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关于不定方称x^2-11y^2=1的所有整数解?
解:变形为x^2-1=11y^2,数列x^2-1除以11的余数的规律:
x^2: 1 4 9 16 25 36 49 81 100 ……
x^2-1: 0 3 8 15 24 35 48 80 99 ……
余数: 0 3 8 4 2 2 4 8 0 ……
由于余数为0的项有x=11a+1,11a+10
则有11y^2=(11a+1)^2-1=121a^2+22a (1)
(11a+10)^2-1=121a^2+220a+99 (2)
由(2)式得a=0时,y=3,
由(1)式得a=18时,a(11a+2)=3600=y^2,则y=60,
递推公式:
由于a=m^2为平方数时,y=(11a^2+2a)^(1/2)=m(11m^2+2)^(1/2)恒为无理数(由于根号内的式子,符合非平方数公式),故a必须取非平方数,如a=2m^2,则有:
y=(11a^2+2a)^(1/2)=2m(11m^2+1)^(1/2),令m=y1=m1=3,则y2=m2=60,y3=m3=23880,y4=m4=3782639760,
y=2m(11m^2+1)^(1/2)= 3, 60,23880, 3782639760,……
x=(11y^2+1)^(1/2)= 10,199,79210,12545596810,……
有(2)得y=1197,x=3970
由递推公式可得到无穷解,但不是全部解。
此为本人2001。6。所解,其他还没有解出,方称见于旧版本《简明数论》潘承洞,潘承彪著,说该方称只能用实验的方法得出有限解,该方称有无穷解,有的书已证明,没有见到解的普遍公式,希望赐教!不知有没有用?
能解决问题才显神功 |
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