布劳威尔：庞加莱最重要的代数拓扑传人，一位非常有哲学想法的数学家

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布劳威尔：庞加莱最重要的代数拓扑传人，一位非常有哲学想法的数学家

来源：和乐数学



布劳威尔的拓扑学中潜在的自相矛盾，是他得到的结果与他的哲学思想格格不入。对于一名普通的数学家来说，这也许并不重要，但是布劳威尔是一位非常有哲学想法的数学家。

布劳威尔（1881—1966），荷兰数学家。1881 年 2 月 27 日生于荷兰的奥弗希，1966 年 12 月 2 日卒于布拉里克姆。他是庞加莱最重要的代数拓扑传人，正是布劳威尔在 1910 年证明了维数是一个拓扑不变量。在现代数学中，更为重要的是他的不动点定理。他强调数学直觉，坚持数学对象必须可以构造，被视为直觉主义的创始人和代表人物。

01  不动点定理

建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献。这个定理表明：在二维闭圆盘上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的。他把这一定理推广到高维球体。尤其是，在 n 维球体映到自身的任意连续映射至少有一个不动点。在定理证明的过程中，他引进了从一个复形到另一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念。有了这些概念，他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点。

n 维球体就是实心单位圆盘（平面上到原点的距离不超过一个单位的点的全体）的概念或实心单位球体（三维空间中到原点的距离不超过一个单位的点的全体）的概念在 n 维空间中的推广。对于二维平面的情形，这个定理意味着如果你把单位圆盘上的每一个点光滑地移到另外某个点处，把非常靠近的点移到同样非常靠近的点，那么总有一个点在移动前后的位置不变。

不动点定理及其直接推广有很多推论。例如，你小心平稳地搅拌杯子里的咖啡，那么某一滴咖啡，或者说某个分子，最终会停在它的起始位置上。（注意，从拓扑意义上说，杯中的咖啡是一个三维球体，通过搅拌，你就把咖啡中的每一个分子从这个三维球体的某个点 X 移到了某个点 Y ，这就是我们所说的“把一个空间映射到自身”的意思。）还有一个不太明显的例子：把一张纸放在桌子上，用记号笔在桌子上画出它的轮廓。现在把这张纸揉皱，但不要撕破它，然后把它放进画出的轮廓里。这张变皱的纸上存在（至少）一个点，一定在画出的这张纸的轮廓中这个点的正上方。

由于布劳威尔在拓扑学上的出色成就，他被推选为荷兰皇家科学院院士。可是，他在 1912 年的就职演说上，却只大讲直觉主义和构造主义，而不谈他那颇为得意的拓扑学，大大出乎人们的意料之外。

02  直觉主义学说

布劳威尔的拓扑学中潜在的自相矛盾，是他得到的结果与他的哲学思想格格不入。对于一名普通的数学家来说，这也许并不重要，但是布劳威尔是一位非常有哲学想法的数学家。他痴迷于形而上学思想（更确切地说是反形而上学的思想）以及为数学寻找一个可靠的哲学基础。

为此，他创立了直觉主义学说，试图将所有数学根植于人类进行连续思考的思维活动之中。布劳威尔说，一个数学命题不真，是因为它对应于某种柏拉图式的更高实体，这种更高实体超出了我们的物理感官，而我们的大脑却能以某种方式理解它。它不真，还因为它遵循了一些语言形符的规则，就像布劳威尔时代的逻辑学家和形式主义者（如罗素和希尔伯特）所主张的那样。它为真，是因为我们可以进行一些适当的心理建构，一步一步体验它的正确性。按照布劳威尔的说法，构成数学的材料（非常粗略地说）并不是从超出我们感知的世界里的某个仓库里取出来的，也不仅仅是语言或者在纸上根据规则操作的符号。它是一种思想——一种人类活动，最终建立在我们对时间的直觉上，它是人类本能的一部分。

这仅仅是对直觉主义最简单的概括，它催生了大量的文献。了解这种哲学的读者会察觉到康德和尼采对其产生的影响。

事实上，不管怎么说，布劳威尔绝不是这条思路仅有的开创者。类似的思想贯穿数学的现代历史，可以追溯到康德之前，至少可以追溯到笛卡儿的时代。

正是这个思想学派被布劳威尔带到 20 世纪，传播给后来的数学家，例如美国数学家埃里特·毕晓普（1928—1983）。布劳威尔的学说被称为“直觉主义”，毕晓普的学说被称为“构造主义”。这些思想现在都被称为“构造主义”，它们在美国的倡导者是美国柯朗数学科学研究所的哈罗德·爱德华兹教授。爱德华兹教授在其 2004 年的著作《构造数学论著集》中很好地说明了这种方法（事实上，他的其他著作也是如此）。

爱德华兹教授认为，随着功能强大的计算机便捷化，构造主义现已迎来了它的时代，而且一旦人们对思维方式做出了适当调整，那么人们自 1880 年以来取得的很多数学成果看起来都会是误解。

总之，在布劳威尔 30 岁左右的那几年里，他在代数拓扑方面的研究一定与他的哲学观点有冲突。十年后，他的同胞范德瓦尔登来到荷兰阿姆斯特丹跟随他学习。范德瓦尔登在接受《美国数学学会通告》采访时说：

尽管布劳威尔最重要的研究贡献在拓扑学领域，但是他从来没有开设过拓扑学课程，而且总是只开设直觉主义基础课程。他似乎不再相信自己在拓扑学方面的成果，因为从直觉主义的观点来看，它们是不正确的。根据他自己的哲学，他认为之前做过的每一件事情——甚至他最伟大的成果——都是错误的。他是一个非常奇怪的人，他疯狂地热爱自己的哲学。

中国科学院数学与系统科学研究院 2023-10-12 14:31 发表于北京