數學、科學與電腦

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數學、科學與電腦
  專文評論
數學介紹

鄂維南
美國普林斯頓大學教授
北京大學長江講座教授
  
電腦技術的飛躍發展深刻地改變了人們從事科學研究的方法。電腦上的數值模擬已逐漸成?實驗與理論之外科學研究的第三大支柱。而數值模擬的首要步驟就是把研究的問題通過數學模型描述出來。這對數學的發展來說當然是一個機會，因?它標誌著數學正被更深入地、更廣泛地應用到科學研究的各個領域。同時，它也是一個挑戰，因?我們傳統的從事數學研究的模式可能已經難以適合科學應用的需要。
數學家們研究的問題往往是最基本、最典型的問題。從科學和工程的具體實踐中提煉出這樣的問題往往要經歷一個漫長的過程。流體力學中的Navier-Stokes方程經歷了一個世紀的醞釀才成?數學研究的中心問題之一。數學家們研究的問題方式也有別於其他學科。這樣就不可避免的帶來一個嚴重的問題：如果科學家們從我們這裏找不到他們需要的數學工具，他們就會自己發展這樣的數學工具。這對數學的發展當然是極?不利的，因?它使我們失去了數學研究的背景問題。更?嚴重的是它往往把數學推到證實別人結果的位置，而最富有開創性的工作已經由其他科學家們做了。同時，這對科學的發展也是不利的，因?數學家們建立的數學和其他科學家們建立的數學畢竟是不一樣的，其差別是終究會表現出來的。L.Carleson提到數學應該避免走拉丁文的道路，這是很值得深省的。
一個典型的例子是計算化學。這是至今?止計算科學唯一擁有諾貝爾獎的學科。可以說離開計算化學，就難以談得上化學的定量分析。但計算化學的發展基本上沒有得到數學家們的參與。化學家們發展了一些新的方法，也重複了一些數學家們已經做過的工作，而且定義了新的術語。這對數學當然不是一件好事。比方說?此我們失去了很多資源。這對計算化學也不是一件好事，因?它阻礙了這門科學的發展。像多重網格、共軛梯度法這些數學家們早已發現的方法直到最近才被用到計算化學中去。
既然科學發展對數學提出了新的要求，很自然這種要求首先應該在計算和應用數學中體現出來。傳統的計算和應用數學是面向工程的，別是跟流體與結構力學有關的方面。它處理的主要是宏觀的問題，運用的是微分方程的方法。流體力學是一個典型的成功的例子。應用數學家們對流體力學的研究，不只解決了流體力學中的諸多問題，同時也促進了微分方程、計算方法、漸進分析和其他數學分支的發展，也發現了孤立子和混沌這些具有一般性的新現象。
相比較而言，計算和應用數學對計算科學包括物理、化學、材料和生物的問題卻涉足甚少。這特別表現在對微觀機理和離散模型（像分子動力學）的研究方面。而在最近的幾年裏，計算工程中最前沿的課題正在朝著計算科學不斷靠近。這首先是因?問題本身更微觀化了，工程中常用的宏觀的處理方法已不再適應。這特別表現在奈米技術方面。其次是問題本身更複雜化了。對複雜材料、複雜流體的研究就難以避免微觀機理的問題。而對微觀機理的研究正是計算科學中一再處理的問題。
毫無疑問，計算和應用數學的發展也應該適應這個新形勢。也就是說，當前計算數學所面臨的主要任務是向計算科學的轉變。要做好這個轉變，就需要解決幾個問題。
首先是計算科學的統一性和計算/應用數學的相對獨立性。向計算科學的轉變並不意味著計算/應用數學應該分成一個個的小塊，每塊研究計算科學的一個分支。應當認識到不同學科的計算問題雖然各具其特性，但也是有許多共同性的。比方說分子動力學在生物、物理、材料、化學中都有應用。而這正適合我們以數學的觀點來研究它們。
其次是跟核心數學的聯繫。跟微分方程的聯繫對以往計算/應用數學的發展起了很大的推進作用。向計算科學的轉變會不會引起跟核心數學的脫節？我們可以有信心地說，計算科學會給我們帶來更多、更廣泛、更深刻的數學問題。典型的例子之一就是量子理論中的問題，比方說密度泛函理論。它將使我們跟核心數學中更多的方面，特別是數學物理，建立起直接聯繫。
再就是教育問題，這大概是一個最基本的問題。目前，面向應用的計算數學學生的主要基礎課是微分方程的數值演算法和基本理論。這已經遠遠不能適應向計算科學轉變的要求。新的研究生基礎課程應當包括對科學的基本教育。計算方法課程中除微分方程外也應包括像分子動力學、蒙地卡羅方法和電子結構方法這些在計算科學中普遍應用的方法。數學工具除微分方程外，還應包括像數學物理和隨機分析這些內容。
在過去的幾年裏，我們在北大數學科學學院科學與工程計算系逐步嘗試了這樣一個向計算科學的轉變。首先是在和清華大學數學系合辦的暑期講習班上推行這樣一個新的研究生基礎課教程；其次是組織了一個有初步規模的計算科學研究小組。研究的內容包括複雜流體及其在聚合物中的應用、多尺度計算和細胞生物學的一些問題。雖然這還僅是一個開始，但起步是較早的，前景是相當樂觀的。
計算和應用數學本質上是一門交叉學科，而新世紀的科學不可避免地要朝著交叉學科的方向不斷發展。如果我們能夠成功地完成向計算科學的轉變，我們有理由，也應該有信心相信計算和應用數學會成?新世紀科學發展的領頭學科。
謹以此文慶祝北京大學數學科學學院90周年院慶。
　
（本文出自中國北京大學數學科學學院90週年專刊）
　
  編註：原文為簡體。已將部分專有名詞改為台灣常用詞，如電腦與計算機；奈米與納米等。
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　最後修改時間: 11/05/2003 16:24:27