他写了一本教材，让数学家们对几何问题有了更深刻的理解

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他写了一本教材，让数学家们对几何问题有了更深刻的理解

来源：图灵新知

笛卡儿的学说，完全不是萌芽自任何古代几何学家的著作……它是没有母亲的孩子（problem sine matre creatam）。—— 米歇尔·夏斯莱，1875



“Cogito ergo sum.” —— “我思，故我在。”

要问勒内·笛卡儿是谁，路人很可能会说出这句世人皆知的哲学命题——一个被一代又一代的大学生思索、讨论的命题。更喜欢数学的人可能会提到在代数课上学过的笛卡儿平面。但可能不会有多少人说，笛卡儿写了一本重要的教材，它让数学家们对哪些几何问题能或是不能用直线、圆以及其他曲线来解决有了更深刻的理解。

01  笛卡儿的三个梦想

哲学家、数学家、科学家勒内·笛卡儿于 1596 年生于法国拉艾的一个中产阶级家庭。他的家族中出过很多医生和律师。他的父亲就是一位律师，并且是布列塔尼高等法院的一员。笛卡儿的母亲在生下他之后不久就去世了，他是由外祖母养大的。甚至在他的父亲再婚之后，这种情况依然如此。

笛卡儿儿时体弱多病，经常持续性地咳嗽。他可能患有肺结核。11 岁时，他被送往拉弗莱什的耶稣会学校。因为体质虚弱，笛卡儿可以不像其他学生一样必须在早晨 5 点起床。他可以一直睡到上午 10 点左右——他后来一直坚持这一习惯。在从学校休学几年之后（可能是因为精神失常），他从普瓦提埃大学获得了法律学位。

1618 年，笛卡儿志愿加入荷兰拿骚的莫里斯的军队。他在那里学习军事工程学，但他遇到了荷兰科学家艾萨克·贝克曼（1588—1637）。他们两人会一起讨论数学和物理。1619 年 3 月 26 日，他向贝克曼讲述了一套崭新的数学方法，而这后来就成了解析几何。

1619 年，他前往德国的乌尔姆，加入马克西米利安一世的军队。在那里，他萌生了三个他视为未来探索原动力的梦想：绝不能依靠他人——他必须自己完成所有研究来寻求真知；必须质疑一切，并寻找最基本的原理来构建他的哲学学说；而最核心的，便是“我思，故我在”。

从 1620 年到 1628 年，笛卡儿游历欧洲。正是在这期间，他遇到了法国博学家马林·梅森神父（1588—1648），正是后者后来帮助笛卡儿和科学界保持联系。笛卡儿最终于 1628 年回到荷兰，在那里度过了接下来的 20 年。笛卡儿那时已经闻名于全欧洲，他想要找一个能平静独处的城市环境，而荷兰刚好适合他。

1649 年，瑞典的克里斯蒂娜女王说服笛卡儿前往瑞典教授她哲学。无论是从个人角度还是从地理角度来说，这并不是什么好选择。两个人没有相处很长时间，天气太冷，而笛卡儿又要每天早起，而这正是笛卡儿所厌恶的。他最终罹患肺炎，于 1650 年在瑞典逝世。

我们不会讨论笛卡儿的哲学著作，例如他已经完成、却因为在 1633 年听说伽利略因异端邪说而被定罪后决定不出版的《论世界》《第一哲学沉思集》（1639）、《哲学原理》（1644），以及《灵魂的激情》（1649）等。我们也会略过他对数学和科学做出的很多贡献。我们的重心在于他的《几何学》一书。该书是他于 1637 年出版的《谈谈方法》（Discours de la Méthode）一书的三个附录之一，另两个附录分别是《屈光学》（La Dioptrique，该书讨论光学）和《气象学》（Les Météores）。

02  笛卡儿的《几何学》

19 世纪的数学家米歇尔·夏斯莱（1793—1880）对笛卡儿的《几何学》有一段著名的描述，他称其为“没有母亲的孩子”。这一评论显然夸大了事实：《几何学》的确是基于前人——比如韦达——所构建的基础。但正如朱迪思·格拉比纳所写：

尽管有这些先行者，但笛卡儿用一种前所未有的方式把这些过去的想法结合、扩展，并加以开发……至少，我们可以用托马斯·库恩对哥白尼的《天体运行论》的评价来评价《几何学》，它可能并不具有革命性，却能“带来革命”。

今天，当我们提到解析几何，或者说笛卡儿几何时，就会想到垂直坐标系——x 轴和 y 轴、有序对，还有用关于 x 和 y 的方程表示的曲线。我们不能错误地认为这种数学观点是由笛卡儿提出的。如果一个现代的读者翻阅笛卡儿的《几何学》，他可能根本看不出今天的解析几何的影子。

正如其标题所述，笛卡儿的目标是解决几何问题，但他计划用尺规，或者是用他的新式圆规作出的更复杂的曲线来解决它们。为了达成这一目标，他引入了变量和代数方程。这也就是解析几何的开始。代数不过是通往目标的手段，而非目标本身。

例如，他用代数帮助解决了帕普斯提出的一个著名几何问题。我们不会在这里详细介绍该问题。该问题始于一系列直线，而目标是找到所有满足某条件的点。这一条件与点到这些直线的距离有关。古希腊人能够解决三条或四条直线的情况——所求点的集合正是圆锥曲线。笛卡儿用他的新方法得到了同样的结论，并且把结论推广到更多直线的情况。例如，他发现五条直线的解正是三次曲线。今天，我们可能会对画出曲线感兴趣，但笛卡儿没有这么做。他感兴趣的是，这条曲线能否用他的机械仪器画出来，以及能否帮助他解决其他几何问题。

《几何学》中的数学十分艰深，过去如此，现在亦然。荷兰数学家弗朗西斯·范·舒滕在出版并批注该书的拉丁文译本时帮助厘清了一些混乱之处。该译本第一版出版于 1649 年，而更加详尽的第二版出现于十年之后。他的工作帮助推广了笛卡儿解析几何。正如卡尔·波耶所写的，笛卡儿的书象征着解析几何的“少年时期”；而它从“笨拙的青少年成长期”到“成年期”的过渡则花费了 160 年。

尽管笛卡儿的数学论述很难弄清，但他的代数看上去就眼熟多了。一位历史学家警告现代读者：“笛卡儿能轻松使用我们今天熟知的符号记法，但这绝不能掩盖它在当时深邃的创新性……当代数学家们不能错把《几何学》当作解读符号体系的‘罗塞塔石碑’……这一新的符号体系最终成为科学革命的一个重要元素。”

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《笛卡儿几何》

[法] 笛卡儿 著

袁向东 译

科学元典 2023-09-26 20:18 发表于安徽