爱因斯坦与数学

数学道人

爱因斯坦有一次自嘲道：“自从数学家搞起相对论研究之后，我自己就不再懂它了。”

　　“爱因斯坦年”行将过去，难道关于爱因斯坦还有什么可说的呢？我想，真的还有不少题目是许多人很少谈到甚至几乎没有谈到，这个题目也许是其中的一个。
　　2005年号称“爱因斯坦奇迹年”的100周年。“奇迹年”的说法来自牛顿（牛顿的“奇迹年”大致是1665年）。通常我们把牛顿看成科学家的范例，甚至按照当时的
习惯说成哲学家也不为过。（证据：十多年前，著名英国科学史学家A. S. Hall出版的《Philosophers at War》讲的是牛顿—莱布尼兹的争吵）现在专业越分越细，牛顿头上的桂冠往往从科学家细化为数学家、力学家、物理学家、天文学家（说他是化学家比较勉强，帕廷顿（J. R. Partington）的《化学史》有整章讲牛顿，但他充其量不过是个炼金术士），他对地球形状以及潮汐颇有研究，也可算是地学家，其他的方面可能就谈不上了。爱因斯坦呢？物理学家毫无问题，数学家就比较勉强了。不过在当时，甚至现在，许多人仍把他视为数学家，最有力的证据就是他在20世纪头20年曾和希尔伯特一起是德国著名数学专业期刊《数学年刊》的几位编辑之一。不过由于希尔伯特与另一数学家布劳威尔（直觉主义的宗师）关于数学基础的大战，希尔伯特把布劳威尔赶出《数学年刊》编辑部的同时，也把爱因斯坦给开掉了。其实这并不表明爱因斯坦站在布劳威尔一边，也不表示希尔伯特认为爱因斯坦不够格，爱因斯坦只不过在一次编辑部改组中陪绑罢了。当时爱因斯坦只关注物理，特别是统一论和量子力学问题，他对于当时每位数学家都关注的基础大战并不当成一回事，并讥之为“老鼠与青蛙的战斗”。这表明一位伟大物理学家的数学观与当时数学家的数学观存在着相当的差距。
　　实际上，不仅是物理学家，就连许多数学家都跟不上当时的形势。1900年左右，物理学产生革命性的变革众所周知，而数学中的变革也悄悄地进行着。等到大家都理解的时候，才惊呼看来无用的纯粹数学的“不可思议的有效性”。1900年前，在物理学家眼中，数学只不过是一个仆从或者工具，这个工具有时好使，有时也不怎么样，最典型的是非线性问题从来不好办，物理学家没办法，数学家也没办法，数学家没了办法不想办法却“钻”起什么存在性、唯一性之类的理论的问题。更有甚者，物理学家还认为，那些不着边际的抽象问题，解决得了还是解决不了都是一个样，对现实世界毫无影响。
　　爱因斯坦就是抱着这样的观点进入大学的。说起来，爱因斯坦是颇具数学天赋的。他自己说“在12岁时，我……在欧几里得平面几何小书经历了第二次奇迹……”对欧几里得神往的不只是爱因斯坦，大哲学家罗素在他的《自传》第一卷中也谈到，在11 12岁时，心情十分抑郁，甚至想到自杀，但学习欧几里得几何的狂喜使他从这种境地摆脱了出来。要知道，欧几里得几何决不是能使任何普通孩子感到兴奋的。接着爱因斯坦说，“在12 16岁时，我自学包括微积分基础在内的数学基本知识……”这两件事说明，他对数学有着一定的兴趣、感悟和能力。他学好数学乃至成为一位数学家不成问题。而且，他在1896年10月进入瑞士苏黎世联邦技术大学之后，更是有可能在这个培养数学家的最好环境中成为数学家，至少掌握最前沿的数学知识。爱因斯坦没能够这样做，从某种意义上来讲，他错过了一次机会。
　　1900年左右，数学界发生了重要的思想变革，其领袖人物就是希尔伯特。而希尔伯特的思想来源，很大程度上是同比他年长3岁的胡尔维茨与比他年轻2岁的闵可夫斯基在格廷根大学期间经过8年的散步慢慢积累起来的。而爱因斯坦上学期间，胡尔维茨是教授，闵可夫斯基是副教授，他完全有机会亲自得到他们的口传心授。当时，爱因斯坦的同班同学只有4个人。但是，爱因斯坦对物理学的兴趣远远大于数学，加上他独立不羁的性格，经常逃课。他的表现用闵可夫斯基的话讲最为透彻：“爱因斯坦在学生时期是条懒狗。他一点也不为数学操心。”爱因斯坦的狭义相对论的确使闵可夫斯基大吃一惊，但是，真正认识到狭义相对论价值并且从哲学和数学上推进一大步的也正是闵可夫斯基。用爱因斯坦的话说，正是闵可夫斯基第一次把时间和空间联系在一起成为四维时空。另一个相关的发展则是群的观念，这对爱因斯坦当然是陌生的，只有在后来爱因斯坦才认识到这种数学的价值。
　　如果说，提出狭义相对论，爱因斯坦的知识还算够用的话，到广义相对论，爱因斯坦则捉襟见肘。他不得不求助于他的同学格罗斯曼。从黎曼开始发展的黎曼几何和张量分析仿佛是为广义相对论定做的工具，格罗斯曼正好是这方面的专家。不可否认，爱因斯坦学这一套数学颇为吃力。实际上，爱因斯坦的广义相对论大大推动了黎曼几何学的发展，另一方面数学家则依他们的习惯对广义相对论进行了推广，以致爱因斯坦有一次自嘲道：“自从数学家搞起相对论研究之后，我自己就不再懂它了。”也正是由于这个原因，在1915年出现了希尔伯特和爱因斯坦的“优先权之争”。
　　广义相对的核心是引力场方程。1915年11月25日爱因斯坦在柏林发表了他的场方程，而希尔伯特早几天也推导出来了。但是，两人之间并没有什么“争”。希尔伯特一直认为爱因斯坦是相对论的惟一创始人，正因为有了爱因斯坦的问题、理论和方法，才能在这个基础上得出场方程。希尔伯特显然在数学上十分擅长，他是从变分原理得出的。爱因斯坦则是通过另外的方法得出的。在这个问题上，物理的概念仍然是必不可少的基础。
　　统一场论是爱因斯坦下一个目标，在这方面，数学家又显示出自己的优势。最早的尝试是大数学家外尔提出的。他首先提出了规范不变性的问题。但是，爱因斯坦从物理概念上批判外尔的理论。实际上从非欧几何出现之后，数学家已经飞跃到自由的王国，不再受现实的物理世界的束缚，而只关心数学的逻辑完整性。统一场论至今仍悬而未决，而在当时，还根本不可能了解另外两种相互作用：强相互作用和弱相互作用。爱因斯坦去世之后，这两种相互作用同电磁相互作用形成了“大统一理论”，其中外尔开创的规范理论的作用不可低估。而现在试图把引力包括进来的理论，基本上可以说是一种数学的理论。20世纪末，物理学与数学这一对离婚长达一个多世纪的欢喜冤家仿佛又在谈论复婚的问题。但是，这些新兴的数学似乎并不是爱因斯坦所乐于见到的。
　　广义相对论发展的另一个方向是宇宙学。无疑，爱因斯坦是现代宇宙学的奠基人，他的出发点仍是去解场方程。但是，场方程只给出局部的图像，而难以拼出整体图像。在宇宙形状或宇宙结构这个大问题上，人们的认识仿佛又回到哥伦布时代。哥伦布时代的主要问题头一个是拓扑问题，也就是地球表面是否是一个球面，是开的还是闭的。翻开过去的历史，就知道这个问题上主要有三种看法：地圆说、地平说，还有一种实际上无所谓。哥伦布第一步走对了，他相信地圆说。在这一步确定之后就可以走第二步了，哥伦布的度量少了1/3，这种有意无意的错误使他获得资助。在宇宙学上，我们又碰到同样的问题：先是拓扑的，后是度量的。这种区别首先是黎曼明确考虑到的，他区别几何图形的度量性质和非度量性质，而且还要明确局部性质与整体性质的不同，单纯由局部性质不太能判断整体性质，研究整体的拓扑性质需要另起炉灶，其结果是拓扑学。在对高斯、黎曼的内蕴几何学不熟悉的情形下，爱因斯坦采取一个更原始的方法，也就是把四维时空嵌入到五维中去，而这就造成新的麻烦。也许这是爱因斯坦晚期工作不太成功的另一种原因。

　　闵可夫斯基（右）说：“爱因斯坦在学生时期是条懒狗。他一点也不为数学操心。”爱因斯坦的狭义相对论的确使闵可夫斯基大吃一惊，但是，真正认识到狭义相对论价值并且从哲学和数学上推进一大步的也正是闵可夫斯基。

白洞先生

将数学和物理结合起来,将创造和谐.数学的超前性以及完美性,能使物理更加完善.

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爱因斯坦对数学和物理学的关系——在广义相对论上，故意混淆视听。前苏联福克是第一个全面纠正爱因斯坦的物理学家，尽管不是最早揭露爱因斯坦这种错误的第一人。
今天，人们通常是在Euclid正交空间书写“牛顿力学”。而拉格朗日的“分析力学”只不过是在仿射空间重新书写了全部牛顿力学。
虽然，在数学上，仿射空间要比正交空间更一般，然而，对于质点力学来说，其物理内容，却并不因为你选择了较为特殊的Euclid正交空间而减少一分；也不会因为你选择了较为一般的仿射空间而增多一分而变得更为一般。
正因为如此，当“分析力学”写完掩卷之时，拉格朗日不无辛酸和嫉妒地说道：“只有一个宇宙，而它的秘密已经被牛顿发现。”
很多学习物理的人认为“分析力学”要比“牛顿力学”的物理内涵更丰富、更一般。这是及其错误的，也是很不正确的。
任何同一个物理模型，均不会随着因为你选择了较为一般的或较为特特的数学模型而发生任何物理变化——这就是物理的绝对不变性原理。
类似地，牛顿力学也不会因为你选择了黎曼张量的正曲率几何模型，发生任何物理变化。广义相对论——本质上就是这样一个理论，不过是择了黎曼张量的正曲率几何模型重新书写了牛顿的引力理论，毫无任何相对性而言。
广义相对性原理是：假设了物理定律能够在所有彼此作加速运动的同度量单位的参照系中都能保持数学形式不变。爱因斯坦所伪称的“广义相对论”，全书没有任何一处体现出这种广义的相对性！！！