在对代数几何的最终改革过程中，有两个人脱颖而出

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在对代数几何的最终改革过程中，有两个人脱颖而出

我的命运就是把代数拓扑这把鱼叉插入代数几何这条大鲸的身体里。—— 莱夫谢茨

撰文 | [美] 约翰·德比希尔

译者 | 张浩

在对代数几何的最终改革过程中，有两个人脱颖而出：所罗门·莱夫谢茨和奥斯卡·扎里斯基（1899-1986）。两人都是犹太人，都出生在 19 世纪末的俄国。

01  莱夫谢茨


所罗门·莱夫谢茨

莱夫谢茨稍微年长一些，出生于 1884 年。尽管莫斯科是他的出生地，但是他的父母都是土耳其人，一家人不得不跟着做生意的父亲四处奔波。莱夫谢茨实际上是在法国长大的，他的母语是法语。作为布劳威尔的同代人，他与布劳威尔一样也在代数拓扑领域取得了成就。事实上，他与布劳威尔有个相似之处更值得一提：莱夫谢茨也有一个以他的名字命名的不动点定理。莱夫谢茨在 21 岁时来到美国，在 1911 年取得数学博士学位之前，他在工业实验室工作了五年。这项工作导致他在一次电力事故中失去了双手。他在余生中都戴着假肢，再戴一副黑色皮手套。在美国普林斯顿大学教书期间（从 1925 年起），他会让一名研究生把一支粉笔塞到他手里，然后开始他一天的课程。莱夫谢茨精力充沛，说话刻薄，为人固执，他是一个有个性的人，西尔维娅·娜萨在《美丽心灵》一书中讲了一些关于他的故事。莱夫谢茨非常生动地总结了自己与代数史的关系：“我的命运就是把代数拓扑这把鱼叉插入代数几何这条大鲸的身体里。”

02  扎里斯基

扎里斯基比莱夫谢茨小 15 岁，出生于 1899 年。出生于这段时期的俄国是非常不幸的，实际上，作为犹太人，无论出生在旧世界的哪个地方都是悲惨的。混乱的第一次世界大战、德国的入侵以及随后的内战，这一切迫使扎里斯基背井离乡。1920 年，他去了意大利罗马。在那里，他在卡斯泰尔诺沃的指导下学习。卡斯泰尔诺沃是“现代经典几何”的意大利学派的领袖。那时，卡斯泰尔诺沃和他的同事已经明白，他们的方法无法再取得进展。卡斯泰尔诺沃当时 55 岁左右，他觉得到了把火种传递下去的时候了，他敦促扎里斯基学习莱夫谢茨的拓扑方法。


奥斯卡·扎里斯基

20 世纪 20 年代中期，墨索里尼及法西斯分子正在加强对意大利人民的公共生活的控制。1925 年，扎里斯基在罗马获得博士学位。在一两年内，意大利显然不再是他所希望的能躲避动荡的避难所。当时莱夫谢茨在普林斯顿大学，在卡斯泰尔诺沃的鼓励下，扎里斯基与莱夫谢茨建立了工作上的友谊。1927 年，在莱夫谢茨的帮助下，扎里斯基在美国巴尔的摩的约翰斯·霍普金斯大学得到一个初级教职。两年后，他拥有了那里的正式教职。

在整个 20 世纪 20 年代末和 30 年代初，扎里斯基都致力于将莱夫谢茨的现代拓扑思想带到他从意大利学来的“现代经典几何”中去。这项研究的成果就是出版于 1935 年的著作《代数曲面》（Algebraic Surfaces）。

然而，在编写和研究这本书的过程中，扎里斯基逐渐意识到代数几何的前进方向并不在于仅仅利用拓扑学，而是要利用希尔伯特在《几何基础》中提出以及被应用在诺特的抽象代数中的公理化方法。从 1937 年起，扎里斯基为自己设定了研究目标：重建代数几何的基础。

彼时，扎里斯基已经成为一名美国数学家，他于 1945~1946 学年在巴西圣保罗大学做访问学者，他的职责包括每周讲三个小时的讲座。只有一个人参加了扎里斯基的所有讲座，这个人就是比扎里斯基年轻一点的法国数学家安德烈·韦伊（1906-1998）。


安德烈·韦伊

韦伊出生于 1906 年，他既是一个犹太人，也是一位和平主义者。在和扎里斯基同一时间来圣保罗大学访问之前，为躲避欧洲的战争，韦伊来到美国寻求教职。韦伊是一位非常有建树的著名数学家，扎里斯基在此之前至少见过他两次，一次是 1937 年在普林斯顿大学，另一次是 1941 年在哈佛大学。然而，他们一起在圣保罗度过的这一年对两人来说都是格外多产的一年。

与扎里斯基一样，韦伊也有利用希尔伯特和诺特的抽象代数重建代数几何的想法。特别是，他致力于推广代数曲线、代数曲面和代数簇的理论，使其结果在任何基域里都成立。韦伊的工作是现代数论代数化的基础。如果没有这项工作，那么安徳鲁·怀尔斯在 1994 年对费马大定理的证明将不可能出现。

彼时，19 世纪兴起的各种思想即将汇集到一起，形成对几何学的一种新认识，这种新认识以抽象代数为基础，融合了拓扑学、分析学以及关于曲线和曲面的“现代经典”思想，甚至结合了数论。希尔伯特的“啤酒杯”和诺特的环、普吕克的直线和李的群、黎曼的流形和亨泽尔的域，这些思想都汇合在代数几何的统一概念之下。这是 20 世纪的代数学取得的伟大成就之一，但这绝不是唯一的成就，也不是争议最小的成就。



本文选自《代数的历史》第 14 章。

约翰·德比希尔 返朴 2023-10-06 08:57 发表于北京