[讨论]素数与“1＋1”小议

雷明85639720

素数与“1＋1”小议
雷  明
（二○一一年八月二十二日）
“1＋1”即哥德巴赫猜想。也就是 “任何大于等于4的偶数都是两个素数的和”，或者说“任何大于等于4的偶数都可以写成两个素数的和的形式”。这里只所以有条件“大于等于4”，关键是哥德巴赫认为“1”不是素数，而“2”又是唯一的一个偶素数的原因。
1、1是不是素数
“1”是不是素数呢，从素数的定义便可知“1”是天经地义的素数。素数的定义是：只能被1和它本身整除的自然数叫素数。这里的“1”，既是一个自然数，也是一个“计数单位”。试想一下，如果没有这个计数单位“1”，能产生后面那么多以至无穷多的自然数吗，能有后来的分数、小数、整数、负数、有理数、无理数和复数吗，这些数里面不都包含有这样的计数单位“1”在里面吗。可以说没有计数单位“1”就没有“数”学。按照素数的定义，“1”当然也是只能被计数单位“1”和它本身所整除的自然数，当然1就应该是素数。现在我们可以把素数用这样的公式来表示：即
    素数 ＝ 计数单位“1”×素数本身的数值
这就意味着是素数的自然数只能被计数单位“1”和它本身所整除。当然自然数1和2分别就可以写成
        1＝“1”×1 和 2＝“1”×2
其中带引号的“1”是计数单位，另一个不带引号的1和2则是素数本身的数值。所以1和2都是素数。
为什么有人把1排斥在素数之外呢，这是因为他们认为“1乘以任何数的值都是不变的”，以及“若干个1相乘之积仍然是1”的原因，他们认为把任何数进行质因数分解时，写在最前面的1是没有用的，以及1的个数再多也是没有用的。我们说，最前面的那个1，它既是质因子1本身，又是计数单位，既不能少，也不能随便乱加。例如30分解质因数的结果是30＝1×2×3×5，其中的1、2、3、5都是质因数，也都是自然数30的质因子，任何一个都是不能去掉的，若去掉了一个，30的质因数分解就是错误的。但也不能因为1乘任何数的值都不变，就随意的增加1的个数，因为30（以及任何整数）的质因子中只有一个1，它并不象60分解质因数的结果“1×2×2×3×5”中有两个2那样。任何整数的质因数分解中，必须要有一个质因子1，这个1既是一个质因子，又是计数单位。由此可以看出，虽然各种各样的数中都包含（隐含）着计数单位“1”，但只有在整数的因式分解中才能体现得出来。平时我们书写1、2、30、60时，只是写出1、2、30、60就可以了，但在对这几个数进行质因数分解时，则必须写成：1＝1×1，2＝1×2，30＝1×2×3×5，60＝1×2×2×3×5等。从这里可以看出，我们上面的那个公式“素数＝计数单位“1”×素数本身的数值”是正确的，这实际上就是素数（也是一个整数）的质因数分解式。
从以上可以看出，素数也可以这样定义如下：质因子只有1和它自身的自然数就是素数。1的质因数分解式为1＝1×1，这里的第一个1是计数单位，第二个1既是质因子又是自然数1的本身，所以1是素数，且是奇素数，是值最小的一个素数。有一些奇数质因数分解的结果，质因子都只有1的它本身，所以这些奇数都是素数。偶数2的质因数分解式为2＝1×2，其中的2既是质因子又是自然数2的本身，所以2也是素数，且是只一的一个偶素数。而质因子除了1以外，还有别的质因子但并无它自身的自然数则是非素数，或者叫做合数。除了2以外的其他大于等于4偶数质因数分解的结果中都至少有两个以上的质因子2，但却并无偶数自身，如4＝1×2×2，6＝1×2×3等等；还有一些奇数的质因数分解结果中除了1外，也还有别的质因子，但并无它自身，如9＝1×3×3，12＝1×2×2×3。象上面这样的一些自然数都叫做非素数或合数。
因为1 本身是素数，所以上面的哥德巴赫猜想就可以不需要再增加什么条件了，而成为“任何偶数都是两个奇素数的和”，如2＝1＋1，4＝1＋3等等。
2、哥德巴赫猜想的证明
由于无穷集合有一个不同于有限集合的特殊性质：即无穷集合的无穷真子集与该集合有一一对应的关系。所以自然数集合，奇数集合，偶数集合，素数集合，奇素数集合都是可数的无穷集合，而只有偶素数集合是一个有限集合，其中只有一个元素“2”。
我们把奇素数集合中的任何一个元素都与别的元素相加一次，包其自身相加的一次在内，可以得到可数个其中所有的元素都是偶数（两个奇数的和一定是偶数）的可数集合，按可数集合的性质，这些可数集合的并集也一定是一个可数集合。现在只要证明这个并集就是所有偶数构成的集合，就可得到任何偶数都是两个奇素数的和的结论。
我用集合论的方法，可以证明以上的并集就是所有偶数构成的集合（见我以前发表过的有关文章及后一篇《两个相等的集合》一文）。
由于原哥德巴赫猜想中认为1不是素数，加上还有一个唯一的偶素数2，且偶数4可以写成4＝2＋2，这样就可得到任何大于等于4的偶数都是两个素数的和的结论。这与本文一开始所说的哥巴赫猜想的内容是一模一样的，所以说这就可以证明猜想是正确的。但这只是证明了哥猜的第一部分。
由于任何大于等于4的偶数都是两个素数的和，两个素数的和再加上一个大于等于3的奇素数，就可以得到一个大于等于7的奇数。如7＝2＋2＋3，9＝2＋2＋5＝3＋3＋3等等。这也就证明了哥猜的第二部分也是正确的。
哥德巴赫猜想第二部分是任何大于等于7的奇数都是三个素数的和。若把哥猜第一部分用 2n＝S1＋S2表示（式中n为自然数，n≥2，S为素数，S1＝S2时，S1，S2≥2；S1≠S2时，S1，S2≥3），给上式的两边同时加上一个大于等于3的素数（奇数）S3，得2n＋S3＝S1＋S2＋S3，因为S3≥3，且是奇数，把上式左边的S3用2n－1（n≥2）表示得4n－1＝S1＋S2＋S3（式中n为自然数，n≥2，S仍为素数，S1＝S2≠S3时，S1，S2≥2，S3≥3；S1＝S2＝S3 或S1≠S2≠S3时，S1，S2，S3≥3），因为当n≥2时，上式中的4n－1就是大于等于7的奇数，所以就有任何大于等于7的奇数都是三个素数的和的命题也是成立的。
当n≥2时，4n－1就是大于等于7的奇数的证明：已知：S1＋S2≥4，S3≥3，两式相加得：S1＋S2＋S3≥3＋4≥7。证毕。
按习惯表示法，把上式中的4n－1改成2n－1（n≥4）的形式，则上式就成为2n－1＝S1＋S2＋S3 （式中n为自然数，n≥4，S为素数，S1＝S2≠S3时，S1，S2≥2，S3≥3；S1＝S2＝S3 或S1≠S2≠S3时，S1，S2，S3≥3）。


雷  明
二○一一年八月二十二日于长安

注：此文已于二○一一年十月十三日在《数学中国》网上发表。