[原创]哥德巴赫猜想与算数基本定理

shuzimi

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    初等数论中一个最重要的定理就是算术基本定理。根据这个定理，我们知道每个大于1的正整数都可以分解为若干个素数因子的乘积，或者说每个大于1的正整数都是若干个素数相乘的结果。这个定理也具体地从素因子数量方面指明了素数与合数的区别，素数的素因子只有其自身一个，合数的素因子则多于一个。
而哥德巴赫猜想则从另一个角度提出了对正整数的分解，即：每个大于2的偶数都是两个素数之和，每个大于5的奇数都是三个素数之和。(素数集的准确阶为3)
这个猜想如此不同凡响，就连著名物理学家朗道(L.D.Langdau)看到哥德巴赫猜想时竟然问：“素数怎么能相加呢？素数是用来相乘的！”，而事实的确如此。
由于哥德巴赫猜想的出现，拓展了人们对素数的认识，素数相乘可以得到所有大于1的正整数，不超过3个素数的相加可以得到所有大于3的正整数。
    从这个意义上讲，哥德巴赫猜想可以被称为第二算术基本定理。
哥德巴赫猜想的意义对于整数是如此基本，哥德巴赫和欧拉当初能够从一些及普通、及简单的现象中发现这一重要规律并在当时无法证明其正确的情况下将其展现给世界，表明那时的开拓者们具有多么伟大的科学探索精神与令人钦佩的勇气。
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尚九天

下面引用由shuzimi在 2011/05/26 08:56pm 发表的内容：
(水印部分不能引用)

:em05: 数(shu)字(zi)迷(mi)先生说得很有道理。

shuzimi

    当然，在得到完全证明之前，哥德巴赫猜想是无法登上“第二算术基本定理”这一宝座的，它的正式身份仍然不过是一个“猜想”而已。但是，以哥德巴赫猜想的表现来看，最终从猜想升格到定理这一点是必然无疑的，这只不过是个时间问题。可以举例为证：经过大量计算机验证，所有被验证的偶数无一不符合这个猜想，由于找不到反例，以至于人们在验证方面已经失去耐心。再进一步加大验证能够提供的信息，可以看到：随着被验证的偶数的不断增大，能够被一个大偶数表为素数和的素数对的数量也呈增加的趋势。而根据这一趋势，想找到反例的希望是越来越渺茫了(本人确信根本就找不到反例，因为不存在反例)，而且丝毫也没有改变这种趋势的迹象。这种趋势也是指引人们进行努力的方向。
    也许有人反对这样的提法，理由是偶数是验证不完的，除了穷举法，验证不等于证明。本人不反对这个观点，验证有它的局限性，确实不能代替数学证明，但验证也有它的积极意义，那就是它能够增加对问题本身的感性认识，具有辅助功能，帮助把握证明的方向，更甚者，也许能触发数学证明方面的某些灵感，或为某些阶段研究成果提供佐证。
    其实，若能举出令人信服的例子，那么离完全拿出证明也就不远了。

shuzimi

    这个待定的第二算术基本定理若要被“扶正”，则其难度何其大也，远不如算数基本定理那般直接了当，根据素数的定义就能简单搞定，而这个待定的第二算数基本定理的定义看似简单，将第一算术基本定理中的乘法改为加法，再明确一下素数个数的限制 – 对偶数仅为2个，对奇数为3个足矣。然而就这简单的一步，相比算数基本定理，哥德巴赫猜想将构成整数的素数个数限定的如此明确，就将其证明的难度提高不知多少倍，这就更体现了哥德巴赫猜想的水平及其具有的“基本”的性质。话说回来，如果只是泛泛地说每个大于4的整数都可以分解为若干素数之和，那这话说了跟没说有什么区别？谁说加法比乘法容易，这个例子说明加法比乘法要难的多。这么说吧，迄今为止，所有的人对哥德巴赫猜想的了解，除了其定义即哥德巴赫-欧拉的原始提法以外，对其还有哪些更深刻的内容，基本上再也无法提供出什么更有价值的东西了。猜想是对事情可能结果的一种猜测或者说是一个预期，而证明则是对导致这个可能结果的缘由的描述和以此为起点和依据的推理过程,也就是用数学的、逻辑的方法推导(由正向或反向)、说明其中的因果关系与必然性。从这个意义上讲，在没有将哥德巴赫猜想的缘由搞清楚之前，是不可能进行有意义的推导过程的。“因”是起点，“果”是终点，没有“因”，何来其“果”，不遵守这个基本规则，谁想证明其成立或不成立，任你祭出十八般兵器、用尽浑身解数，也是徒费力气，因为这样做的人不了解自己在干什么：向一个没有人能说清楚的、茫然的对象挑战，这样的莽汉行为，其意义与堂吉诃德大战风车有何不同，知彼知己方是能战之道。
    所以，向哥德巴赫猜想开战，并自以为取得成果之前，不妨以上面的观点自检一下：是否能够解释导致哥德巴赫猜想这个结果的“因”是什么？这个证明过程是否能够将这个“因”与“果”联系到一起？