[讨论]哥德巴赫猜想是正确的

雷明85639720

哥德巴赫猜想是正确的
雷  明
（二○一一年十月十一日）
“1＋1”即哥德巴赫猜想。也就是 “任何大于等于4的偶数都是两个素数的和”，或者说“任何大于等于4的偶数都可以写成两个素数的和的形式”。这里只所以有条件“大于等于4”，关键是哥德巴赫认为“1”不是素数，而“2”又是唯一的一个偶素数的原因。
一、计数单位“1”也是素数
“1”是不是素数呢，从素数的定义便可知“1”是天经地义的素数。素数的定义是：只能被1和它本身整除的自然数叫素数。这里的“1”，既是一个自然数，也是一个“计数单位”。试想一下，如果没有这个计数单位“1”，能产生后面那么多以至无穷多的自然数吗，能有后来的分数、小数、整数、负数、有理数、无理数和复数吗，这些数里面不都包含有这样的计数单位“1”在里面吗。可以说没有计数单位“1”就没有“数”学。按照素数的定义，“1”当然也是只能被计数单位“1”和它本身所整除的自然数，当然1就应该是素数。现在我们可以把素数用这样的公式来表示：即
    素数 ＝ 计数单位“1”×素数本身的数值
这就意味着是素数的自然数只能被计数单位“1”和它本身所整除。当然自然数1和2分别就可以写成
        1＝“1”×1 和 2＝“1”×2
其中带引号的“1”是计数单位，另一个不带引号的1和2则是素数本身的数值。所以1和2都是素数。
为什么有人把1排斥在素数之外呢，这是因为他们认为“1乘以任何数的值都是不变的”，以及“若干个1相乘之积仍然是1”的原因，他们认为把任何数进行质因数分解时，写在最前面的1是没有用的，以及1的个数再多也是没有用的。我们说，最前面的那个1，它既是质因子1本身，又是计数单位，既不能少，也不能随便乱加。例如30分解质因数的结果是30＝1×2×3×5，其中的1、2、3、5都是质因数，也都是自然数30的质因子，任何一个都是不能去掉的，若去掉了一个，30的质因数分解就是错误的。但也不能因为1乘任何数的值都不变，就随意的增加1的个数，因为30（以及任何整数）的质因子中只有一个1，它并不象60分解质因数的结果“1×2×2×3×5”中有两个2那样。任何整数的质因数分解中，必须要有一个质因子1，这个1既是一个质因子，又是计数单位。由此可以看出，虽然各种各样的数中都包含（隐含）着计数单位“1”，但只有在整数的因式分解中才能体现得出来。平时我们书写1、2、30、60时，只是写出1、2、30、60就可以了，但在对这几个数进行质因数分解时，则必须写成：1＝1×1，2＝1×2，30＝1×2×3×5，60＝1×2×2×3×5等。从这里可以看出，我们上面的那个公式“素数＝计数单位“1”×素数本身的数值”是正确的，这实际上就是素数（也是一个整数）的质因数分解式。
从以上可以看出，素数也可以这样定义如下：质因子只有1和它自身的自然数就是素数。1的质因数分解式为1＝1×1，这里的第一个1是计数单位，第二个1既是质因子又是自然数1的本身，所以1是素数，且是奇素数，是值最小的一个素数。有一些奇数质因数分解的结果，质因子都只有1的它本身，所以这些奇数都是素数。偶数2的质因数分解式为2＝1×2，其中的2既是质因子又是自然数2的本身，所以2也是素数，且是只一的一个偶素数。而质因子除了1以外，还有别的质因子但并无它自身的自然数则是非素数，或者叫做合数。除了2以外的其他大于等于4偶数质因数分解的结果中都至少有两个以上的质因子2，但却并无偶数自身，如4＝1×2×2，6＝1×2×3等等；还有一些奇数的质因数分解结果中除了1外，也还有别的质因子，但并无它自身，如9＝1×3×3，12＝1×2×2×3。象上面这样的一些自然数都叫做非素数或合数。
因为1 本身是素数，所以上面的哥德巴赫猜想就可以不需要再增加什么条件了，而成为“任何偶数都是两个奇素数的和”，如2＝1＋1，4＝1＋3等等。
二、两个相等的集合
由于计数单位“1”也是属于奇素数，在这种情况下，若把奇素数集合中的任何一个无素都与别的元素相加一次，包括其自身相加的一次在内，可以得到可数个其中所有的元素都是偶数的可数集合。按可数集合的性质，这些可数集合的并集也一定是一个可数集合。现在只要证明这个并集就是所有偶数构成的集合，就可得到任何偶数都是两个奇素数的和的结论。
把上面提到的那个并集用A表示，把所有偶数构成的集合用B表示，已知它们都是可数的无穷集合，并有一一对应的关系，即有A～B，现在要证明的是A＝B。很明显，B一定包含A，所以现在只要证明A也包含B就行了。
B中的偶数有无穷多个，A中的偶数也有无穷多个，所以无论是A还是B，其元素的个数都与自然数的个数一样多，这是因为他们都是与自然数集合等势的可数集合。因此，A与B的一一对应，就应是两集合中具有相同数值的偶数可以进行互相配对。按这一思路，对A与B是同一个集合（即A＝B）的证明如下：
1、采用A与B中的元素相互配对的证明方法（反证法）：
假如A中没有完全包含所有大于等于6的偶数，则在把A和B中相同数值的元素进行配对时，B中就必然有剩余下来的元素，A与B就不可能等势，这与上面所得到的A～B是矛盾的，应该否定假设，A中应该是包含了所有的偶数，即A也包含B。
2、采用对A中元素进行排队的证明方法（反证法）：
根据定理“集合X为可数集合的充分与必要条件是可以把X中的元素按一定的法则f，连续的进行编号：如X＝｛x1，x2，……xn，……｝”。
这就使集合X中的元素与自然数集合中的元素有了一一对应的关系。既然上面得到的并集A是可数集合，那么它一定也能够按某一法则f把其中的元素进行编号，这样A也就可与自然数集合N建立起了一一对应的关系。
如果上面得到的那个并集A就是所有偶数的集合，则其与自然数集合N的一一对应法则f应是
         f：  an ＝ f（n）＝ 2n   （n≥1，n是自然数）
如果A 不是所有偶数的集合，则其中必然会在某处或多处连续缺少一个或若干个偶数。如果A中有多处甚至无穷多处都存在缺少若干个（比如λ个）偶数，这时，集合A与自然数集合N的一一对应法则f则将是由若干个以至无穷个法则构成：即
f1：an＝f1（n）＝2n，    （n≥1，n是自然数）
    ………………
fn：an＝fn（n）＝2n＋2λ （n≥1，λ≥1，n，λ均是自然数）
………………
这时集合A也就被分成了若干个甚至无穷个子集合A1，A2，……，An，A1与自然数集合的一一对应关系是f1，A2与自然数集合的一一对应关系是f2，……，直到fn。子集合A1与自然数集合的一一对应关系f1，显然和所有偶数的集合B与自然数集合N的对应关系是一模一样的，都是f：an＝f（n）＝2n（n≥1，n是自然数），至少可以说A的子集合A1与B也是等势的，或者说A1＝B，或者说 A1和B就是同一个集合，即A1也是一个可数集合，其中就已经包括了所有的偶数。因为A1是A的子集合，所以A中也就包括了所有的偶数，也就有A包含B。所以A也是所有偶数的集合。
    3、A与B是两个相等的集合
在这里的子集合A1就是集合A本身（定理：任意集合都是它自身的子集合），A中包含了所有的偶数在内，一个也不缺少；而A的另外一些子集合A2，A3，……，An，则是若干个以至无穷个空集合Φ（定理：空集合是任意集合的子集合），其中没有任何元素。这与上面所假设的“如果A 不是所有偶数的集合，则其中必然会在某处或多处连续缺少一个或若干个偶数”的前提就产生了矛盾，应该否定假设。到此也就证明了B中的元素也一定都是属于A，即A也包含B，也即B是A的子集合。
    前边有：A中的元素一定都是属于B，即B包含A，也即A是B的子集合（已知）；
现在这里又有：B中的元素也一定都是属于A，即A也包含B，也即B是A的子集合；
我们知道：两个集合相等或者是同一个集合的充要条件是：两个集合互为子集合（也即两个集合互相包含）。这样就有集合A与集合B是同一个集合或者说A与B相等，即A＝B。A与B两集合相等也就说明A、B两集合中的元素全部相同。
三、哥德巴赫猜想的证明
由于无穷集合有一个不同于有限集合的特殊性质：即无穷集合的无穷真子集与该穷集合仍有一一对应的关系。所以自然数集合，奇数集合，偶数集合，素数集合，奇素数集合都是可数的无穷集合，而只有偶素数集合是一个有限集合，其中只有一个元素“2”。
1、哥猜的证明
在上面已经证明了所有的偶数（集合B）都是由两个素数相加而来，那么任何一个偶数也就一定可以写成两个素数的和的形式。
由于原来哥德巴赫猜想中认为1不是素数，加上还有一个唯一的偶素数2，且偶数4可以写成4＝2＋2，这样就可得到任何大于等于4的偶数都是两个素数的和的结论。这与本文一开始所说的哥巴赫猜想原来的内容是一模一样的。所以说就此就证明了猜想是正确的。但这只是证明了哥猜的第一部分。而哥猜测的第二部分“任何大于等于7的奇数都是三个素数的和”就可以在第一部分的基础上很快得到证明。
由于任何大于等于4的偶数都是两个素数的和，两个素数的和再加上一个大于等于3的奇素数，就可以得到一个大于等于7的奇数。如7＝2＋2＋3，9＝2＋2＋5＝3＋3＋3等等。这就证明了哥猜的第二部分也是正确的。
2、哥猜的数学表达式
若用S表示素数，则哥猜的第一部分可表示成：
2n＝S1＋S2                                      （1）
式中n为自然数，n≥2，S为素数，S1＝S2时，S1，S2≥2；S1≠S2时，S1，S2≥3。
给（1）式的两边同时加上一个大于等于3的素数（奇数）S3，则得到：
2n＋S3＝S1＋S2＋S3
因为S3≥3，且是奇数，把上式左边的S3用2n－1（n≥2）表示得：
4n－1＝S1＋S2＋S3
式中n仍为自然数，n≥2，S也仍为素数，S1＝S2≠S3时，S1，S2≥2，S3≥3；S1＝S2＝S3 或S1≠S2≠S3时，S1，S2，S3≥3。
因为当n≥2时，上式中的4n－1就是大于等于7的奇数，所以就有任何大于等于7的奇数都是三个素数的和的命题也是成立的。
n≥2时，4n－1就是大于等于7的奇数的证明如下：
已知：S1＋S2≥4，S3≥3，
两式相加得：S1＋S2＋S3≥3＋4≥7。
证毕。
按习惯表示法，把上式中的4n－1改成2n－1（n≥4）的形式，则上式4n－1＝S1＋S2＋S3就成为：
2n－1＝S1＋S2＋S3
式中n仍是自然数，n≥4，S仍是素数，S1＝S2≠S3时，S1，S2≥2，S3≥3；S1＝S2＝S3 或S1≠S2≠S3时，S1，S2，S3≥3。
四、哥德巴赫猜想是正确的
到此，就证明了哥德巴赫猜想是正确的，即：
1、任何大于等于4的偶数都是两个素数的和；
2、任何大于等于7的奇数都是三个素数的和。
雷  明
二○一一年十月十一日于长安
注：此文已于二○一一年十月十三日在《数学中国》网上发表。

歌德三十年

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雷明85639720

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雷明85639720

谢谢。雷明

zengyong

雷明老友:
    想不到你还研究"1+1"啊.
    你的想法有独创性.但1 是公认的非素数啊.
你的网友

luks

您好！
    您是用“类比证明”法，这种方法给人类无穷无尽的智慧，但它不是可靠的数学证明方法。
    用您的方法，可以设任意两个质数N次方的和组成集合X，就可以证明B包含X，X也包含B。这是错的。否则就有以下结论：
    任意一个大偶数都可表示为两个质数的N次方之和。
    另外，如果1是最少的质数，那么0是偶数，0还是不能表示成两个质数之和。
    您文中还有许多错误，但您的精神令人佩服。

雷明85639720

zengyong网友，你是那个呀。雷明

任在深

下面引用由luks在 2011/11/01 02:45pm 发表的内容：
您好！
    您是用“类比证明”法，这种方法给人类无穷无尽的智慧，但它不是可靠的数学证明方法。
    用您的方法，可以设任意两个质数N次方的和组成集合X，就可以证明B包含X，X也包含B。这是错的。否则就有以下 ...

1º+3º=0º

             正确！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

任在深

>>>1＝“1”×1 和 2＝“1”×2<<<
错！
正确如下：
          P1=1';*1';=1"=1*1"=□
          P2=（√2）&sup2;=2';*2';=2"=2*1"=█=■■。