大偶数分成两个素数的分法数量的变化规律

愚工688

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大偶数分成两个素数的分法数量的变化规律

任意大于或等于6的偶数,都能分成两个素数。这个命题的证明即是歌德巴赫猜想。
一些数学家对歌德巴赫猜想的证明问题的论述：歌德巴赫猜想的证明是很复杂的……，大偶数分成两个素数的情况是很复杂的……，现有的数学知识不能解答等等。
真的如此吗？
要证明歌德巴赫猜想，必定要研究各个偶数在什么条件下能够分成两个素数，每个偶数分成两个素数的分法数量与该偶数之间有什么对应的规律，分法数量能否进行计算？以便推定任意大偶数的分成两个素数的分法数量的情况。

一）一个偶数分成两个素数的分法数量可以看作一个概率问题的数学原理
数学模式的建立：
把偶数M拆分成两个整数，采用A-x与A+x的方式来表达。在这一方式中，A = M/2为给定值，因而偶数M分成两个素数的分法数量取决于在区间[0，A-3]里面有多少个变量x值可使A-x与A+x同为素数，这样就用一个变量x在偶数M所分成的两个数之间建立了关系。

教科书中关于概率事件的乘法原理：
设有事件A 与B ，如果
    P(A*B)=P(A)*P(B)
那么我们就称事件A与B为相互独立。
……
由事件独立性的定义，容易推得：……如果A与B相互独立，那么A与B排相互独立，那么A与B排相互独立，A排与B相互独立，及A排与B排也相互独立。（A排，B排各表示A，B上面有一横，Word 中我打不出来该符号，抱歉）
上面仅讨论了两个事件的独立性,但是这个概念可推广到任意有限多个事件上去。
对于事件A1，A2，…，An，……
如果A1，A2，…，An互相独立，那么
    P(A1*A2*…*An)= P(A1)P(A2)…P(An).
（以上数学原理摘自高等数学(化、生、地类专业)第一册210-212页。书号  13012.096 ，上海师范大学数学系，中山大学数学力学系，上海师范学院数学系  合编 ,人民教育出版社 1978年出版）

概率事件的乘法原理的运用：
由于自然数列里的数在除以任意二个素数j，k时，余数同时满足等于ji、ki [ji=0,1, …，j-1；ki=0,1, …，k-1] 的概率，有
  P(j*k)=P(j)*P(k)=(1/j)(1/k)
例如：除以2，5时余数2i=0，5i=0的数的概率有P(2*5)=P(2)*P(5)=(1/2)(1/5)=1/10，在连续的10个自然数中必然有一个这样的数；
    除以3，5时余数3i=0，5i=0的数的概率有P(3*5)=P(3)*P(5)=(1/3)(1/5)=1/15，在连续的15个自然数中必然有一个这样的数。
显然自然数列里的数在除以任意二个素数j与k的余数是互相独立的。这个概念同样可以推广到任意有限多个素数上去。
例如：除以3，5，7时余数分别为3i，5i，7i的数的概率有P(3*5*7)=P(3)*P(5) *P(7)=(1/3)(1/5) (1/7)=1/105，在连续的1-105中必然有一个这样的数。而这个数的求法就是著名的韩信点兵问题：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子相逢正月半，除去百零五便得知。
对上面这个问题的另一个问题：在1-105中，除以3，5，7时余数分别不为3i，5i，7i的数有多少呢？显然A排与B排也相互独立的概念，有105*P(3*5*7)=105*(2/3)(4/5)(6/7)=48，这是容易验证的。
若再问：在0-80中，除以3，5，7时余数分别不为3i，5i，7i的数有多少呢？这个类型的问题由于81不是3，5，7的公倍数，必然产生一定的误差，但误差也不会很大。我下面所运用的概率计算式就是与这个问题类似的一种情况。

判断偶数M所分成的A-x 与 A+x 两个数是否都是素数，依据艾拉托尼筛法，可有如下2个条件：
条件a ：A-x与A+x同时不能够被≤r的所有素数整除时，两个数都是素数； [r为小于或等于根号（M-2）的最大素数, 下同。]
条件b：A+x不能够被≤r的所有素数整除，而A-x虽然能被其中某个素数整除但商为1，两个数也都是素数；
若把偶数M的符合条件a的x值在自然数区间[0，A-3]里面的个数记为S1(m)，符合条件b的x值的个数记为S2(m)，由上述的两个条件，即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量S(m)，有
     S(m)=S1(m)+S2(m)                                        （式1）
对于把偶数M分成的两个素数A-x与A+x的条件a ，可看成变量x符合某种由A所限定条件的数，其在自然数区间[0，A-3] 中的分布规律，实际上可归结为一个概率问题：除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于I2、I3及(3－I3)、…、In及(n－In)、…、Ir及(r -Ir)的数的发生概率问题，这里的I2,I3,…,In,…，Ir系A除以素数2，3，…，n，…，r时的余数。
因此依据概率的独立事件的乘法原理，符合条件a：除以素数2，3，…，n，…，r时余数同时满足不等于I2、I3及(3－I3)、…、In及(n－In)、…、Ir及(r -Ir)的x值的分布概率P(m) 有
    P(m)=P(2*3*…*n*…*r)
        =P(2)*P(3)*…*P(n)*…*P(r)                             {式2}
故在[0，A-3] 中使偶数Ｍ分成两个符合‘条件a’的素数的x值的概率计算值Sp(m)，有：
    Sp(m)=(A-2)*P(m)
           = (A-2)* P(2*3*…*n*…*r)
           =(A-2)* P(2)*P(3)*…*P(n)*…*P(r)
           =(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r)；                    {式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [In=0时]；或f(n)=(n-2)/n,  [In>0时] 。In系A除以n时的余数。

事实表明，这种计算的相对误差在偶数比较小时并不算大，而在偶数比较大时的相对误差将明显变小。
因此从偶数M分成两个素数的分法数目S(m)的计算式出发，不仅可以计算出一个大偶数的分成两个素数的分法数目的范围，而且可以分析出连续偶数分成两个素数的分法数目的变化规律。这个分法数目的变化规律对于偶数的大小是没有区别的，不存在“大偶数的分成两个素数的情况是很复杂的”这个问题，唯一的问题是对于很大偶数的验证所需要的比较多的计算运行时间以及计算机的运算能力能否满足所求。

二）实例：
M= 120 ，A= 60 , ≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7 ， A除以素数2，3，5，7的余数分别是I2=0，I3=0，I5=0，I7=4；在[0，57]区间里面同时满足：x除以2的余数≠0、x除以3的余数≠0、x除以5的余数≠0、x除以7的余数≠4与3的x值的概率计算数量Sp( 120)有
Sp( 120)=[( 120/2- 2)/2]*( 2/ 3)*( 4/ 5)*( 5/ 7)= 11.05
实际有  x= : 1  7  13  19  23  29  37  41  43  47  49 ( 53 ) ——括号里面的是满足条件b的值，下同；
代入得到的[A-x + A+x ]：  59 + 61  53 + 67  47 + 73  41 + 79  37 + 83  31 + 89  23 + 97  19 + 101  17 + 103  13 + 107  11 + 109  7 + 113
S(m)= 12    S1(m)= 11   Sp(m)= 11.05   E(m)= 0    K(m)= 2.67  r= 7

M= 122 ，   A= 61，≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7 ， A除以素数2，3，5，7的余数分别是I2=1，I3=1，I5=1，I7=5；在[0，58]区间里面同时满足：x除以2的余数≠1、x除以3的余数≠1与2、x 除以5的余数≠1与4、x除以7的余数≠5与2的x值的概率计算数量 Sp( 122)有
Sp( 122)=[( 122/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)= 4.21
实际有  x= : 0  18  42  48
代入得到的[A-x + A+x ]：  61 + 61  43 + 79  19 + 103  13 + 109
S(m)= 4     S1(m)= 4    Sp(m)= 4.21    E(m)= .05  K(m)= 1     r= 7

M= 124  ，A= 62 , ≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7 ，11， A除以素数2、3、5、7、11的余数分别是I2=0、I3=2、I5=2、I7=6、I11=7，在[0，59]区间里面同时满足：x除以2的余数≠0、x除以3的余数≠2与1、x除以5的余数≠2与3、x除以7的余数≠6与1 、x除以11的余数≠7与4的x值的概率计算数量 Sp( 124)有
Sp( 124)=[( 124/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)= 3.51  
实际有 x= : 9  21  39  45  ( 51 )
代入得到的[A-x + A+x ] ： 53 + 71  41 + 83  23 + 101  17 + 107  11 + 113  
S(m)= 5     S1(m)= 4    Sp(m)= 3.51    E(m)=-.12  K(m)= 1     r= 11

M= 126    ，A= 63 , ≤√(M-2)的所有素数为2，3，5，7 ，11， A除以素数2、3、5、7、11的余数分别是I2=1、I3=0、I5=3、I7=0、I11=8，在[0，60]区间里面同时满足：x除以2的余数≠1、x除以3的余数≠0、x除以 5的余数≠2与3、x除以7的余数≠0 、x除以11的余数≠8与3的x值的概率计算数量 Sp( 126)有
Sp( 126)=[( 126/2- 2)/2]*( 2/ 3)*( 3/ 5)*( 6/ 7)*( 9/ 11)= 8.56  
实际有 x= : 4  10  16  20  26  34  40  44  46  50
代入得到的[A-x + A+x ]：  59 + 67  53 + 73  47 + 79  43 + 83  37 + 89  29 + 97  23 + 103  19 + 107  17 + 109  13 + 113  
S(m)= 10    S1(m)= 10   Sp(m)= 8.56    E(m)=-.14  K(m)= 2.4   r= 11……

显然，理论上用同样的方法，我们可以求得任意大的偶数Ｍ分成两个符合‘条件a’的素数的x值的概率计算值Sp(m)以及实际上的x的各个值。

三）概率计算值Sp(m)的相对误差δ(m)
如上所述，我们可以求得任意大的偶数Ｍ分成两个符合‘条件a’的素数的x值的概率计算值Sp(m)。但由于其与实际的值S1(m)不是完全相等的，而是存在一定的偏差，因此，对于这个偏差我们进行下面的分析讨论。
为表达出Sp(m)值与真值S1(m)之间的关系，引用相对误差δ(m)来表达：
δ(m)=[Sp(m) -S1(m)] / S1(m)；                                             {式4}
即有： S1(m)=Sp(m)/ [1+δ(m)]；                                                     {式5}
我依据上述的分析编的Basic程序，不仅可轻易地得到偶数M分成两个素数的全部分法及各个分法的数据S1(m)、S(m)，通过计算得出大于4的偶数M分成两个符合条件a的素数的概率计算值Sp(m)及与S1(m)的相对误差δ(m)（希腊字母在Basic程序中不便表示，故用E(m)表示δ(m)，下面不再另注）。

              部分偶数区间的偶数的概率计算值的相对误差 E(m)分区分布情况实录：
偶数6-2000
E(m):        <-.4 [-.4~-.3) [-.3~-.2) [-.2~-.1) [-.1~.1](.1~.2] (.2~.3] (.3~.4]  >.4
--------------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 100 ]     1     2       4         7        20        7       2        4      1
[ 102 , 200 ]   0     0       0        11        28        6       3        1      1
[ 202 , 300 ]   0     0       2         9        32        5       1        1      0
[ 302 , 400 ]   0     0       2         13       27        6       1        1      0
[ 402 , 500 ]   0     0       3         7        35        2       2        1      0
[ 702 , 800 ]   0     0       1         6        37        5       1        0      0
[ 802 , 900 ]   0     0       0         6        41        3       0        0      0
[ 902 , 1000 ]  0     0       1         9        37        2       1        0      0
[ 1202 , 1300 ] 0     0       1         4        42        2       1        0      0
[ 1302 , 1400 ] 0     0       0         6        42        2       0        0      0
[ 1402 , 1500 ] 0     0       0         6        38        5       0        1      0
[ 1502 , 1600 ] 0     0       0         5        40        5       0        0      0
[ 1602 , 1700 ] 0     0       1         7        39        3       0        0      0
[ 1702 , 1800 ] 0     0       0         9        37        4       0        0      0
[ 1802 , 1900 ] 0     0       1         7        42        0       0        0      0
[ 1902 , 2000 ] 0     0       0         4        45        1       0        0      0

偶数 5002-10000的概率计算值的相对误差 E(m)分区分布情况实录：
E(m):             <-.3 [-.3~-.2)[-.2~-.1)[-.1~.0]  (0~.1]  (.1~.2] (.2~.3]   >.3
------------------------------------------------------------------------------
[ 5002 , 5200 ]      0       0       3       65        30       2       0      0
[ 5202 , 5400 ]      0       0       4       60        34       2       0      0
[ 5402 , 5600 ]      0       0       5       64        28       3       0      0
[ 5602 , 5800 ]      0       0       5       67        27       1       0      0
[ 5802 , 6000 ]      0       0       2       65        32       1       0      0
[ 6002 , 6200 ]      0       0       0       60        33       7       0      0
[ 6202 , 6400 ]      0       0       4       65        28       3       0      0
[ 6402 , 6600 ]      0       0       3       71        25       1       0      0
[ 6602 , 6800 ]      0       0       3       48        49       0       0      0
[ 6802 , 7000 ]      0       0       4       62        34       0       0      0
[ 7002 , 7200 ]      0       0       3       74        23       0       0      0
[ 7202 , 7400 ]      0       0       2       66        31       1       0      0
[ 7402 , 7600 ]      0       0       1       52        44       3       0      0
[ 7602 , 7800 ]      0       0       1       56        40       3       0      0
[ 7802 , 8000 ]      0       0       1       61        36       2       0      0
[ 8002 , 8200 ]      0       0       2       64        30       4       0      0
[ 8202 , 8400 ]      0       0       3       54        40       3       0      0
[ 8402 , 8600 ]      0       0       2       50        46       2       0      0
[ 8602 , 8800 ]      0       0       0       41        57       2       0      0
[ 8802 , 9000 ]      0       0       0       46        52       2       0      0
[ 9002 , 9200 ]      0       0       0       43        57       0       0      0
[ 9202 , 9400 ]      0       0       2       35        63       0       0      0
[ 9402 , 9600 ]      0       0       0       58        41       1       0      0
[ 9602 , 9800 ]      0       0       1       54        43       2       0      0
[ 9802 , 10000 ]     0       0       1       53        45       1       0      0
------------------------------------------------------------------------------
[ 5002 , 10000 ]     0       0       52     1434      968      46      0       0
偶数20002—21000的相对误差 E(m)分区分布情况实录：
E(m):             <-.3 [-.3~-.2)[-.2~-.1)[-.1~.0]  (0~.1]  (.1~.2] (.2~.3]   >.3
-------------------------------------------------------------------------------
[ 20002 , 20200 ]    0       0       0       36        63       1       0      0
[ 20202 , 20400 ]    0       0       0       43        57       0       0      0
[ 20402 , 20600 ]    0       0       0       39        61       0       0      0
[ 20602 , 20800 ]    0       0       0       38        61       1       0      0
[ 20802 , 21000 ]    0       0       0       26        74       0       0      0
-------------------------------------------------------------------------------
[ 20002 , 21000 ]    0       0       0       182      316      2       0       0
在这些统计中，可看到在偶数较小时的区间里，偶数的相对误差E(m)值的分布的离散性比较大些；而在偶数较大的区间里，大多数偶数的相对误差E(m)值的绝对值比较小，绝大多数的相对误差E(m)值分布在[-.10，.10]之中，故它们的S1(m) 值与Sp(m)比较接近。由此可看出S1(m)的概率计算值Sp(m)是比较符合实际的，这是正常的，因为它是根据现有数学上的概率原理进行的。

四）偶数M分成两个素数的分法数量S(m)及S1(m)值变化的主要的特征系数——K(m)
对任意一个给定偶数M，假定A除以≤ r的全部素数时的余数都不为零，此时满足条件a的x值在 [0，A-3] 中的发生概率为  P(m)min，则有
P(m)min =（1/2） * （1/3 ）* …*（(n-2)/n ）* …*（(r-2)/r）；                     {式6}
其与该偶数的x值满足于条件a的事实上的分布概率P(m)之间有：
P(m)=K(m)* P(m)min；                                                         {式7}
式中，K(m)= kn1* kn2 *…；这里kn1=(n1-1)/(n1-2)，kn2=(n2-1)/(n2-2)，…；
3 ≤ n1，n2，…,≤r； n1，n2等均为A的素因子。
因此，{式3 }的Sp(m)又可表达为：
             Sp(m)=(A-2)*K(m)*P(m)min  ；                                                {式8}
由{式5}、{式8}，可得出：
       S1(m)= Sp(m)/ [1+δ(m)] = (A-2)*K(m)*P(m)min /[1+δ(m)]；                        {式9}
从{式9}中的各个因子中，分析一下S1(m)值变化的影响因素：
  1，因数(A-2)与P(m)min的积：对于在最大素数r值不变的区间内各偶数来说，它们的乘积在直角坐标图上的点的连线，是一条斜率为P(m)min的直线，在偶数稍大（r＞7）后的各个区间内，P(m)min 是较小的，并且随着素数r值的增大而逐渐变小，因而(A-2)×P(m)min的变化是很小的；
  2，系数1/[1+δ(m)]的分析：
对于δ(m)，其数学期望值为零时，S1(m)与Sp(m)相等，而大多数偶数的相对误差δ(m)的绝对值与0之间虽然有一定的相差，但是如上面统计结果所示并不大，因而1/[1+δ(m)]值与1相差不大 [如在r =31的区间内,1/[1+δ(m)]的值范围在（ 0.79~1.28） ；而在r =101的区间内,1/[1+δ(m)]的值范围在（ 0.8897~1.117）之间]。
  3，对K(m)值的分析：
由于K(m)值是由偶数M所含有的素数因子决定的，每连续三个偶数中即有一个偶数至少含有素数因子3，它的K(m)值必然大于或等于2，其对S1(m)的影响远远大于系数1/[1+δ(m)]的程度。因此K(m)值描绘出了S1(m)值变化的主要特征——周期性的脉动式突变；而(A-2)×P(m)min则表示了M邻近偶数的分法数量的底部状况。
在附件折线图上，这个K(m)值描绘出S(m)值及S1(m)值变化的主要特征是极其明显的。
若对{式6} 作进一步的分析：
P(m)min =（1/2）*（1/3 ）* …*（(n-2)/n ）* …*（(r-2)/r）
=（1/2）*K1*[1*3*5*…*(t-2) *…*(r-4)(r-2)]/ [3*5*7*…*t *…*(r-2)*r]     ‘引入小于r 的非素数的全部奇数因子t
=K1/(2r)                                                  {式10}          ‘约分
  因此式1可以表达为：
    S(m) = S1(m)  + S2(m)           
             = (A-2)*K(m)*K1(m)*(1/2)*(1/r) /[1+δ(m)] +S2(m)
               =  [(A-2)/(2r)] *K(m)*{K1(m) /[1+δ(m)]} +S2(m)
               = [(M-4)/(4 r) ]*K(m)*{K1(m)/[1+δ(m)]} +S2(m)  
＞(√M/4 ) *K(m)*{K1(m)/[1+δ(m)]} +S2(m) .                   {式11}

五）大偶数分成两个素数的数量的估算
对于大偶数来说，由于其S2值相对于S1来讲，是很小的，故可以忽略不计，直接用概率计算值Sp(m)近似代替分法数S(m)，其相对误差一般在±10%以内。
对任意的大偶数，它的分成两个符合条件a 的素数的数量，可以由{式9}所含的3个部分估算出来：
1，基础值——(A-2) *P(m)min 。对大偶数来讲，其越大时基础值对应也大些，而在对应的小于根号（M-2）的最大素数r值不变的范围里，(A-2) *P(m)min的值的变动很小，其在直角平面坐标上面的图形是几乎平行于x 轴的直线段。其在直角坐标图上的意义是分法数折线的底部区域，就是该区间的偶数的分法数的下限值在其附近。
2，误差波动系数——1/[1+δ(m)]。在偶数较大时，由于相对误差δ(m)多不大，1/[1+δ(m)]接近1。因而其与基础值的叠合图形是在(A-2) *P(m)min 上下不多的范围里波动。
3，素数因子脉动系数K(m) ——由偶数M所含有的奇素数因子叠合产生，而以最小的奇素数因子3的影响为主。其体现了分法数S(m)及S1(m)峰值的周期性脉动变化的主要特征。
例1：（770含有素数因子5，7，11，它们的组合作用K(770)=k5*k7*k11=(4/3)(6/5)(10/9)=1.78也没有素数因子3的k3大）
M= 768     S(m)= 31    S1(m)= 28   Sp(m)= 27.23   E(m)=-.03  K(m)= 2     
M= 770     S(m)= 26    S1(m)= 24   Sp(m)= 24.27   E(m)= .01  K(m)= 1.78   
M= 772     S(m)= 18    S1(m)= 16   Sp(m)= 13.69   E(m)=-.14  K(m)= 1      
M= 774     S(m)= 32    S1(m)= 28   Sp(m)= 27.45   E(m)=-.02  K(m)= 2     
例2：（10010,20020含有素数因子5，7，11，13它们的组合作用K(m)=k5*k7*k11*k13=(4/3)(6/5)(10/9)(12/11)=1.94与k3比较接近了，但在偶数中其发生的频率五千分之一还不到）
M= 10008   S(m)= 192   S1(m)= 188  Sp(m)= 191.56   E(m)= .02   K(m)= 2
M= 10010   S(m)= 191   S1(m)= 186  Sp(m)= 185.79   E(m)= 0     K(m)= 1.94
M= 10012   S(m)= 99    S1(m)= 94   Sp(m)= 95.82    E(m)= .02   K(m)= 1
M= 10014   S(m)= 209   S1(m)= 203  Sp(m)= 191.68   E(m)=-.06   K(m)= 2

M= 20016   S(m)= 335   S1(m)= 323  Sp(m)= 330.47   E(m)= .02   K(m)= 2.01
M= 20018   S(m)= 164   S1(m)= 162  Sp(m)= 164.05   E(m)= .01   K(m)= 1
M= 20020   S(m)= 329   S1(m)= 319  Sp(m)= 318.2    E(m)= 0     K(m)= 1.94
M= 20022   S(m)= 337   S1(m)= 327  Sp(m)= 340.33   E(m)= .04   K(m)= 2.07
例3：（170170含有素数因子5，7，11，13，17，它们的组合作用K(m)=k5*k7*k11*k13*k17=(4/3)(6/5)(10/9)(12/11)(16/15)=2.07，其与旁边偶数的分法数比较如下：)
M= 170166  S(m)= 1863  S1(m)= 1846 Sp(m)= 1958.45  E(m)= .06   K(m)= 2.03
M= 170168  S(m)= 929   S1(m)= 921  Sp(m)= 979.18   E(m)= .06   K(m)= 1.02
M= 170170  S(m)= 1902  S1(m)= 1882 Sp(m)= 1994.2   E(m)= .06   K(m)= 2.07
M= 170172  S(m)= 1937  S1(m)= 1920 Sp(m)= 2011.84  E(m)= .05   K(m)= 2.09

       由于概率计算的相对误差在偶数比较大时一般在±10%以内，由下面的偶数所对应的P(m)min数据，我们可以知道：
大于5044 的任意一个偶数,其分为两个素数的分法，不低于49种；而大于5044 且能被3整除的偶数，其分为两个素数的分法数，不低于98种；
大于300,000 的任意一个偶数,其分为两个素数的分法，不低于1400种；而大于300,000 且能被3整除的偶数，其分为两个素数的分法数，不低于2800种；
大于300,000,000 的任意一个偶数,其分为两个素数的分法，不低于57万种；而大于300,000,000 且能被3整除的偶数，其分为两个素数的分法数，不低于115万种；……
（在最大素数r值不变的区间内，偶数的概率计算的P(m)min是个常数；因而(A-2) *P(m)min是很容易计算的。）

同样我们也可以用{式11}来估算出比较大偶数的分为两个素数的分法数：
√1000/4=7.9；而1000附近的数的K1(m)=1.92，1.92/(1+0.1)=1.74；而7.9*1.74=13.7，1000及以上的偶数分为两个素数的分法数，不低于14种；
√5000/4=17.7；而5000附近的数的K1(m)=2.98，2.98/(1+0.1)=2.7；而17.7*2.7=47.8，5000及以上的偶数分为两个素数的分法数，不低于48种；
√10000/4=25；而10000附近的数的K1(m)=3.4，3.4/(1+0.1)=3.09；而25*3.09≈77，10000及以上的偶数分为两个素数的分法数，不低于77种；
√100000/4=79；而100000附近的数的K1(m)=7.7，79*7.7/(1+0.1)=553；因此100000及以上的偶数分为两个素数的分法数，应该不低于553种；
(某区间的偶数所对应的K1(m)值的是个常数，也是很容易得到的。)

如下为偶数 6——1026170 的各对应区间的P(m)min 与K1(m)值的摘录：
6 -- 10                r=  2      sp(m)min= .5            k1(m)= 1
  12 -- 26               r=  3      sp(m)min= .67           k1(m)= 1
  28 -- 50               r=  5      sp(m)min= 1.2           k1(m)= 1
  52 -- 122              r=  7      sp(m)min= 1.71          k1(m)= 1
  124 -- 170             r=  11     sp(m)min= 3.5           k1(m)= 1.285714
  172 -- 290             r=  13     sp(m)min= 4.16          k1(m)= 1.285714
  292 -- 362             r=  17     sp(m)min= 6.28          k1(m)= 1.483516
  364 -- 530             r=  19     sp(m)min= 7.02          k1(m)= 1.483516
  532 -- 842             r=  23     sp(m)min= 9.4           k1(m)= 1.639676
  844 -- 962             r=  29     sp(m)min= 13.94         k1(m)= 1.924837
  964 -- 1370            r=  31     sp(m)min= 14.88         k1(m)= 1.924837
  1372 -- 1682           r=  37     sp(m)min= 20.11         k1(m)= 2.173203
   ……
  4492 -- 5042           r=  67     sp(m)min= 49.82         k1(m)= 2.981
  5044 -- 5330           r=  71     sp(m)min= 54.43         k1(m)= 3.069985
   ……
  7924 -- 9410            r=  89     sp(m)min= 77.62         k1(m)= 3.480192
  9412 -- 10202           r=  97     sp(m)min= 89.85         k1(m)= 3.714812
……
  97972 -- 100490        r=  313    sp(m)min= 602.5         k1(m)= 7.703429
  100492 -- 109562       r=  317    sp(m)min= 612.98        k1(m)= 7.752652
  ……
  299212 -- 310250       r=  547    sp(m)min= 1555.88       k1(m)= 11.338438
  310252 -- 316970       r=  557    sp(m)min= 1597.78       k1(m)= 11.504265
  ……
  491404 -- 502682       r=  701    sp(m)min= 2358.72       k1(m)= 13.407416
  502684 -- 516962       r=  709    sp(m)min= 2387.73       k1(m)= 13.522173
  ……
  994012 -- 1018082       r=  997    sp(m)min= 4323.93         k1(m)= 17.260691
  1018084 -- 1026170      r=  1009   sp(m)min= 4377.74         k1(m)= 17.433817

显然，大偶数的K1(m)/[1+δ(m)]的值是必然大于1的。

而对于偶数比较小（r＜17）时的情况，相对误差δ(m)分布情况的实录所示，误差值大于0.30也不多，由于S(m)包括的S2(m)、K(m)的影响，由实际情况知道，除了S(68)=2、 S(98)=3以外，其它的偶数M的S(m)值都满足于S(m)＞=M/(4r)。
再由r 的定义，可知：M/(4r)＞√M /4；因此有 S(m)＞√M /4 ，且S(98) = 3＞√98 /4。
由此得出结论：
任意一个大于4的偶数M，其分成两个素数的分法数量S(m)，除68外，有
     S(m)＞√M /4                                                    {式12}

因此可以对≥6的偶数的分成两个素数的分法数量S(m)的情况，作如下的结论：
一）除68外，其它偶数M的分成两个素数的分法数量S(m)都大于√M /4；
二）在偶数M稍大后，其附近区间偶数的分成两个素数的分法数量S(m)的下限值可以由
(A-2) *P(m)min/[1+δ(m)]  或 (√M/4 ) *K1(m)/[1+δ(m)] 估算出来。
δ(m)的取法：100＜M＜1000：δ(m)=0.2；M≥1000：δ(m)=0.1 。
  三）含有素数3因子的偶数，它的分成两个素数的分法数量与相邻偶数的分法数量相比，为峰值。K(m) 体现了分法数S(m)及S1(m)值变化的主要特征。

六）偶数分成两个素数的分法数值的折线图——直观看到K(m) 体现了S(m)及S1(m)值变化的主要特征



本文中主要涉及了如下的Qbasic程序的数据：
一，求偶数M的分法数目的数据S(m),S1(m),Sp(m),相对误差E(m)，脉动系数K(m)的程序-概率计算；
二，偶数的分法数的数据值绘图程序Graph。若输入1000，即可得到从6-1000开始的任意50个连续偶数的分法数数据的图形；
三，偶数的分法数S1的概率计算的相对误差的统计程序zfwc-3。输入偶数T，U，即可得到区间[T，U]里面全部偶数的
1）相对误差的分布统计；
2）指定误差范围的具体偶数；
3）区间[T，U]全体偶数的具体分法的素数；
4）相对误差的分区统计计算（平均相对误差与偏差，与计算器上面的该功能一致）。
这些程序可以提供，以便验证。

作者：愚工688
2011.8．1  于上海