如 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 等。

数论涵盖了很多不同的主题，从最基本的算术运算（加、减、乘、除）到更复杂的概念，如素数、整数的分解、同余和代数数论等。我们可以从一些基础的概念开始，逐步深入。

基础概念

整数: 包括负整数、零和正整数。例如，-5, 0, 8 都是整数。

素数: 是那些 ＞1 的自然数，而且只能被 1 和它本身整除。例如，2, 3, 5, 7, 11 等都是素数。

合数: 是那些 ＞1 的整数，但非素数。它可以被除了 1 和它本身之外的其他整数整除。例如，4（可以被 2 整除）、6（可以被 2 和 3 整除）都是合数。

进阶概念

整除: 当一个整数能够被另一个整数除尽，没有余数时，我们说这个整数被另一个整数整除。

例如，15 可以被 3 整除，因为 15 除以 3 得 5 ，没有余数。

最大公约数: 两个或多个整数共有的最大的那个约数。

例如，12 和 16 的最大公约数是 4 。

同余: 如果两个整数除以同一个正整数，得到相同的余数，则这两个数是同余的。

比如，8 和 5 模 3 同余，因为 8 除以 3 余 2 ，5 除以 3 也余 2 。

高级概念

费马小定理: 这是一个关于素数的著名定理。它指出，如果 p 是一个素数，那么对任意整数 a ，有 a^p≡a（模 p ）。

欧拉函数: 对于任意一个正整数 n ，欧拉函数 φ(n) 是小于或等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数量。

实际应用举例

一个简单的例子是判断一个数是否是素数。假设我们想判断 7 是否是素数。我们只需要检查 7 是否能被 2 到 6 之间的任何整数整除。很快我们就会发现，7 不能被这些数整除，所以它是素数。

数论的美在于它的简洁和普遍性。虽然它的一些概念看起来非常基础和直接，但它们构成了很多复杂数学理论的基础，也在现代科技中扮演着重要角色，例如在密码学和数据安全领域。

这种对于数学同等重要学科的忽视，源自于多重因素。首先，算术在其固有难度上，超越了数学的其他领域。

其次，数论对科学的直接应用较少，难以被大多数创造性数学家所察觉，尽管一些最伟大的数学家已经感受到了自然数学最终在整数的性质中找到真理。

最后，数学家们——包括一些伟大的数学家——通过在分析、几何和应用数学中取得显著成就，追求个人名望和尊敬，这是完全可以理解的，即使像高斯这样的数学家也曾屈服于此。



让我们进入现代算术的世界，这个世界始于库默尔——高斯之后的时代。

02 库默尔的生平

用一句话描述他的话，

库默尔（Ernst Eduard Kummer，1810—1893）德国数学家。哈雷大学哲学博士。曾任布雷斯劳大学和柏林大学教授。首先提出理想数理论，并利用它证明费马大定理当 n＜100 时成立。曾研究光线系统和弹道问题，发现库默尔曲面。在几何学、几何光学等方面有一定成就。

库默尔的工作源自于他对费马大定理的证明尝试，这位长寿的数学家是典型的老派德国人，具有直率、单纯、良好脾气和幽默感，他是那个时代正在迅速消逝的人物类型的典型代表。


库默尔

恩斯特·爱德华·库默尔，这位 1810 年出生的数学家，虽然生于拿破仑失势前仅五年，但这位法国皇帝在他的生活中扮演了潜移默化的角色。

库默尔是索劳（当时属勃兰登堡公国）一位医生的儿子，在三岁时就失去了父亲。拿破仑大军中的幸存者带回了斑疹伤寒这种病症，这位劳累过度的医生因此病去世，留下了年幼的恩斯特和他的哥哥。

库默尔的母亲在艰难贫困中抚养他们长大，并确保他们完成了当地的中学教育。年轻的库默尔在拿破仑时代法国人的傲慢、苛捐杂税的影响下，成长为了一位极端的爱国者。

他在后半生中，将其卓越的科学才能投入到柏林军事学院，教授德意志军官弹道学，许多学生在普法战争中取得了显著成就。

库默尔 18 岁时进入哈雷大学学习神学，由于家境贫寒，他每天徒步往返于索劳和哈雷之间。

在那里，他遇到了数学教授海因里希·费迪南德·舍克，这位老派但热爱代数和数论的教授深刻影响了年轻的库默尔。

在舍克的指导下，库默尔很快转向数学，他认为在数学中“纯粹错误和谬误的观点无法存活”。库默尔于21岁获得博士学位，并开始了他的教师生涯。

1832 年，库默尔迁至利格尼茨，在当地的中学教了10年书，正是在那里，他启发了克罗内克的革命性事业。库默尔的数学发现得到了诸多著名数学家的赞誉，他们努力帮助这位年轻天才获得更适合的职位。

1842 年，库默尔成为布雷斯劳大学的数学教授，直到 1855 年高斯去世后，他又被任命为柏林军事学院的教授。

库默尔是少数在最抽象的数学、实际事务应用（包括战争）以及实验物理领域均有杰出贡献的科学天才之一。

他在数论领域的工作尤其卓越，提出了“理想数”的概念，并在证明费马大定理方面取得了重大进展。

他的理想数概念后来被戴德金的“理想”所取代。库默尔还继续了高斯关于双二次互反律的工作，并探索高于四次的互反律。

库默尔不仅对数论感兴趣，他还热爱应用科学。

他在超几何级数、微分方程理论以及射线组理论方面都有重要贡献。他的四次曲面发现在高维欧几里得空间几何中占据重要位置，甚至与量子力学中的狄拉克波动方程有联系。

库默尔对教育的热情不亚于对数学的。他以其生动的比喻和富有哲理的讲解而闻名，在柏林大学和军事学院帮助了成千上万的年轻人。

他的慷慨和关怀体现在他对学生们的帮助上，例如他曾为一个患病的贫困学生提供医疗费用。

库默尔的最后九年是在完全隐退中度过的。他在退休后放弃了数学，只是偶尔回到年轻时的地方旅行。

1893 年，他因流感去世，享年 83 岁。

这位伟大的数学家，以他的理论洞察、应用实践和教育热情，成为了数学界的一个独特而重要的人物。他的一生不仅见证了数学的发展，也为后人留下了深远的影响。

祝幸福～

参考文献：

[1]. 《数学大师》

科学羊  2024/01/14