钱宝琮的数学史教学与写作

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钱宝琮的数学史教学与写作

作者：钱永红



钱宝琮（1892—1974），字琢如，浙江嘉兴人，中国数学教育家、中国数学史学科及中国天文学史学科的开创者、奠基人。1911 年，毕业于英国伯明翰大学土木工程专业，旋即回国，投身于中国高等数学教育事业，先后执教于苏州工业专门学校、南开大学、中央大学、浙江大学等学校，是数学教育界的老前辈；同时，潜心钻研科学史，特别是数学史、天文学史，腹载五车，著作颇丰，名垂青史。1957 年，中国科学院中国自然科学史研究室一级研究员。他是中国自然科学史研究委员会委员（1954 年）、《科学史集刊》主编（1958 年至 1966 年）、国际科学史研究院（巴黎）通讯院士（1966 年）。

以整理中国数学史为己任

1912 年初，钱宝琮学成归国，原本想当工程师为国效力，然机会屡失，未能如愿。是年之秋，任教江苏省立第二工业学校，最初教授土木工程课程，不久就改教高等数学。他从苏州旧书肆偶得中国古算书籍数种，知晓中国古代有过具有世界意义的数学发展，决定以整理中国数学史为己任。

他晚年追忆说：“对于胡适的《中国哲学史》倒有启发。我是一个土木工程系学生，对于胡适的中国古代哲学不能评论它讲的对不对，但认为哲学思想的发展是历史性的，用历史资料说明诸子百家的哲学的发生和发展是对的。我在英国读书时曾读过一本数学史（没有中国的传统数学），觉得它是一门值得进一步研究的学科。我读了《哲学史》以后，立志要研究中国古代数学的发展史，开始搜集中国数学书籍和有关数学的史料，并向国文老师请教，学习中国文字学，增长阅读古书的能力，开始试作中国数学史的短篇论文。”[1]

初心已定，钱宝琮一有空闲，就扎进古书堆里，考据、研读中国古代数学、天文、物理典籍，用现代的数学符号和语言，阐述古代学者的科学理论、方法和贡献。1918 年，他始读《畴人传》，了解从黄帝时期至清乾隆末年的天文、历法、算学家 300 多人的事业与贡献。认为“象数学专门，不绝仅如线。千古几传人，光芒星斗灿。” [2]

1930 年 6 月，钱宝琮第一部数学史专著《古算考源》由中华学艺社出版，商务印书馆发行。1932 年，《中国算学史》（上卷）以北平国立中央研究院历史语言研究所学术专著丛刊单刊甲种之六出版，商务印书馆销售。1957 年，《中国数学史话》由中国青年出版社出版。1963 年，《算经十书》（校点）由中华书局出版。1964 年，钱宝琮主编的《中国数学史》由科学出版社出版。

钱宝琮比较幸运，在 1920 年代，就有了一位志同道合的同志和学术知音——李俨（1892—1963），字乐知。他与钱同岁，是陇海铁路局的工程师，一边修建铁路，一边钻研古算书籍。他俩真是不谋而合，时常互赠数学史论著，书信交流研究心得。他们筚路蓝缕，一个偏重数学史资料的整理，一个偏重数学史实和源流的考证与分析[3]，“在废墟上发掘残卷，并将传统内容详作评价”[4]，成为中国现代数学史研究的先驱，学界也有了 “南钱北李”的美誉。华罗庚在《钱宝琮科学史论文选集》序言中指出：“我们今天得以弄清中国古代数学发展的面貌，主要是依靠李俨先生与钱宝琮先生的著作。”[5]


1927年4月29日钱宝琮致李俨信（部分）

将数学史教育引入课堂

钱宝琮古算考源的同时，也重视将数学史教育引入现代学堂。他于 1923 年夏，接受浙江省立第一师范学校校长何炳松之邀，去杭州为浙江暑期学校开办《中国数学史》讲座，历时两周。当时浙江省教育厅在暑假期间开办进修学校，聘请专业人士授课，以提高中小学教师教学素养，很受欢迎。钱宝琮的数学课程分为中国算术历史概要、西洋算术历史概要和应用数学三个方面，每日上午七至八时[6]，使进修学生大开眼界[7]。

1925 年秋，经姜立夫介绍，钱宝琮北上天津，担任南开大学算学系教授，教授方程解法、最小二乘法、整数论、微积分等高等数学，同时开设数学史课程，油印出版《中国算学史》讲义，讲述“中国自上古至清末各期算学之发表，及其与印度亚拉伯及欧洲算学之关系”[8]，深受欢迎。学生吴大任回忆说：“钱琢如先生担任算学史，来校已历二年，师生相得甚欢。”[9]陈省身晚年函告笔者：“钱琢如先生专治中国数学史，在这方面很有创见。在南开任教期间，他就自编《中国算学史讲义》，率先在国内大学开设数学史课，发表不少的专著，向世人介绍、宣传祖国古代数学、天文史学等方面伟大成就，激发国人的爱国热忱，告诫后人不要数典忘祖。”[10]

我们可以从钱宝琮 1927 年 4 月 29 日写给李俨的信中了解他在南开大学的数学史教学与写作：

尝读东、西洋学者所述中国算学史料，遗漏太多，于世界算学之源流，往往数典忘祖。吾侪若不急起撰述，何以纠正其误！以是琮于甲子年在苏州时，即从事于编纂中国算学全史。…… 乙丑秋来此间教读。理科学生有愿选读中国算学史者，琮即将旧稿略为整理，络续付油印本为讲义。每星期授一小时，本拟一年授毕全史。后以授课时间太少，不克授毕。故讲义只撰至明末，凡十八章，印就者只十六章，余两章虽已写成，而未及付印。第十七章述《宋元明算学与西域算学之关系》，其细目为两宋时印度算学之采用、波斯、亚拉伯算学略史、元明时代西域人历算学、金元算学未受亚拉伯算学之影响等。第十八章为《元明算学》。其细目为赵友钦与瞻思、珠算之发展、数码之沿革、明代历算学、写算术等。至于自明末以后之算学史，则拟分写：第十九章《明清之际西算之传入》，第二十章《中算之复兴》，第二十一章《杜德美割圆九术》，第二十二章《项名达与戴煦》，第二十三章《李善兰》，第二十四章《白芙堂丛书》，第二十五章《光绪朝算学》。现正搜集史料，暇当从事编辑也。[11]

钱宝琮认为，中国古代数学史是世界数学史的一部分，它除传入朝鲜、日本等国并促进当地数学的发展外，更重要的是通过印度和阿拉伯传入欧洲，对世界数学的发展作出了贡献。1925 年 12 月 15 日出版的《南中旬刊》刊登了钱宝琮在南开中学丙寅班数理化学会作《印度算学与中国算学之关系》演讲记录稿，并附有旬刊编辑的按语：“钱先生为二十年前英国留学生，专门研究算学一科。而对于中国算学，及其历史，尤有心得。…… 今秋本大学礼聘来津，而本会遂得有如此价值之演讲，何等荣幸！”钱宝琮的演讲以史料为依据，告诉学生印度数学是受到了中国数学影响。中国和印度借助佛教的传播，两国间必有数学的交流。他指出不能“漠视中国算学与印度算学之关系”，也不能对于中国算学“过事夸大，易启疑窦” 。[12]

1928 年秋，钱宝琮受邀组建第三中山大学（国立浙江大学前身）文理学院数学系，成为浙大首任数学系主任。除教授理工科学生微积分、微分方程式、最小平方法等课程之外，钱宝琮从 1930 年代起，开设中国及世界数学史选修课程自编的《算学史讲义》[13]内含：各民族算学知识之远源、公元前 300 年以前之希腊学派、亚历山大书院（公元前 300 - 公元 500 年）、中国（自秦至五代末）、印度（公元500-1200年）、大食、中古欧洲（公元 476-1450 年）、中国（自宋初至明万历）、欧洲文艺复兴时代，共计九个章节，将东西方的古代数学史融汇其中。


钱宝琮 1930 年度在浙江大学编写的《算学史讲义》

1936 年毕业于浙江大学生物系的吴静安，曾于 1935 年选修钱宝琮的数学史课程。他的听课笔记，详细记录了老师首课的开场白：

东方之文化或云自己发展，不同于世界，故中国之数学亦为独立而流传至西方；或云与西洋接触后由西方传入。然此二说皆不合，或过重视中国文化或太轻视中国文化。文化史亦应述及科学之知识，然常人已明通俗之术，未览专门之作，故中国文化史不能完备。取中国之书籍与西洋之算学加以比较，观其解法有无雷同因袭之处，是否西洋抄自中国，抑中国抄自西洋。是时交通何如？能否接触？即不然亦可云受其影响。…… 本学程专注重中国数学史及在世界数学史上之地位，亦稍涉及西洋数史以资比较。关于应用一方面，讲数学史有许多目的：第一，文化史之发展及环境，不必近世已可得其兴趣。且浅近之数史亦较有趣，且有些问题，如用几何方法作三等分角，二倍积及化圆为方，现已证明此等问题为不可能，以免学者再入此途。对教育之意义由小学至中学课程是否如此排列，何种学说排列于前，何种在后，此须根据儿童心理及科学发展之先后，先发见之知识可先授，后世所发明者不妨暂缓。故据历史之先后以教授与据教育心理往往不谋而合。故可作教育之莫大帮助。西洋部分述至微积，中史则由战国至清，皆为浅近之数学。[14]

刘操南于 1937 年考入浙江大学文学院史地系。第二学年，他选修了钱宝琮的微积分课程，对老师的第一堂数学课记忆深刻：

钱师上第一堂课，衣稠长衫，来至宜山东门外标营茅舍某教室座前，风度翩翩，口说板书，措辞谐婉，饶有意趣，引人入胜。他开宗明义，阐述文科同学为何要读理科课程，且为算学，说明三点函义。

一为：中国为世界四大文明古国之一，学术源远流长，博大精深。六艺九数、九流十家为学应有次第，然而各有其长，各有所见。理当兼收并蓄。……“一尺之捶，日取其半，万世不竭”，这个命题就是蕴涵着微积分的思想萌芽，应予继承与发展。读书须由博返约。文科同学就阅读与整理古籍言之，于理科知识，岂能茫然。

二为：开物成务，富国利民，治学必需联系实际。知其一，并知其二，横向联系，融会贯通。钱师举法院审决汽车翻车例示言之。公路建筑工程坡度、弯度自有规格，倘不合式，翻车责任不在驾驶而在工程师之设计。法律看似文事，然审判员亦当需有理科知识。

三为：读书明理，需要文化修养，经受逻辑思维锻炼。古人称通天地人者谓儒。儒者论学，首重格物致知。致其知，务在明其理。物理渺然，人智昏顽。如何为学，如何任事？钱师因举徐光启《几何原本杂论》首条之义，为之阐发。……

钱师这一堂课，给人印象深刻，不仅引导学生重视微积分之教学，实为提示治学门径，倘能虚心体会，真的终生受用。[15]

1948 年毕业于浙江大学数学系的谷超豪有如下回忆：

1946 年下半年，浙大总校从贵州迁回杭州，我是在那时见到钱宝琮老师的。到了第二年，钱先生为我们开设了中国数学史的课程，我才有进一步向他学习的机会。当时，我对中国古代数学史是一无所知的，因为从小学到大学，所学的数学内容都是西方的，完全不知道中国古代数学家在数学方面的贡献，钱先生的课使我知道了中国古代已经在数学上有很高的成就。我印象最深的是中国古代解线性方程组方法很妙，把算筹排成一个方阵，依一定的规则来操作它们，最后得出了解答，这实际上就是高斯消去法，而且有了矩阵的表示形式，比西方要早很多。更妙的是，钱先生告诉我们，方程中的减法项其系数用红色的筹表示，这表明我国古代早已有了负数的概念和独特的标记。钱先生课程中最吸引人的地方还有祖冲之父子的求球体积的方法，从此便出现了“幂势既同，积不容异”的重要原理。[16]

参与中学数学教育活动

钱宝琮多次担任杭州市中学教员暑假讲习会讲师，参加中学数学教学法讨论会，还在媒体、报刊上讨论中学数学教育。1937 年 4 月 15 日，他为浙江大学与浙江广播电台合办的学术广播演讲《数学在中学教育上之地位》。他认为，“数学为一切科学之基础，其训练思想尤关重要。”[17]

抗日西迁期间，敎育部为使中等学校敎员，利用暑假期间进修起见，于川滇黔陕甘湘等省，举办暑期中学校各科敎员讲习讨论会，钱宝琮受浙江大学的指派，不辞辛劳地前往贵阳花溪（1939 年夏）、贵阳西郊罗汉营（1940 年夏）和湖南衡山市（1941 年夏）参加中等学校数学教员讲习讨论会，讲授数学史和中学数学教学法，时间均为二星期。1941 年 9 月到 1942 年 1 月，钱宝琮专为浙大师范学院数学系学生开设数学史和中学数学教学法两门课程。课堂上，他常以徐光启“祛其浮气，练其精心”和“资其成法，发其巧思”等名言来启发学生，培养他们研习数学的自觉性和能动性。

1943 年 10 月 23 日，钱宝琮在贵阳版《中央日报》上发表中学数学教学的专题论文《论现行中学数学课程》，对当时编制的中学数学课程实施方案提出修订意见，认为“中学数学课程当以培养健全国民为职志，不当因毕业生之出路而转移其目标”，强调合理中学数学课程及数学史教育的重要性：

窃以为中学数学与史地理化诸科相仿，其目的在予中学生以文化之陶冶与心智之锻炼。惟数学兼重技能之学习为稍异耳。中等教育之目的，对于学生毕业后升学或就业，原无显著之差别，数学教育不应有所歧视。
……

纯粹数学之论证方法全恃演绎，其训练思想之价值至大。希腊古哲毕达哥拉斯许其门人之深明数学者为入室弟子。柏拉图宣言：“不知几何学勿入我门”，皆重视思辨方法，以为学问深造之津梁。欧几里得集当代几何学之大成，撰书十三卷，题曰《原本》，树立几何论证之规范。明末意人利玛窦以拉丁文《几何原本》前六卷传入中国。徐光启译为中文，而赘记《杂议》云：

下学工夫有理有事。此书为益，能使学理者祛其浮气，炼其精心。学事者资其成法，发其巧思。

可见明末诸家学习西算，体用兼顾，能得希腊学者研治学术之精神。但《几何原本》之书原为成人而作，其论证之严肃、理想之玄妙，有非童年学子所可领悟，用作初中教科，殊非善本。而少许几何知识则为初中学生所亟需。[18]


《论现行中学数学课程》钱宝琮自存油印稿（1943 年于贵州湄潭）

1949 年 9 月 29 日，中国人民政治协商会议第一届全体会议通过了《中华人民政治协商会议共同纲领》。钱宝琮细读了《共同纲领》的“文化教育政策”章节，对政府文化教育新政策表示赞同，对民国时期的教育制度和教学法加以批评：

三三制普通中学为继续小学的基本训练，给予学生持久的、有根据的、有系统的知识，形成他们对自然现象和社会现象的科学态度，培养他们对于祖国的热爱，并使他们成为新民主义社会的建设有用人才。青年学生获得中等教育后，有研究高深学术之基础，有从事各种职业之准备。

旧的教育制度认定中学为升入大学的阶梯，拿高中二年级学生分成文理二组，课程内容有偏轻偏重的差别，并且大学入学考试也分文理组，分别出题。这样使一般的中学生的人文教育不能有平衡的发展，而升入大学的青年常识不足，流弊不可胜言。有的中学教师认为中学教学的目标在于专家的训练，这就是希望一般中学生将来均成为他所教一门的专家，因此教材的选择往往过于艰深，与实际需要不能配合。有的教师注重大学入学考试，忽略所教课程的教育价值及其与社会人生的关系。在高中三年级添开补习课程，准备考试。教师的教学目标既有错误，学生的学习见解自然不能正确。（1）认中学各种学科为钻研专门学术的工具，（2）认为各种学科之间很少联系。不是犯了为学问而学问的教条主义，就是犯了狭隘的功利主义。

1950 年，浙江大学开办中小学教育研究班，钱宝琮为乐嗣康（1922—2008）等 12 位中学数学教师开设《数学发展史》课程，为期一学年。乐嗣康认真听讲，并将听课笔记保存下来。“听课笔记”[19]共有五章，即数学发展简史、算术史、几何学发展史、代数学发展简史、三角发展简史。乐嗣康晚年回忆道：“钱先生和蔼可亲，对学生毫无保留，讲课如同亲切谈话。他如数家珍地为我们介绍中国古代数学、天文历法的光辉成就，教导我们用科学的方法去研究数学历史，弘扬爱国主义精神。虽然我们只听了先生两个学期的课，但他那既教书又育人的高尚品德让我终生难忘。我也当了一辈子数学教师，从来没有忘记先生的教诲，一直在努力成为像钱先生那样的好教师！”[20]

1951 年 5 月，作为杭州市中等学校自然科学教学研究会数学组组长，钱宝琮向杭州市的中学数学老师作《中国古代数学的伟大成就》报告。报告指出：“把中国古代数学与希腊数学对比一下，我们可以说中国古代数学有下列三个优点：1. 用算筹记数，一切数字记算相当便利。繁复的分数四则与开平方，开立方等运算，都没有困难。2. 能够掌握一元与多元的代数式的运算规律，做好化繁为简的工作。3. 数与量得到充分的联系。但是亦有他的缺点，例如：1. 所有名词，不立定义。2. 一切知识的获得单从实际出发，没有经过谨严的证明。3. 讲公约数时没有说到质数。4. 计算面积体积时，没有提到可通约量与不可通约量。所谓优点是胜过希腊的地方，所谓缺点亦是不如希腊的地方。”

在将中国古代数学与古希腊数学优缺点罗列对比之后，钱宝琮得出了如下结论：

第五世纪以后，大部分印度数学是中国式的，第九世纪以后，大部分亚刺伯（阿拉伯）数学是希腊式的，到第十世纪中这两派数学合流，通过非洲北部与西班牙的回教徒，传到欧洲各地。于是欧洲人一方面恢复已经失去的希腊数学，一方面吸收有生力量的中国数学。近代数学才得开始辩证的发展。[21]

吴文俊接受了这一结论，还依据钱宝琮的文字描述，在其论文《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》 [22]里绘制出以下简图（c 表示世纪）：

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数学的实用价值与训练价值

钱宝琮对中学数学教育极为重视。他认为：“天地盈虚，与时消息”，此百事物之动静状态，莫不与其数量相关。形数科学之探讨实于人生最为切要。世界愈进文明，即数学之贡献愈大，而数学方法之造就亦愈精微。生今之世，无论在学校内攻读任何科目，或在社会中应付任何事物，皆须有数学技能、数学知识与数学方法之训练，方克奏效。

针对着一般学校只注重数学技能的实用价值，而忽略数学教育的文化价值与思维训练价值的错误倾向，他在不同时期，不同场合阐述自己的教育理念：

近二十年来言数学教育者，多谓数学教育之价值，有实用、文化、训练三方面。关于实用者以数学技能为主，关于文化者以数学知识为主，关于训练者以数学方法为主。数学方法之有益于训练者，有函数观念、逻辑论证、知类通达、理想超脱诸大端，皆须由简而繁，由疏而密，循序渐进，决非浅尝者所可倖致。故就中等教育而言，不特数学技能与知识之收获为多多益善，而数学方法之启发，亦为其不可漠视之目标。编订中学课程标准者，深知数学技能之切于实用，而忽略数学教育之文化价值与训练价值，目中学数学为一工具学科。浅学之辈遂多误解，以为中学内所授较难之数学都为升学者之预修学程，且有以为升学应试之敲门砖者。教师以其计算技能指示学生，学生亦以背诵公式，依样演草为尽其能事，置训练思想一事于不闻不问之列。中等教育之失败莫此为甚。[23]

1942 年，应浙江大学理学院院长胡刚复之邀，钱宝琮在湄潭“纪念周”给浙大理科师生作《数学的实用价值》学术演讲，归纳出两点结论：

“一是数学起于实用，但只有实用也绝没有数学，理论与实用相互为用，不是单单注意几个公式可以了事；二是研究数学，不能因实用而放弃理论，同时也不能因为理论而偏废实用，二者不可缺一。” 。[24]

1950 年代初，钱宝琮又一次以《数学的实用价值》为题，给杭州市中学数学教师作演讲：

我们要估计出数学的实用价值，不是一件轻易的事情。先讲数学的用处，后讲数学之发展并非全为它的实用价值。

1. 日常生活必须要用到数学知识和技能。人类愈进步，文化水平愈提高，数学知识的需要愈大。我们平常看到报纸上、杂志上有许多生产数字，统计图表，计算公式，等等都要有数学知能去了解它。

2. 近代工程建设、交通工具、动力机械、企业投资、观测统计须要有丰富数学知能的专家去处理。

3. 自然现象是在有程序的发展。在发展过程中，事物的数量依照数学意义，是时间的函数。这种函数的性质代表事物数量的全部发展过程。我们用导函数讨论函数的变动率，在物理学方面可以用来研究质点运动，在化学方面，用来研究反应速度，在医学方面用来研究微生物的生长规律，等等。现象不同，只有数学理论可以一以贯之。我们讨论一个函数的极大值与极小值，可以解释投射角等于反射角返光所需时间最小，蜂房的形状是合符所需构造材料最省的原则的。数学不单是能够解释自然现象，而且能预知自然现象的发现。Leverrier（1846）计算天王星轨道的偏差，知道应该有另一行星，海王星终于发见了。Marwell 方程式写出后，电学实验随后证实它。数学不单是辅助自然科学家了解自然，增加科学的内容，而且推动自然科学的前进，常常立在主动的地位。

再从数学发展史方面看：

1. 世界各民族发展了农业生产，就须要土地量法。埃及很早在尼罗河边耕种，在 1347 B.C. ，并且实行过平均分配土地的改革。他们的 Geometry 是我们几何学的远源。社会有了货物交易的事情就需要商业算术。要观察天文，希腊发明球面三角术。要简省三角计算的时间，Napier , Briggs 等就发明对数。许多数学多是应时代的需要而发展的。

2. 希腊人为解决三大作图问题，发见了许多曲线，Menaechmus 开始研究圆锥曲线，Apollonius 写成专书，但是很少实际应用。至十七世纪初，Kepler 研究行星轨道，知道是合符圆锥曲线几何理论的。牛顿更用他的引力理论去证实它。1854 年，Riemann 研究他的非欧几何学，到二十世纪初年，Einstein 相对论就用到它。许多数学理论是储蓄着，准备为后来科学家应用的。

3. 还有许多理论现在还找不到顾客，不知道如何可以利用。Fermat 最后定理、质数的分布等研究，将来有没有实际应用，我们很难想象。然而数学家一代一代的继续去研究它。大部分的近代数学是这样发展的。

照学以致用的说法，数学的用途最为广大，固然值得我们用最大的努力去学习。但是，大家为致用去学习数学，一定会使数学的发展停顿，各种自然科学和应用科学也很难进步了。[25]

钱宝琮阅读了贝茨（W. Betz）1930 年发表的 The Transfer of Training with Particular Reference to Geometry 和赫德里克（E.R.Hedrick）1928 年发表的论文 The Reality of Mathematical Processes ，颇有心得。他结合自己近 40 年中学数学教学法研究之经验， 撰写了题为《数学的训练价值》的短文[26] ，强调了数学的训练价值：

任何学科都有它的真实知识和应用技术，也有它的发展这些知识技术的思维方法（thinking process）。各学科的对象不同，知识和技术各有各的擅场，唯有思维方法，从基本概念发展到理论的步骤是大致相同的。我们钻研某种科学，得到相当训练，这种训练在对付别种性质不相同的对象时，可以有或多或少的效用。教育家叫它做训练的转移（transfer of training）。某一学科知识的掌握和技术的熟练，在学习别种学科时，究竟有多少影响是很有问题的。所可转移的当然是指该学科的思维方法。我们学数学的都知道数学方法（math. process）的严密是发展数学的基本关键，同时也知道数学方法的训练是思想教育的重心。数学的基本概念比较单纯，理论命题比较清楚，所以它的思维步骤也是条理分明容易了解。用数学来训练思维方法比用别种学科更为容易。倘使教师们只知道数学的实用价值，过分重视数学知识和技能，而忽略了数学方法的训练，他们就辜负了教育工作者的任务，只是一群教书匠罢了。

我们想从一些感性知识发展到理性知识，从研究各种性质相类的特殊现象，导出一个关于客物的内在联系的理论来，我们须要有抽象的想法（idealisation），精细的分析（precise analysing），逻辑的推理（logical reasoning）达到概括的理论（generalised theorem）。上述各项思维方法都要通过学习，再学习，慢慢地培养出来。数学的训练是种种思维方（法）的有效学习。分别讨论如后：

1. 抽象的想法 一切数学概念都是从实际中抽象出来的。算术里的数，几何学里的点、线、面、体都是抽象的。算术和几何学是从这些抽象概念上发展来的。日常生活中常常碰到许多抽象名词，例如：温度、压力、金融、生命、文化等等，有相当训练的人才能够运用它们。数学的训练在这方面可以为人们打一个很好的基础。

2. 精细的分析   我们研究事理，精细的分析是最重要的步骤。在数学中，任何名词的含义都很清晰，命题的措辞都很明白，阅读时必须仔细，解释时必须审慎，才可以发展我们的分析能力。这样学习数学的努力，就是用不到数学理论的人，也不是白费的。

3. 逻辑的推理  逻辑的推理，无疑的，是近代化数学的中心思想。有许多唯心主义的数学家以为全部数学可以归纳于形式逻辑的定律。除了逻辑思维以外，数学里竟然没有特殊的主题。在另一方面，从辩证唯物主义的立场出发，原来对于形式逻辑不能十分信任的，怀疑用数学方法研究自然现象或社会发展的可靠性是很自然的。但是平心而论，上面两种想法都太简单。数学里的推理方法虽然从古典的逻辑定律发展出来，它的内容较之形式的三段论法广大得多。形式逻辑的命辞大都是一个个别的对象纳入于属的概念，或将一个属的概念纳入其他的概念里。数学的命辞多在说出若干对象间的关系，不像逻辑命辞的简单。数学的推理方法尽可能地谨严，也不像三段论法的呆板。用它来研究自然现象或社会发展，实在是很便利的。数学的论证注重定理成立的必要条件与充分条件，尤其与唯物辩证法之精神相合符。在几何学里，证明一个定理后，常常要考虑到它的逆定理是否真确。倘使是真确的，必须要另外给它证明。在代数学与解析学里，我们建立一个定理必须审查这个定理成立的条件是必要的，还是充分的。假如是充要的，必须要分别证明。这两种推理程序上虽然不同，在方法上是同样谨严的。在“如有 M 必有 U ”的定理内，“有 M”为“有 U”的充分条件。它的逆定理“如有 U 必有 M ”与否定理“如无 M 必无 U ”应当同时成立或同时不成立。否定理成立时，“有 M”当然是“有 U”的必要条件，不成立时，“有 M”即不是必要条件。慎思明辩的工夫在数学里是决不放松的。一般不学无术的人常常错认一个充分条件为必要，或一个必要条件为充分，要他辨别是非，说话合理，是难乎其难的。

4. 概括的规律或定理   在初中数学课程内，假如可能的话，我们常常要总括几个特殊问题的解决方法，建立起有普遍适用性的规律。不从经验或常识直接导出的规律，须要逻辑的推理证明的，我们叫它做定理。在高中数学课程内，我们还要聚集性质相近的定理总结到一个更其普遍的定理。这样寻求总结的心思在日常生活中与学习任何课程是都是需要的。又是在数学课程内特别看中，训练比较容易。

其他如讨论函数相关、率动率、极大与极小、平均数等等的时候，所用的数学方法，都与我们平常的思维方法有或多或少的联系。

总之，中学数学教学的训练价值决不在它的实用价值之下。一个受过中等教育的人，数学知识与技能可以很少用到，或者竟毫无用处，四五年后一齐忘却了。但是数学方法的训练，可以转移的部分，还是一生受用不尽的。


钱宝琮《数学的训练价值》（作于 1950 年代未刊行手稿）

《中国数学史话》的出版

1952 年院系调整之后，综合性的浙江大学被拆分，仅保留了部分工科专业，取消了数学系编制，更谈不上数学史教学与研究。钱宝琮没有与苏步青、陈建功等一起转入上海复旦大学，而成为浙大公共科目之一的数学教研组教授，仅负责一、二年级工科学生的微积分教学，他在浙大开设二十余年的数学史课程寿终正寝。但他初心不改，没有放弃毕生的追求，继续以整理中国数学史为己任，还萌发去“历史研究所里专做中国数学发展史与天文学发展史研究工作”的念头。[27]

为满足社会需求，钱宝琮利用业余时间在杭州、上海和北京为中学教师和师范院校师生开设数学史讲座，在《数学通报》、《数学教学》等刊物发表数学史论文，还为《数学通报》审阅数学史投稿多篇。

孙泽瀛（1911—1981）是钱宝琮在浙江大学文理学院开办时招收的数学系首届本科学生。从那时起，师生间便产生了深厚的学术情感。他们曾于 1939 年一起作为教育部中等学校教员暑期讲习会的讲师到贵阳花溪给中学教师传授数学史和中学数学教学法。

孙泽瀛于 1951 年 4 月受命筹建华东师范大学数学系。如何办好师大数学系，作为系主任的他有许多的思考。他认为在建设新中国高等师范数学教育体系的同时，必须树立起“数学史为中学教师服务”的思想，注重学生的数学史教育。他创办并主编了《数学教学》杂志，认为那应该是师范院校为中小学数学老师所做的实事。老师钱宝琮的一篇数学史论文《盈不足术的发展史》，被确定为《数学教学》发刊号的首篇论文。

1955 年 3 月，应孙泽瀛之邀，钱宝琮来到上海，为华东师大数学系高年级学生和教师讲授中国数学史，为期一个月。2003 年，张奠宙在给笔者的电子邮件中写道：“钱宝琮先生来华东师范大学是 1955 年 3 月，只来一次。我那时是研究生。我们全部参加听讲。音容至今清晰可忆。”

沈康身（1923-2009），1945 年毕业于中央大学土木工程系，1954 年起，任教于浙江师范学院。经师院数学系系主任徐瑞云介绍，师从数学史家钱宝琮（虽然师生二人不在同一学校）。次年，按照徐瑞云的安排，沈康身陪同钱宝琮乘火车到上海，全程照顾老先生在华师大的生活起居，随班听课，从此走上数学史研究之路[28]。他学习努力，进步很快，第二年，就在《数学通报》第 6 期发表论文《中国古算题的世界意义》[29]。1965 年，他的另一篇科学史论文《我国古代测量技术的成就》发表在钱宝琮主编的《科学史集刊》第 8 期。

1955 年 9 月，钱宝琮又去上海师专给师生作《算术教材中祖国数学家的成就》报告。开场白如下：“祖国数学家不是仅仅对于算术有成就，初等数学中不论代数和几何都是有伟大贡献的，但因时间关系，今天只讲有关算术的一部分，其他方面，将来有机会再来报告。在算术方面，几乎每一章节都有祖国古代数学家的辉煌成就，在数学发展史上值得我们夸耀的。”报告分记数法、乘除法则、分数、十进小数概念、比例问题和算术难题等六个方面加以细说，经师专教师范际平纪录整理后发表于《数学教学》第2期。[30]

傅种孙（1898—1962）还在北京高等师范学校数理部二年级读书时，就以新学到的现代数学观点、符号、公式，钻研中国古算，写出一篇《大衍（求一术）》发表在北京高师数理学会办的《数理杂志》（1918 年）第一期上。这是我国学者用现代数学观点研究传统数学最早的论文之一，影响很大[31]。李俨曾谦虚地说：“我在《大衍术》这篇文章的感动下，才决心把中国古算史整理出来。”[32]钱宝琮也在给李俨的书信中指出：“该篇虽甚简略，而创以代数证明旧法则新颖可喜也。”[33]钱还在其早期的数学史论文《求一术源流考》节录了傅种孙《大衍术》的证法。[34]

傅种孙重视师范院校的数学史教育，认为中学数学教师应具备数学史素养，大学数学课程必须涵盖数学史内容。1955年，北师大数学系因数学史教学需要，决定与中国科学院争调钱宝琮。时任副校长傅种孙让数学系白尚恕给教育部干部司起草一份呈文，“请调钱宝琮教授到我校任教。”[35]虽然此事未能成功，钱宝琮于 1956 年 4 月在竺可桢的安排下，奉调至中国科学院历史研究所，但北师大增设数学史课程的计划没有改变。傅仲孙、白尚恕得知钱宝琮抵京后，专程前往历史所，正式邀请他到北师大兼课，为数学系三、四年级学生和本校中、青年教师开设“中国数学史”，每周讲课两学时。老先生慨然允诺。考虑他年迈，腿脚不得力，北师大以副校长专车负责接送。白尚恕回忆说：“钱先生所授‘中国数学史’课，共讲一个多学期，始告结束。在讲授中，钱先生虽然满口浙江嘉兴话，但他以生动的语言、深入浅出的词汇，博得听课者全神贯注、专心听讲。”[36] 时任《数学通报》特约编辑的钟善基 2003 年给笔者的书信有云：“老前辈每次来我系讲学，我都拜听不误，因而也可觍颜称老先生的受业者了”。

在给北师大的授课时，钱宝琮亲身感受到学生们那股向科学进军，急迫希望了解祖国历史上的科学成就，研究各门科学的发展历史的热情。为了帮助有中等文化程度的年轻人了解我国古代的数学遗产，他决定将自己所授“中国数学史”讲义加以修订、整理成《中国数学史话》一书，交由中国青年出版社出版。


钱宝琮《中国数学史话》1957 年出版

他的序言指出：

祖国古代的数学是自己发展起来的。古代数学家的伟大成就还传播到国外，做了有世界意义的数学发展的先驱。本书的第一节概括地叙述中国初等数学发展的史实，最后一节总结出中国数学的特征，其他各节写出了中国数学各个主要部分的历史发展。目的在使读者对祖国优越的数学传统有初步的认识。关于十七世纪初年以后，西洋数学流传中国，清代数学家在高等数学方面的光辉成就，本书不加讨论。

在中国数学史研究中，有些问题是细致而复杂的，只有深入的讨论才能取得正确的结论；也有些问题虽然经过考证有了一定的结论，现在还不能作为定论。为了适应青年读者的要求，本书只介绍一些我自己认为满意的结论，琐碎的考据文字概从省略。[37]

1957 年 12 月，《中国数学史话》正式出版。不到半年时间，一万多册书基本售磬，中国青年出版社又于 1958 年 6 月第二次印刷发行。钱宝琮也增写了如下“重版序言”：

为了本书的再版，重新校读一遍，就下列三方面有 些修改：（1）“五曹算经”和“韩延算书”的编纂年代，（2）“海岛算经”第三题的解释，（3）其他文字的校对。在本书里恐怕还有不少错误，希望读者随时指教。

钱宝琮

1958 年 4 月[38]


2023 年 1 月，上海科学技术出版社重新再版了钱宝琮编著的《中国数学史话》

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《世界数学史》的写作

1957 年 1 月，中国科学院中国自然科学史研究室挂牌成立，钱宝琮与李俨均为研究室的一级研究员。1958 年，钱宝琮趁研究室要求每人自订“个人红专规划”之机，给自己设定了多项工作：“和同志们一起，集体编写《中国天文学史》、《中国数学史》和《世界数学史》，向 1959 年国庆节献礼。”[39]《中国数学史》随后立意编撰，研究室成立了由钱宝琮、严敦杰、杜石然、梅荣照等四人编写小组，钱为主编。1964 年 11 月，《中国数学史》由科学出版社正式出版，并在波兰华沙举行的中国图书展览，获得广泛赞誉，被吴文俊“堪称为少见的世界性名著”。[40]

根据自己所订的“个人红专规划”，钱宝琮于 1958 年 7 月，建议研究室集体编写一部浅近的世界数学史，把重点放在初等数学的发展史方面，说明中学数学教科书（包括算术、代数、几何、三角、解析几何）中诸多内容的来源，以供中学教师教学参考。这是钱宝琮继出版《中国数学史话》之后，又一次提出编写通俗的数学史，在中学及广大科学爱好者中普及数学史教育。

然而，经过三天的反复辩论，研究室未能采纳他的提议。钱宝琮并未气馁，于 1959 年春，又主动与杜石然、梅荣照二人商议，分工合作编写《算术史》、《代数史》和《几何学史》等浅近数学发展史。初稿形成后，钱宝琮还亲自联系出版社，谋求早日出版。由于得不到当时领导的重视，这些著作不但不能出版，最后连钱宝琮写的 6 万多字《算术史》手稿也莫名其妙地遗失了[41]。

1962 年 9 月，何绍庚考取钱宝琮的数学史专业研究生。钱为学生制订了详细的学习计划，指定把郭沫若的《中国史稿》、王力的《古代汉语》以及《中国数学史话》、《数学简史》等作为必读书目。除了讲解中国古代数学文献外，还为他亲授天文历法和音律课程，不厌其烦地解答疑难问题。他希望何绍庚“在学术上要敢于判断，作出合理的结论”，“把各种说法罗列在一起是不好的，应该仔细研究加以鉴定，把自己的结论讲出来”[42]。他还说：“能用分析也能用代数做的题目，就用代数做；能用代数也能用算术做的题目，就用算术做，尽量用简单的、初等的方法，以接近古人的思想。”

在谈到中学教师为什么要研究数学史时，钱宝琮对何绍庚说：“搞我们这个专业并不脱离中学实际。中学教师需要教学法，要教好学生，应该知道数学史，了解一个新的概念产生的客观条件，是如何从实践中来，不过现在还没有很好的参考书。过去西方对我国古代数学不太重视，其实，有许多东西是通过印度、阿拉伯传过去的。现在苏联等国家开始注意研究我国，但资料还不够，我们应该提供充分的资料。为此，我们的方向是面向国际，还要为中学编出好的参考书。师范大学应该开数学史课，但因为现在没人教，也没有好的参考书，所以还开不成。”他还说：“研究历史应该用比较的方法，注意文化交流，彼此影响，看看哪些是在我们首先发现的，找出来公布于世，这是进行爱国主义教育的一个方面。”[43]

1966 年 6 月，“文化大革命”全面展开，自然科学史研究室所有的学术研究戛然而止。钱宝琮首当其冲，被戴上“资产阶级反动学术权威”、“祸国殃民的牛鬼蛇神”等帽子，遭到批斗，他主编的《中国数学史》成为了批判重点，其寓所也被抄家二次。

已 75 岁高龄的钱宝琮每天上午必须清扫研究室院子，倒垃圾，抬煤渣，然后“被最大限度地孤立起来”，在指定的房间内，阅读革命导师著作，背诵“老三篇”；写自我批判、交代材料。“不许参加学习讨论，不许做些科学史研究工作”，令他“思想上非常烦闷”。他与家人不止一次地说：“我个人被批是小事，大家整天搞运动，不搞研究，长此下去，怎么得了？”

“文革”期间，钱宝琮念兹在兹的仍然是被中断了的数学史研究。1969 年 2 月，他向驻自然科学史研究室工宣队、军宣队提交了《我愿意写一部浅近数学的发展史而不能达到目的》的报告，对他筹划了十年多的《世界数学史》一书不能出版深表遗憾。全文如下：

我很早就有一个志愿，要写一部《世界数学史》，主要说明中学数学教科书（包括算术、代数、几何、三角、解析几何）中的教材的来源。58 年 7 月，我在研究室中提出了这个问题，我室全体研究人员开会讨论，大众的意见认为这样的世界数学史不写到现代的高等数学，不能赶上国际水平，世界数学史不应该仅为中学生服务，也应该为大学生和研究人员服务。我坚持我原来的意见，一则现代的高深的尖端数学，我不了解，当然写不出它的发展过程；一则一般工农群众现在还不需要这些高深数学，不必知道它的发展历史。这样，反复辩论了三个上下午，不能达到一个结论。

从 59 年开始，我同杜石然、梅荣照二同志商议，怎样分工合作写浅近数学史为中学老师服务。决定：我写《算术史》，杜石然写《代数学史》，梅荣照写《几何学史》。这三部书初稿完成后，请求人民教育出版社审查提意见，人民教育出版社因教科书的编辑工作太忙，不接受我们的请求。又邮寄上海教育出版社审查，上海教育出版社以为这种历史书，中学老师没有时间阅读，不必出版，63 年 7 月将原稿退还。64 年科普出版社来我室征求稿件，数学史组就将这三部的初稿送去。他们居然为这三部书提了很多条审查意见，我们也接受了他们的意见，修改了。但到再和他们接洽时，还是不能出版。

我室数学史组所写的《中国数学史》和《宋元数学史论文集》是脱离人民群众的。《算术史》、《代数学史》、《几何学史》三部小书写得比较通俗，并与一般工农群众所需要的数学知识相结合，可以为中学数学教员服务，但因为种种原因不能出版。以上所述是三部书不能发表的客观原因，但这三部书的初稿原来没有写得很好，应当是不能出版的一个重要原因。现在工农中学教育改革正在进行，数学教材要少而精，追溯这些教材的发展历史还是需要的，浅近数学的世界史还应该重新写过。

钱宝琮

1969 年 2 月 7 日[44]


钱宝琮《关于<中国数学史>》和《我愿意写一部浅近数学的发展史而不能达到目的》报告手迹（1969年）

然而，世事难遂人愿。送上的报告石沉大海，令钱宝琮深感失望。当年底，工宣队、军宣队要求研究室所有研究人员下放至河南息县“五七干校”改造，钱宝琮因年弱病残，被迫“疏散”离开北京，暂居苏州。1971 年春，他中风卧床，无法继续编纂《世界数学史》。1974 年 1 月 5 日，他带着遗憾，在苏州病逝。

《数学史选讲》的影响

钱宝琮临终前，叮嘱儿子钱克仁写信去北京索要自己的《算术史》书稿和《骈枝集》诗稿，且期待儿子能赓续他的世界数学史研究。钱宝琮去世后，钱克仁多次前往科学史所查寻《算术史》原稿，无果，只索回了《骈枝集》手抄本。

钱克仁（1915—2001）于 1934 年考入浙江大学土木工程系，1936 年转入浙大数学系，师从苏步青，1940 年浙大数学专业毕业后先后在贵阳、重庆、嘉兴、绍兴、南京与苏州等地的中学、大学任教，将毕生精力献给了中学数学教育和大学师范教育，曾受聘副教授职称。他调入南京师范学院和江苏师范学院（苏州大学的前身）后，一直从事中学数学教育与实践的教学工作，研究数学教学法。在父亲的指导下，钱克仁利用课余时间，潜心钻研中外数学史，译读卡约黎（F. Cajori）、史密斯（D.E. Smith）、斯特罗伊克（D.J. Struik）等的世界数学史名著，撰写数学史研究心得。1979 年起着手编写数学史讲义，重点介绍与中小学数学教材关系密切的中外数学史料。讲义还将中外数学家对同一课题的研究成果一并讲述、互相比较，让学生了解中西方古代数学的优、缺点，从而弥补以往中外数学史书籍各讲一方面的缺陷，纠正过去国外数学史著作中对中国古代数学成就的误解或偏见。1981 年讲义编好后，钱克仁应邀出席中国数学会数学史分会的成立大会，在会上即席发言，阐明了自己对数学史教育与普及的意见和做法[45]。


钱克仁著《数学史选讲》（江苏教育出版社 1989 年）

虽然钱克仁没有完全按照父亲的临终嘱托，续写浅近世界数学发展史，但是他的“数学史选讲”讲义获得了同行们的好评。从 1981 年到 1985 年，他在苏州大学讲课六年，每年选讲若干课题，油印的讲义都适时加以补充订正，在江苏省内外反响较大，被邀请去南京、无锡、苏州、扬州及嘉兴的中学、大学、师范院校或教师进修学校演讲。经过多次反复修改后，1989 年，《数学史选讲》终于由江苏教育出版社出版，数学史家严敦杰先生为此写了序言。钱克仁的前言有云：

选讲，不是对数学史做全面的讲述，如果将数学发展的历史按民族来分（如中国数学史、希腊数学史等），或按科目来分（如算术史、几何史等），这都是可以的；但我认为对于多数读者来说，尤其是中、小学教师来说，不如采用专题选讲的方法更为实惠一些。我真诚希望《选讲》的出版能实现这一心愿。[46]

《数学史选讲》共有 15 讲，内容大致分成三类：（1）《算经十书》，特别是《九章算术》，欧几里得的《几何原本》等数学名著的简明概述；（2）对于圆周率、几何三大问题、二项定理、孙子定理、素数、高次方程等专题，综合叙述了中、外数学家的研究；（3）简单介绍三角、解析几何、微积分各科的历史发展。

《数学史选讲》于 1989 年 1 月出版发行，当年 11 月就被中国科学技术史学会评选为首届全国科技史优秀图书二等奖。2016 年，哈尔滨工业大学出版社又将《数学史选讲》重版再印，并在原书基础上，增加篇幅，将钱克仁生前发表的和未发表的部分数学史论文、译文选录其中。2021 年，哈工大出版社又以“中外数学史研究丛书”之一的《中国古代数学史研究——数学史选讲》再一次印刷出版。

严敦杰（1917-1988）在《数学史选讲》序言中指出：“近年来，越来越多的数学教育工作者已认识到在数学教育中增加数学史内容的重要性。一般的数学史料可以使数学教育内容变得更加生动有趣；中国古代数学的伟大成就可以激发和提高民族自豪感；数学发展史上的高潮及其成功的经验可以作为今后发展数学的借鉴，而低潮和失败的教训可以帮助我们今后少走一些弯路；历史上的数学思想和数学方法可以给人以启示。一个数学工作者和数学教育工作者，如果不了解他所从事的数学工作的历史和现状，是很难在这个领域有所创造或引导他的学生走上正确的道路的。”[47]

差不多 100 年前，钱宝琮将数学史教育引入了课堂。他以整理中国数学史为己任，并为之著书立说，身体力行，开辟了在中学、大学世界数学史教学与研究的道路。100年后的今天，钱宝琮及其门人弟子倡导的数学史服务于中学数学教学理念日益深入人心，数学史融入数学教育，也逐渐成为我国数学教育界的共识。相信九泉之下的钱宝琮一定会感到无比欣慰的。

2022 年 6 月 25 日草于南京银达雅居

致谢：对张剑、王天骏、郭金海、冯立昇、钱志平等先生给予拙文的指导、帮助谨表真诚的谢意！

注

[1]钱宝琮.1949 年以前的我的简单履历（手稿 22 页笔者从孔夫子旧书网购得）第 6-7 页
[2]钱宝琮.钱宝琮诗词.浙江大学校友总会,1992:66.
[3]梅荣照.怀念钱宝琮先生——纪念钱宝琮先生诞辰90周年.科学史集刊第 11 期。1984 年.
[4]吴文俊.《纪念李俨钱宝琮诞辰 100 周年国际学术讨论会贺词》《李俨钱宝琮科学史全集》（代序）1998 年.
[5]华罗庚.《钱宝琮科学史论文选集》序.《钱宝琮科学史论文选集》北京科学出版社 1983 年.
[6]浙江暑期学校近讯.时事新报 1923 年 7 月 27 日.
[7]房鑫亮.忠信笃敬——何炳松传.杭州浙江人民出版社 2006:63.
[8]《天津南开大学一览》南开大学出版 1926 年第 90 页.原件藏于南开大学档案馆.
[9]吴大任.理科学会周年纪念册.南开大学出版天津 1928:32.
[10]陈省身.一代学人钱宝琮序言.一代学人钱宝琮.杭州浙江大学出版社 2008:1.
[11]1927 年 4 月 29 日钱宝琮致李俨信，原件藏于中国科学院自然科学史研究所图书馆.
[12]钱宝琮.印度算学与中国算学之关系.南开周刊 1925(1)16:4.
[13]钱宝琮.《算学史讲义》（作于 1930 年代）一代学人钱宝琮.杭州浙江大学出版社 2008:22-55.油印原稿现存浙江省图书馆古籍部.
[14]吴静安:《数学史》听课笔记节选.一代学人钱宝琮.杭州浙江大学出版社 2008:479.
[15]刘操南.读《草〈戴震算学天文著述考〉毕系以二章》──纪念钱师琢如算学教学之一片断.中国科技史料.1997(18)2:44-45.
[16]谷超豪.回忆钱宝琮老师.一代学人钱宝琮.杭州浙江大学出版社 2008:321.
[17]今日“学术广播”钱宝琮教授讲“数学在中学教育上之地位”.浙江大学日刊第 162 期 1937:645.
[18]钱宝琮.论现行中学数学课程.贵阳《中央日报》1943 年 10 月 22-23 日
[19]乐嗣康.数学发展史（听课笔记）.一代学人钱宝琮.杭州浙江大学出版社 2008:497-534.
[20]乐嗣康附识.数学发展史（听课笔记）.一代学人钱宝琮.杭州浙江大学出版社 2008:534.
[21]钱宝琮.中国古代数学的伟大成就.科学通报.1951(2)10:1043.
[22]吴文俊.中国古代数学对世界文化的伟大贡献.数学学报 1975(18)1:18-23.
[23]钱宝琮.论现行中学数学课程.贵阳《中央日报》1943 年 10 月 22-23 日
[24]钱宝琮.数学的实用价值.浙江大学湄潭分校纪录第二辑（1942年）.互见一代学人钱宝琮.杭州浙江大学出版社2008:123.
[25]钱宝琮.数学的实用价值（作于 1950 年代未刊讲演手稿）
[26]钱宝琮.数学的训练价值（作于 1950 年代未刊手稿）
[27]钱永红.钱宝琮与他主编的《科学史集刊》.科学新闻.2017(541):61.
[28]沈康身.历史数学名题赏析上海教育出版社 2002 年.前言有云：1955 年之春，钱宝琮先生在上海华东师范大学讲学，时校园池塘清浅，繁花如锦。老师好友李锐夫、程其襄、孙泽瀛三位常来聚晤。四教授开怀畅谈数学古今中外事，笔者忝叨末座，对倜傥宏论中有关历史数学名题对中小学生的示范、启迪、诱导作用尤有所悟：作一个有心人，力图在这一领域内有所为。
[29]沈康身.中国古算题的世界意义.数学通报.1957(6):1-4.互见初等数学史.科学技术出版社.1959:40-48.
[30]钱宝琮.算术教材中祖国数学家的成就.数学教学.第二期 1955:13-17.
[31]张友余.第五篇“五四”时期的数理学会和数理杂志及人才成长.二十世纪中国数学史料研究（第一辑）.哈尔滨工业大学出版社 2016:52.
[32]赵慈庚.傅种孙先生的学术成就.数学通报 1981(5):21.
[33]1932 年 9 月 4 日，钱宝琮致李俨信。
[34]钱宝琮.求一术源流考.学艺.1921(3)4:1-16.
[35]白尚恕.追忆李、钱二老二、三事.纪念李俨钱宝琮诞辰 100 周年国际学术讨论会发言稿.1992 年 8 月.
[36]白尚恕.追忆李、钱二老二、三事.纪念李俨钱宝琮诞辰 100 周年国际学术讨论会发言稿.1992 年 8 月.
[37]钱宝琮.《中国数学史话》序言.中国数学史话.北京中国青年出版社 1957 年
[38]钱宝琮.《中国数学史话》重版序言.中国数学史话.北京中国青年出版社 1958 年
[39]钱宝琮.个人红专规划.一代学人钱宝琮，杭州浙江大学出版社 2008:210.
[40]梅荣照.怀念钱宝琮先生——纪念钱宝琮先生诞生 90 周年.科学史集刊 11:8.
[41]梅荣照.钱师的浩然正气永远鼓舞着我们为科学事业而奋斗——纪念钱宝琮先生去世 31 周年.一代学人钱宝琮.杭州浙江大学出版社 2008:291.
[42]何绍庚.共图薪火相传,纪念钱宝琮先生诞辰一百周年.中国科学史通讯.第 5 期 Newsletter for the History of Chinese Science No.5,1993:186.
[43]钱永红.钱宝琮学术年表.中国数学史.北京商务印书馆 2019:449-450.
[44]钱宝琮.我愿意写一部浅近数学的发展史而不能达到目的.一代学人钱宝琮.杭州浙江大学出版社 2008:214.
[45]赵澄秋.全国数学史学术讨论会在大连召开.科学史研究动态.中国科学院自然科学史研究所.第十三期 1981 年.
[46]钱克仁.数学史选讲前言.江苏教育出版社 1989 年.
[47]严敦杰.数学史选讲序.江苏教育出版社 1989 年.

本文发表于《中国数学史话》附录一（上海科学技术出版社 2023 年）第 132-160 页，转载自和乐数学公众号。

好玩的数学 2023-08-10 07:57 发表于江西