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本帖最后由 jzkyllcjl 于 2022-9-11 00:03 编辑
第一,为了得到原函数在在x=2处的函数值,根据这个双曲线有两个分支;需要计算在第一象限的双曲线分支在x取值区间[1,2]上的线段长度,根据例6的方法,首先可以算出:左端点出被积函数值为√ 2 ,右端点处处 被积函数值为√ 17/16 ,所以在这个区间上定积分介于√ 7/16 与 √ 2之间。然后为了得到这个区间上定积分的较精确值,可以将积分区间[1,2]等分为10等分,100等分, 10^n 等分,根据被积函数与原函数的连续性、一致连续性与被积函数的单调递减性,可知:这些小区间上的最大值,大多小于原有的最大值,这些小区间上的最小值,大多大于原有的最小值,所以这些小区间上定积分取值区间的和在原有取值区间之内,而且比原有取值区间小,即精确度在提高。而且对这个定积分计算的任意小误差ε,都有自然数N存在,使 当10^n<N 时,被积函数在每个小积分区间上的定积分值取值之差小于ε/10^n ;于是在积分区间[1,2]上的定积分取值区间之差小于ε。当n趋向于+∞时,ε趋向于0.,积分区间[1,2]上的定积分是这样的极限性理想实数,这个理想实数一定大于√17/16 。这个理想实数与√2 的和,就是原函数在x=2处的的函数值,但n只能趋向于 +∞,,n不能达到+∞;只能得到n足够大时的这个定积分与原函数的足够准近似值。还可以求出区间[2,3]与任何自然数n的区间[[n,n+1]上的定积分都大于1,但越来越接近于1,于是在区间[1,,+∞)上的广义积分为+∞。
笔者的这个定积分及其原函数的数值计算方法,使用了恩格斯的“只能从现实中来说明 ”的唯物辩证法。具体来讲,首先肯定了:定积分中的被积函数表示了一小曲线,定积分表示的是“在x坐标轴上、下曲边梯形面积的代数和(就这个具体例子来讲,它还表示了双曲线的弧长)的现实意义”;其次需要知道:根据数学具有抽象性的意义,笔者不仅承认了“变上(下)限定积分就是被积函数的原函数,原函数的数值是一理想实数的做法”,而且进一步使用了“这个理想实数值的计算需要需要使用满足误差界数列 近似值数列取极限的方法进行;但又肯定了:n只能趋向于 +∞,,n不能达到+∞;只能得到n足够大时的这个定积分与原函数的足够准近似值的事实”。这就是原函数数值计算中的“精确与近似、无限与 有限之间的相互依赖、相互斗争对立统一的唯物辩证法算法的性质”,这个性质说明:原函数在各处的取值是有理数或无理数的问题,常常无法确定,虽然,有时候得到笔者的这个定积分及其原函数的数值计算方法,使用了恩格斯的“只能从现实中来说明 ”的唯物辩证法。具体来讲,首先肯定了:定积分中的被积函数表示了一小曲线,定积分表示的是“在x坐标轴上、下曲边梯形面积的代数和(就这个具体例子来讲,它还表示了双曲线的弧长)的现实意义”;其次需要知道:根据数学具有抽象性的意义,笔者不仅承认了“变上(下)限定积分就是被积函数的原函数,原函数的数值是一理想实数的做法”,而且进一步使用了“这个理想实数值的计算需要需要使用满足误差界数列 近似值数列取极限的方法进行;但又肯定了:n只能趋向于 +∞,,n不能达到+∞;只能得到n足够大时的这个定积分与原函数的足够准近似值的事实”。这就是原函数数值计算中的“精确与近似、无限与 有限之间的相互依赖、相互斗争对立统一的唯物辩证法算法的性质”,这个性质说明:原函数在各处的取值是有理数或无理数的问题,常常无法确定,虽然,有时候得到笔者的这个定积分及其原函数的数值计算方法,使用了恩格斯的“只能从现实中来说明 ”的唯物辩证法。具体来讲,首先肯定了:定积分中的被积函数表示了一小曲线,定积分表示的是“在x坐标轴上、下曲边梯形面积的代数和(就这个具体例子来讲,它还表示了双曲线的弧长)的现实意义”;其次需要知道:根据数学具有抽象性的意义,笔者不仅承认了“变上(下)限定积分就是被积函数的原函数,原函数的数值是一理想实数的做法”,而且进一步使用了“这个理想实数值的计算需要需要使用满足误差界数列 近似值数列取极限的方法进行;但又肯定了:n只能趋向于 +∞,,n不能达到+∞;只能得到n足够大时的这个定积分与原函数的足够准近似值的事实”。这就是原函数数值计算中的“精确与近似、无限与 有限之间的相互依赖、相互斗争对立统一的唯物辩证法算法的性质”,这个性质说明:原函数在各处的取值是有理数或无理数的问题,常常无法确定,虽然,有时候得到√2,它是无理数 。但也可以根据极限值达不到的性质,使用足够多位的十进位小数近似表示它。总结这一节对导数、定积分原函数的计算的讨论,微积分学的阐述,也需要使用实事求是的无穷与有穷、理想与近似相互依赖的对立统一关系。这个讨论,再次说明:数学理论是描述与研究现实数量大小及其关系的科学;实践不仅是数学理论的基础,而且还是检验数学理论的最终标准;数学理论的阐述,不能单靠形式逻辑,还需要使用:理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小、形与数、直与曲之间的对立统一、分工合作的唯物辩证法进行。恩格斯的“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果,但他们……。他们忘掉了:全部所谓纯粹数学都是研究抽象的,它的一切数量严格说来都是想象的数量,一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的,……,而只能从现实中来说明,……。而这样一来,问题就说明了[5]”的论述应当被尊重。 , |
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